高數中微分中值定理的應用研究

摘 要：微分中值定理是一系列包括拉格朗日定理、柯西定理、費馬定理、泰勒公式等等重要定理公式的總稱，它是歷代數學大家的智慧和心血的結晶，也在應用數學中有著不可估量的作用，是證明不等式、判斷函數圖像的走勢、凹凸性、單調性、極值定理時最有力的工具之一。筆者根據自身實踐和研究，在本文中著重探討微分中值定理在高等數學時的應用，通過各個實例進一步展示如何在高等數學中運用微分中值定理，以期為大家在今后的解題和教學中提供思路和借鑒。

關鍵詞：微分中值定理；高數；應用研究

從歷史角度看，早在古希臘時代，人類就開始對微分中值定理進行探討和研究。例如古希臘的數學家早在公元前就在書中作出了如下判斷，即“經過拋物線的頂點的切線一定平行于拋物線的凸弓形的底”，而這恰恰就是今后為世人所熟知的拉格朗日定理的一種特殊情況。而古希臘最著名的數學大家阿基米德就在他今后的研究中充分利用了這位先賢的判斷結論，巧妙地運用該特殊情況計算出了拋物線和底形成的圓凸形的面積，這在當時是一個拉格朗日定理在應用數學上的一個重大突破。到了現代，法國數學家費馬（Fermat）在1637年在其著作《求最大值和最小值的方法》中證明了費馬定理。緊接著，法國數學家羅爾在十七世紀末在其著名論文《方程的解法》中證明了多項式情形下的Rolle定理。在到1797年的《解析函數論》著作中，偉大的法國數學家拉格朗日第一次次闡釋了拉格朗日定理，而他自己也在該書中作出了最初的證明。而法國數學家柯西（Cauchy）運用自己的聰明才智，對微分中值定理進行最為系統研究。柯西在先人的基礎上重新構建了微積分理論，并在自己的三部傳世巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》、《微分計算教程》中對微積分理論基礎逐個作了探討和闡釋。換句話說，在數學運用領域，是柯西第一次奠定了高數中微分中值定理的應用價值，使微分中值定理成為了日后高等數學應用的核心定理。到了近代，微分中值定理已經成為現代高等數學的研究和應用時最有效的工具手段之一，下面筆者通過幾個具體的實例，探討高數中微分中值定理的應用技巧。

一、微分中值定理在幾何學上的應用

拉格朗日定理在微分中值定理中處在最為基礎的位置，其他幾個定理都是在拉格朗日定理的基礎上變化而來的，而這一點在幾何學意義上尤其明顯，下面筆者重點以拉格朗日定理中的弦線法對具體的幾何實例進行分析。

例一：設存在函數f（x），可微積分，該函數的導函數f’（x）嚴格單調遞增，若f （ a ） = f （ b ） ，并且a < b 。試證明：對于一切x∈（a， b ） ，有f （ x ） < f （ a ） = f （ b ） 。

證明如下：如圖所示，作弦線AC ，BC ，并應用拉格朗日定理，（ a ， x ），（ x ， b ） ，由此使導數f ’（ζ） 以及f ’（）分別等于作出的弦AC 和BC的斜率，因為f’（ x ）嚴格單調遞增，所以f’（ζ） < f ’（），由此可得弦AC的斜率小于弦BC的斜率。

綜上所述，<。由此依照已知f （ a ） = f （b） ，該不等式可以整理為f （ x ） < f （ a ） = f （ b ） 。

二、微分中值定理作為輔助函數的應用

在高等數學的證明題中，構建一個輔助函數有時就像在第一部分的幾何學應用中構建輔助線一樣具有十分重要的作用，因為輔助函數常常會使一些看似根本無法解答的證明題剎那間豁然開朗、柳暗花明，而微分中值定理在這些證明題中常常又是構建一個有用的輔助函數的關鍵。

例二：設0

首先筆者作如下分析，因為需證明的等式中包含兩點 和 ，因此可以考慮應用微分中值定理，對f （ x ）應用拉格朗日中值定理。由此可以知道，存在 （ a ， b ） ，可以使f ’（ζ）=（①式），固定 ，則可以把結論化為f ’（） =構建輔助函數y= f （x），依照上面得出的等式形式作微積分方程 y’=，使得再積分得y=x2+1， （1為任意常數） ，即x f ’（ζ）-（ b+a ） y=（=-1）。

證明：作輔助函數F （ x ）=x2f ’（ζ）-（ b+ a ） f （ x ） ，由①式可得：

F （ a ）= a2f ’ （ζ） - （ b + a ） f （ a ）= a2- （ b + a ） f （a）=，

F （ b ）= b2f ’（ζ） - （ b + a ） f （ b ）= b2- （ b + a ） f （ b ）=

所以F （ a ）=F （ b ） ，因此F （ x ）在區間 [ a ，b ]上滿足羅爾定理前提，故存在（ a ，b ） ，使 F ’（）=綜上所述可證f ’（ζ）=。

三、微分中值定理在證明不等式的應用

拉格朗日中值定理是微分中值定理的基礎，而它的特例是羅爾定理，它的延伸是柯西中值定理。好好利用微分中值定理可以在證明不等式時事半功倍，而相同的思維方式還可以拓展到數列極值問題、輔助函數的運用等等。

例三：證明：當a b 0時，。

在這道不等式證明中，我們就可以應用柯西中值定理，使其變得十分簡單。證明如下：

設，f （x），g （x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導。所以由柯西中值定理得：至少存在一點，使=。

也就是說==，而，所以。

四、結語

眾所周知，微分中值定理是高等數學的教與學中的一大重要點和難點。而對高數中的微分中值定理的應用離不開我們縝密的思考、發散的思維、巧妙的假設、大膽的求證等等，這都是數學人應當具備的基本素質。總得來說，微分中值定理構建了函數和導數之間的橋梁，靈活性很大，往往是解題時的一道捷徑。以上筆者簡要討論了微分中值定理在高數中的應用，希望通過本文能使大家對微分中值定理的內容更加深刻了解，同時在計算、證明、判定等應用微分中值定理時提供思路。

作者簡介：李香杰（1971—），女，漢族，遼寧鐵嶺市人，沈陽師范大學，遼寧工程職業學院，講師 研究方向：數學。