分形理論與平面構成教學初探

【摘 要】許多具有自然性的形體如云彩、閃電、雪花、珊瑚等無法納入歐氏幾何里的幾何形中準確描述。于是人們需要新的幾何語言，芒德勃羅創立的分形幾何學應運而生。正如歐氏幾何有傳統的藝術與之對應，分形幾何也有與之相對應的新的藝術，這就是“分形藝術”。本文僅從分形圖形的結構探討它對傳統平面構成學的影響與超越。

【關鍵詞】分形理論；分形藝術；平面構成學；分形結構

0 前言

在藝術設計教學中，用歐氏幾何點、線、面等幾何元素構造出的三角形、矩形、圓等幾何圖形和幾何體按照構成美學原理進行創造性的組合，是造型教學的一個重要組成部分。這是因為基于歐氏幾何的藝術創作，比如像埃及的三角錐形金字塔、古希臘具有黃金分割律的建筑與藝術造型，都體現出了歐氏幾何整齊、明快的線條美。可是人們總是在想如何能更細微地描繪自然形態，雖然自然界里的晶體、蜂巢等類物體，可以通過六角形、圓、立方體、四面體、正方體、三角形等形象來表述，但許多具有自然性的形體如云彩、閃電、姜塊、雪花、珊瑚等，都無法納入歐氏幾何里的幾何形中準確描述。這樣自然形與幾何形一起呈現在了構成學之中。為此需要新的幾何語言，芒德勃羅創立的分形幾何學應運而生。

芒德勃羅把具有部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形（Fractal），這個單詞由拉丁語Frangere衍生而成，該詞本身具有“破碎”、“不規則”等含義。

在芒德勃羅的研究中最精彩的部分是1980年他發現的并以他的名字命名的集合，他發現整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構。Mandelbrot集合圖形的邊界處，具有無限復雜和精細的結構。在此基礎上，形成了研究分形性質及其應用的科學，稱為分形理論（Fractal theory）或分形幾何學（Fracal geometry）。

正如歐氏幾何有傳統的藝術與之對應，分形幾何也有與之相對應的新的藝術，這就是“分形藝術”。

分形藝術與構成學事實上早有聯系，只是到了數字時代才將它們展示出來。在歷史上，早就有藝術家和數學家創造出來過一些抽象的分形形式的繪畫，只是他們還沒有意識到這里面包含的更深層次的理論。如文藝復興時期著名藝術家、科學家丟勒的五邊形（圖1）、荷蘭藝術家埃舍爾的《魚和鱗》（圖2）。

圖1 圖2

近20多年，分形已成為研究和處理不規則圖形的強有力的理論工具，應用范圍涉及到自然科學、社會科學的各個領域，起著貫穿與連接現代科學各個領域的作用。

1 分形的概念

分形的描述性定義是這樣的：把具有如下性質的對象F稱為分形；

1）F具有精細的結構，即有任意小比例的細節；

2）F是不規則的以至于它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來描述；

3）F通常有某種自相似的形式，可能是近似的或是統計的；

4）一般地，F的“分形維數”（以某種方式定義）大于它的拓樸維數；

5）在大多數情形下，F以非常簡單的方法定義，可能由迭代產生。

根據以上定義我們把在形態、功能和信息等方面具有以上性質的對象稱為分形。定義中的自相似性是指局部的形態與整體的形態相似，局部與整體相互依賴。自相似性是分形最明顯的特征，其它的特征包括無限復雜、無限細致等。但針對不同分形圖形，有時它可能只具有上面大部分性質，而不滿足某個性質，但一般仍然把它歸入分形。具有分形結構的圖形見圖3、圖4。

2 分形藝術與構成學

作為構成形式的另一種形式：分形構成同樣滿足傳統構成學的美學形式規律，并有以下兩點超越：

1）對“對稱與均衡”律的超越：分形圖形最明顯的特征是自相似性，它的自相似性是指局部的形態與整體的形態相似，局部與整體相互依賴。分形的對稱性即表現了傳統幾何的上下、左右及中心對稱。同時它的自相似性又揭示了一種新的對稱性，即畫面的局部與更大范圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。這種對稱不同于歐幾里德幾何的對稱，而是大小比例的對稱，即圖案中的每一元素都反映和含有整個圖案的性質和信息。見上文圖2、圖3。

2）對“節奏與韻律”律的超越：我們注意到，不論是自然界中的個體分形形態，還是數學方法產生的分形圖案，都有無窮嵌套、細分再細分的自相似的幾何結構。這即是圖案的遞歸：圖案之中套圖案，在越來越小的尺度上產生細節，形成無窮無盡的精致結構。因此，分形圖案不論在深度還是廣度上都是無限的。換言之，談到分形，我們事實上是開始了一個動態過程。在這個動態過程中我們感受到的節奏與韻律，不再完全是傳統意義下的條理性、重復性、連續性和自由性，而是體現在分形圖形生成過程中的遞歸性、無限性、精致性、統計性。見圖5。

圖5

3 分形造型的實現方法

分形造型可分為兩種方法實現：一種是計算機程序生成。根據分形原理，自相似性、無限復雜、無限細致是分形最明顯的特征，同時它由迭代產生。要獲得超越人腦思維且具有很大的隨機性和任意性，但又往往出人意料地新穎別致、奇特和多變的分形作品，要借助計算機來進行創作。因為不論多么復雜多變的分形圖形都源于一個極其簡單的形象（生成元），即一個簡單程序的大量重復。這種大量重復對人工計算或人工制作來說是無法想像的，但對計算機來說只是一個簡單的指令。一種是通過手工完成，即用手工完成計算機的迭代操作（也可以用其他辦法），創造出各種豐富多彩的分形圖形。即計算機并不是必需的，但分形思想則是必不可少的。

總之分形理論對構成教學不僅僅是新加入了一種構成形式，而是注入了新的認知理念和方法，它豐富和完善了構成學理論：即有了“歐氏幾何”與“分形幾何”理論的共同支撐。因此對于已知圖形我們可用“分形”構成和“整形”構成多視角地去欣賞它、解釋它、分析它；對于未知圖形我們可用“分形”構成和“整形”構成相互融合地去構思它、創作它，以期達到“分形”和“整形”的完美結合，從而創作出更多具有奇思妙想充滿設計智慧的優秀作品。

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[責任編輯：陳雙芹]