線性規劃模型在最優決策中的應用研究

【摘要】線性規劃在生產管理和經營活動中起到重大作用。在給出線性規劃模型的基礎上，通過實例，介紹建立線性規劃模型的一般方法，并應用軟件Mathematica進行求解，進而為決策者提供最優的決策。

【關鍵詞】線性規劃；模型；Mathematica；最優決策

1.引言

在生產管理和經營活動中，會經常遇到兩類問題：一類是（資源有限）如何合理的使用現有的勞動力、設備、資金等資源，以得到最大的效益；另一類是（目標一定）為了達到一定的目標，應如何組織生產，或合理安排工藝流程，或調整產品的成分等，以使所消耗的資源（人力、設備臺時、資金、原材料等）為最少。這既是最優決策問題。

如何解決上述問題，線性規劃（Linear Programming）給了我們一些方法，線性規劃是運籌學的一個分支，它研究的是在線性約束條件下求解線性函數（目標函數）的最優解問題。線性規劃應用越來越廣泛，《財富》雜志（Fortune）的一項調查，美國名列前五百名的大公司中，百分八十五均曾應用線性規劃的方法來協助公司的營運，由此可見線性規劃應用面的寬廣與普及。

2.線性規劃數學模型及求解方法[1]

2.1 線性規劃數學模型

其中為目標函數，s.t.的右端項為約束條件，表示決策變量的非負約束。

2.2 模型的求解方法

能夠求解線性規劃模型的軟件有很多，比如Mathematica，Matlab，Lindo，Maple等，以下問題應用Mathematica求解[2]。

Mathematica是由Wolfram（美國）公司研制開發的，應用比較廣泛的，功能比較強大的一款軟件，軟件中有求解線性規劃的函數，在平臺中的使用方法如下：ConstrainedMin（或ConstrainedMax）[目標函數，{約束條件}，{變量集合}]就可以了。其中ConstrainedMin求目標函數為min的線性規劃問題，ConstrainedMax求目標函數為max的線性規劃問題。

3.建立線性規劃模型應用舉例

例1：（人員的合理安排問題）醫院護士的值班班次、工作時間及各班所需護士數如表1所示，護士上班以后，需連續工作8小時，則醫院最少需護士多少名，以滿足輪班需要；

分析：因護士上班后需要連續工作8小時，即第1班次開始上班的護士，需工作到14：00，第2班次開始上班的護士需工作到18：00，以此類推，第6班次開始上班的護士工作到10：00，滿足這些約束條件后，目標函數是最少需要的護士數，就很容易列出線性規劃模型。

解：設表示第i班開始上班的護士人數，，則建立模型為：

應用mathematica求解如下：

In[1]：=ConstrainedMin[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6，{x1 + x2 >= 70，x2 + x3 >= 60，x3 + x4 >= 50，x4 + x5 >= 20，x5 + x6 >= 30，x6 + x1 >= 60}，{x1，x2，x3，x4，x5，x6}]

運行后得：

Out[1]= {150，{x1 -> 60，x2 -> 10，x3 -> 50，x4 -> 0，x5 -> 20，x6 -> 10}}

結果：第1-6班開始上班的護士分別為60人、10人、50人、0人、20人、10人，最少需要護士150名。

例2：（投資決策問題）某人有一筆30萬元的資金，在今后三年內有以下投資項目：

（1）三年內的每年年初均可投資，每年獲利為投資額的20%，其本利可一起用于下一年投資；

（2）只允許第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合計為投資額的150%，但此類投資限額不超過15萬元；

（3）于三年內第二年初允許投資，可于第三年末收回，本利合計為投資額的160%，這類投資限額20萬元；

（4）于三年內的第三年初允許投資，一年收回，可獲利40%，投資限額為10萬元。

試為該人確定一個使第三年末本利和為最大的投資計劃。

分析：本題為最大化最優決策問題，有4個可投資項目，即題中（1）至（4），關鍵問題在于決策變量的設置，我們用來表示第年初投資到第個項目的資金數，這樣問題就迎刃而解了。

解：設表示第年初投資到第個項目的資金數，建立線性規劃模型為：

應用mathematica求解如下：

In[2]：=ConstrainedMax[1.2x31 + 1.6x23 + 1.4x34，{x11 + x12 == 300000，x21 + x23 == 1.2x11，x31 + x34 == 1.2x21 + 1.5x12，x12 <= 150000，x23 <= 200000， x34 <= 100000}，{x11，x12，x21，x23，x31，x34}]

Out[2]= {580000.，{x11 -> 166667.，x12 -> 133333.，x21 -> 0，x23 -> 200000.，x31 -> 100000.，x34 -> 100000.}}

結果：

第一年年初投資到（1）和（2）兩個項目的資金分別為166667元和133333元；

第二年年初投資到（1）和（3）兩個項目的資金分別為0元和200000元；

第三年年初投資到（1）和（4）兩個項目的資金分別為100000元和100000元；

第三年末本利和最大為58萬元。

例3：（學區學生入學的劃分）某學區由五個居民區和三所學校組成，學校設專門校車接送學生。各學校的容量如表2所示，各居民區的學生人數如表3所示；各居民區的學生到相應學校的校車費用如表4所示。試問應怎樣給各個學校分配兒童，才能實現學區管理者實現使校車接送所花費用最低的目的？[3]

分析：該問題為最低費用的最優決策問題，在滿足人數要求的條件下，費用最低，三所學校的容量總和為2500人，而五個居民區共2350人，這就使得某些學校分配的兒童不足，對于約束條件將出現不等式，建立線性規劃模型時要注意。

解：設表示校車從第居民區送往第學校的人數，建立模型如下：

4.小結

由以上分析，我們可以看出，線性規劃在最優決策中為人們提供了解決問題的一種方法。決策者通過建立便捷的線性規劃模型解決了最優化問題，無論是對于企業還是對于個人提升都具有重要的價值。

參考文獻

[1]胡運權.運籌學教程（第三版）[M].清華大學出版社，2007，4.

[2]丁大正.科學計算強檔Mathematica4教程[M].北京：電子工業出版社，2002.3.

[3]劉茂華.線性規劃在運輸問題中的應用[J].大慶師范學院學報，2007，4.

作者簡介：郭志軍（1978—），男，遼寧新民人，碩士，遼寧對外經貿學院副教授，研究方向：應用數學。