高聚物熔體微尺度流動行為與數學模型

【摘要】本文基于粘性流體力學的基本方程，借鑒傳統注塑成型中熔體充模過程數學模型的建立方法，構建了微尺度下熔體流動過程基本方程。

【關鍵詞】熔體流動；微尺度；數學模型

1.引言

在真空澆注微型件過程中，由于模具型腔的特征尺寸微小及其表體比相對較大等原因，不僅可能出現不同于宏觀流動的規律，而且許多在宏觀流動中被忽略的因素，可能成為主要的影響因素[1]。本文圍繞真空澆注微型件過程中熔體充模流動行為這一核心問題，從粘性流體力學的基本方程入手，借鑒傳統注塑成型中熔體充模過程數學模型的建立方法，構建微尺度下熔體流動過程基本方程。

2.高聚物熔體的類型

高聚物熔體的充模過程是一個復雜的非穩態、非等溫的非牛頓流體流動和傳熱過程。隨著聚合物熔體壓力、溫度、剪切速率等物理量在充模過程中的發展變化，熔體的流動行為將直接影響制品的內部結構、取向、殘余應力和最終形狀[2]。聚合物流變學正是由聚合物成型發展的需要而提出的，它主要研究聚合物熔體在外力作用下產生的應力、應變和應變速率等力學現象與熔體粘度的關系，以及影響這些關系的各種因素。根據聚合物熔體在流動過程中粘度與應力、應變速率之間的關系，可將聚合物的流動行為分為牛頓流體和非牛頓流體兩大類。

（1）牛頓粘性定律

牛頓在研究低分子液體的流動時，發現剪切應力和剪切速率存在著一定關系，可表示為：

牛頓流體具有以下變形特點：

1）流體的變形隨時間不斷發展，有時間依賴性。其切應變：

2）粘性流體的變形是永久性的。當外力移除后，變形不能恢復。

3）對抵抗變形的粘性力所做的功，在流動中轉為熱能而散失。

4）線性粘性流動中剪切應力與剪切速率成正比，粘度與剪切速率無關。

真正屬于牛頓流體的只有低分子化合物的氣體、液體或溶液，如空氣、水和甲苯等。而高聚物的溶液、懸浮物和熔體的絕大多數是屬于非牛頓流體。但是，對非牛頓流體，限制在一定時間尺度和剪切速率范圍內，經常視其為牛頓流體。

（2）非牛頓流動

凡不服從牛頓粘性定律的流體稱為非牛頓流體。非牛頓流體的流動稱為非牛頓型流動。非牛頓流體在一定溫度下，其剪切應力與剪切速率不成正比的線性關系，其粘度不是常數，而是隨剪切應力或剪切速率而變化的非牛頓粘度。在高分子液體范疇內，可以粗略地把非牛頓流體分為純粘性流體、粘彈性流體和有時間依賴性的流體等幾類。其中純粘性流體可分為賓漢流體、假塑性流體和膨脹性流體。

賓漢流體如圖1所示，其流動特征是存在剪切屈服應力，因此具有塑性體的可塑性質。只有剪切應力高于時，賓漢流體才開始流動。其流變方程為：

式中稱為賓漢粘度。賓漢流體之所以有這樣的流變行為，是因為這種流體在靜止時內部有凝膠性結構。當外加剪切應力超過時，這種結構才完全崩潰，然后產生不能恢復的塑性流動。賓漢流體在流動時或者像牛頓流動，稱為理想的賓漢流動；或者像假塑性的非牛頓流動。

假塑性流體是非牛頓流體中最常見的一種。橡膠和絕大多數高聚物及其塑料的熔體和濃溶液，都屬于假塑性流體。如圖1所示，此種流體的流動曲線是非線性的。剪切速率的增加比剪切應力增加得快，并且不存在屈服應力。其特征是粘度隨剪切速率或剪切應力的增大而降低，常稱為剪切變稀的流體。

膨脹性流體也不存在屈服應力。如圖1所示的流動曲線，剪切速率增加比剪切應力增加要慢一些。其特征是粘度隨剪切速率或剪切應力的增大而升高，故稱為剪切增稠的流體。

描述假塑性和膨脹性的非牛頓流體的流變行為，可用冪律函數方程：

3.熔體微尺度下的流動控制方程

熔體在微尺度下充模流動的行為與宏觀流動相比，既有共同點，又有相異之處。因此，可以基于粘性流體力學的基本方程，借鑒傳統熔體填充過程中的基本方程，根據熔體微尺度下填充成型的特點，引入合理的假設和進行必要的簡化，建立熔體在微小型腔中流動的連續性方程、動量方程和能量方程，確定合理的初始條件和邊界條件，從而得到充填過程的數學模型。

（1）連續性方程

連續性方程是質量守恒原理在流體運動中的表現形式。在微觀流體流動時，當流場的結構尺寸和流體分子的平均自由程非常接近時，就打破了連續介質力學的范疇，此時連續性方程不再滿足，例如稀薄氣體在微型管道中的流動。對于微型模具的熔體充模過程，由于模具型腔的微細結構尺寸通常在1μm以上，相比高聚物熔體分子的尺寸仍然較大，因此熔體充模流動仍然屬于連續介質力學的范疇，即流體的連續性方程仍然成立。在直角坐標系中任選一個邊長為dx、dy、dz的立方體積微單元作為控制體，流場中任一點處，在t時刻的速度為，其三個速度分量分別為、和，流體密度為。假設流體在流動過程中沒有發生化學變化。根據質量守恒定律，單位時間的控制體內物質的增量，應等于輸入與輸出控制體的質量之差，與控制體原質量無關?？傻昧黧w的連續性方程：

（2）動量方程

動量方程是動量守恒定律在流體運動中的表現形式。動量守恒定律也是任何流動系統都必須滿足的基本定律。在微米級流體領域，動量守恒定律要求微元體中流體的動量變化率等于微元體上的各種力之和。流體運動中作用外力可分為質量力和表面力。質量力是作用于流體質量上的非接觸力，作用于流體內部每個質點上。表面力為流體通過接觸面而施加在另一部分流體上的作用力，由于流體的流動或變形，可將表面力視為在控制體表面上產生的相互作用力。根據動量守恒定律可以推導出單元控制體x，y，z三個方向上動量守恒方程：

（3）能量方程

能量方程是能量守恒定律在流體運動中的表現形式。能量守恒定律是包含有熱交換的流動系統必須滿足的基本定律。當型腔特征尺度降至微米量級時，熔體的流動行為仍然遵循能量守恒定律。為了便于對流體能量進行表征，常用溫度T的方程來表述。而在真空鑄型微型件中溫度又是直接關系著填充效果的重要因素，因此使用內能來代替總能量建立能量守恒方程比在宏觀中更為正確。流體的剪切流動的能量方程為

4.總結

本文基于粘性流體力學的基本方程，借鑒傳統注塑成型中熔體充模過程數學模型的建立方法，構建了微尺度下熔體流動過程基本方程，為高聚物熔體真空鑄型的數值模擬提供基礎理論依據。

參考文獻

[1]張響，張世勛，李倩，申長雨.微注射成型研究進展[J].高分子材料科學與工程，2012，5.

[2]莊儉，于同敏，王敏杰.微注塑成形中熔體充模流動分析及其數值模擬[J].機械工程學報，2008，9（44）：43-49.