例析因式分解的常用方法

〔關鍵詞〕 數學教學；因式分解；方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）13—0087—01

因式分解是在學習有理數和整式四則運算的基礎上進行的，它為以后學習分式運算、解方程和方程組以及代數式和三角函數的恒等變形提供了必要的基礎，所以因式分解是中學數學教材的一個重要內容. 由于進行因式分解時要靈活運用學過的有關數學基礎知識，并且因式分解的途徑多，技巧性強，所以因式分解是數學教學的一個難點.下面，筆者就談一談因式分解的常用方法和技巧.

一、 提公因式法

提公因式法是因式分解最基本的也是最常用的方法，它的理論依據就是乘法的分配律.要想提公因式，首先要對欲分解的多項式進行考察，提出字母系數的公因數以及公有字母或公共因式中的最高公因式.運用公式法的關鍵是熟悉各公式的形式和特點.對于初學者來說，如何根據要分解的多項式的形式和特點，來選擇應該運用什么公式，往往很不容易.這也是提公因式法的難點.因此，教學時，教師注意分析實例，指明思路，交代方法，以幫助學生克服難點.

例1 x2-4y2=（x-2y）（x+2y）

例2 2a（b+c）+c（b+c）2=（b+c）（2a+c2+bc）

注：確定公因式時，要先看系數，再看字母，最后看指數.提公因式要提盡，小心漏掉，多項式的首項取正號.

二、 分組分解法

一類是分組后能直接提公因式的，一類是分組后能運用公式的.由于多項式的形式各異，分組的方法也有所不同，要具體問題具體分析，并且要預見到分組后分解整個多項式的可能性.因此，相對來說，分組分解法較提公因式法要難一些.教學時，教師要根據教材的層次，先易后難，最后再講略帶綜合性的因式分解的題目.

例 3 2ax-10ay+5by-bx

=（2ax-10ay）+（5by-bx）

=2a（x-5y）+b（5y-x）

=2a（x-5y）-b（x-5y）

=（x-5y）（2a-b）

例4 a2-2ab+b2-c2

=（a2-2ab+b2）-c2

=（a-b）2-c2

=（a-b+c）（a-b-c）

注：很顯然，例3分組后馬上就能提公因式，例4分組后還需要運用公式.

三、 十字相乘法

十字相乘法簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項系數，右邊相乘等于常數項，交叉相乘再相加等于一次項系數，其實就是運用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab的逆運算來進行因式分解.對于形如ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）的整式來說，關鍵是把二次項系數a分解成兩個因數a1，a2的積a1·a2，把常數項c分解成兩個因數c1，c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項的系數b，那么可以直接寫成結果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.在運用這種方法分解因式時，要注意觀察、嘗試，并體會它實質是二項式乘法的逆過程.當首項系數不是1時，往往需要多次試驗，務必要注意各項系數的符號.

例5 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）

注：一般地，對于二次三項式ax2+bx+c（a≠0），如果二次項系數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1， a2，c1，c，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2 +a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數b，即b=a1c2 +a2c1，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

總之，因式分解是整式乘法的理想變形，學習它，可以深化我們對整式運算的理解，同時，它還是分式化解和解方程的重要基礎.因此，學生必須學好這部分內容.

？笙 編輯：謝穎麗