高考數列題的命題角度及解題技巧

〔關鍵詞〕 數學教學；數列；命題角度；解題技巧

〔中圖分類號〕 G633.6

〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2013）10—0070—02

縱觀歷年高考數學試卷，對數列解答題這一塊的考查主要有兩個方面：一方面考查數列的概念、等差數列和等比數列的基礎知識和基本思想方法；另一方面考查數列與函數、方程、不等式等知識的整合，注重有限與無限、分類與整合、等價轉化的數學思想和方法，以及思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創新意識的考查.筆者認為，只要考生把握命題意圖與考點，找到突破方法，掌握解題技巧，就能獲得正確的結論.

命題角度一：等差數列與等比數列基本公式的應用

例1 （2012高考湖北理）已知等差數列{an}前三項的和為-3，前三項的積為8.

（Ⅰ）求等差數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比數列，求數列{an}的前n項和.

命題意圖與考點：本題主要考查等差數列、等比數列的定義、通項公式以及考生分析問題、解決問題的能力.

突破方法技巧：1.等差數列的判斷方法：定義法 an+1-an=d（d為常數）或an+1-an=an-an-1（n≥2）.

2.等差數列的通項公式：an=a1+（n-1）d或an=am+（n-m）d，前n項和公式：Sn=■，Sn=na1+■d.

3.等比數列的判斷方法：定義法■=q（q為常數），其中q≠0，an≠0或■=■.

4.等比數列的通項為：an=a1qn-1或an=amqn-m.

前n項和公式為：當q=1時，Sn=na1；當q≠1時，Sn=■=■.

命題角度二：求解數列通項公式與前n項和的應用

例2 （2010高考江西理）設等差數列{an}，{bn}的前n項和Sn，Tn滿足■=■，且■+■=■，S2=6；函數g（x）=■（x-1），且cn=g（cn-1）（n∈N，n>1），c1=1.

（1）求A；

（2）求數列{an}及{cn}的通項公式；

（3）若dn=an（n為奇數）cn（n為偶數），試求d1+d2+……+dn.

命題意圖與考點：本試題主要考查了等差數列的概念、通項公式、前n項和公式、構造新數列求原數列的通項公式等知識，同時還考查了化歸與轉化的思想方法及學生運算及推理論證的能力.

突破方法技巧：求解數列通項及前n項和的常用方法

1.形如an+1-an=f（n）型

（1）若f（n）為常數，即an+1-an=d，此時數列為等差數列，則an=a1+（n-1）d.

（2）若f（n）為關于n的函數時，用累加法.

2.形如■=f（n）型

（1）當f（n）為常數，即■=q（其中q是不為0的常數），此時數列為等比數列，an=aqn-1.

（2）當f（n）為n的函數時，用累乘法.

由■=f（n）得：n≥2時，■=f（n-1），∴an=■·■……■·a1=f（n）f（n-1）……f（1）a1.

3.形如an+1=pan+q型數列

此類數列解決的辦法是將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解.構造的辦法是待定系數法構造，設an+1+m=p（an+m），展開整理an+1=pan+pm-m，比較系數有pm-m=b，所以m=■.由此可得an+■是等比數列，公比為p，首項為a1+■.

4.形如an=■型數列（A，B，C為非零常數）

這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數，把數列的倒數看成是一個新數列，便可順利地轉化為an+1=pan+q型數列.

5.利用an=S1（n=1）Sn-Sn-1來實現an與Sn的相互轉化是數列問題比較常見的技巧之一.要注意an=Sn-Sn-1不能用來求解首項a1，首項a1一般通過a1=S1來求解.

6.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等.

命題角度三 ：數列與函數、不等式，解析幾何等交匯問題的應用

例3 （2012年高考大綱理）函數f（x）=x2-2x-3.定義數列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點P（4，5），Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

（1）證明：2≤xn

（2）求數列{xn}的通項公式.

命題意圖與考點：本試題主要考查了數列的通項公式以及函數與數列相結合的綜合運用.先從函數入手，表示直線方程，從而得到交點坐標.再運用數學歸納法進行證明，根據遞推公式構造等比數列，進而求得數列{xn}的通項.

突破方法技巧：本題以函數為背景，引出點的坐標，并通過直線與坐標軸的交點得到數列的遞推公式.既考查了直線方程，又考查了函數解析式，以及不等式的證明.試題比較綜合，有一定的難度.解答這類試題要根據已知條件，一步一步地翻譯為代數式，化簡得到要找的關系式即可. （1）數列與函數、方程、不等式的綜合性問題，解題時要注意遞推數列，準確把握遞推數列的常見解法，有助于該類問題的解決.比如通過變形將其轉化為常見的等差等比數列求解是此類問題的基本思路.（2）構造新數列時一定要注意原數列的項與新數列的項之間的對應.其中所涉及的不等式問題通常可用放縮法、比較法、歸納法來解決.

數列是高中代數的重要內容之一，也是與大學銜接的內容.在測試學生邏輯推理能力和理性思維水平，以及考查學生創新意識和創新能力等方面有不可替代的作用，所以在歷年高考中占有重要地位. 另外隨著新課程改革的實施，高考命題會突出以能力立意，加強對數列綜合性和應用性的考查，常常在知識的交匯點設計試題，應引起數學教師的高度重視.

？笙 編輯：謝穎麗