談談整體思想在初中數學解題中的運用

【摘要】本文對整體思想在初中數學解題中的運用作初步的分析探討，論述了整體思想在數學學習中的重要性。

【關鍵詞】整體思想；運用

整體思想是一種重要的思想方法，什么是整體思想？整體思想就是將問題看成一個完整的整體，注重問題的整體結構和結構改造的思維過程。它的特點是從宏觀上全面觀察事物的整體結構，從整體上去揭示事物的本質。在數學解題中靈活應用整體思想能夠達到快捷、簡潔、過程容易的功效。我們在學好基本概念 和基本知識的前提下應多注重學習體會這種數學思想在實際解題中的運用，從而體會這種思想，努力提高分析問題和解決問題的能力。初中數學運用整體思想解題的具體表現形式有全局整體法、整體代換法、整體改造法、局部整體法、整體補形法等。現就結合自己多年的教學實踐，在廣泛吸取同行經驗的基礎上，談談整體思想在如下幾方面的實際運用。

一、整體思想在代數式求值中的運用

七年級上冊《數學》的第三章中用字母表示數就是一個整體思想運用的體現，代數式中的字母不僅可以表示一個數，還可以表示成一個式子或一系列的數值。

例1：已知x+y=3，x3+y3+x2y+xy2=9，求x2+y2的值。

分析與解答：欲求x2+y2的值，最容易想到的是先求x與y的值。因而要先解方程。這樣便產生兩個問題，其一，我們現在還沒學過解方程；其二，即使將用x來表示出y的代數式代入解那計算也是復雜的事，不過，能從整體上改變，將x3+y3+x2y+xy2=9變形為（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）=9，即x2-xy+y2+xy=3，故x2+y2=3。

解：∵ x3+y3+x2y+xy2=（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）

=（x+y）（x2-xy+y2+xy）=（x+y）（x2+y2）=9，x+y=3

∴ x2+y2=3

像這類問題從表面上看需要局部求出各有關量，但實質上若從“整體” 上把握已知量之間的關系，則思路更為明朗、解法更為巧妙。

二、整體思想在解方程中的運用

我們在解方程的過程中常會發現一些計算較復雜的方程，但若能運用整體思想加以詳細考察的話往往會是“柳暗花明又一村”。

例2：已知（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值。

分析：若把（a2+b2）看作一個整體，則原方程是以（a2+b2）為未知數的一元二次方程，可用因式分解法去解。

解：[（a2+b2）-3][（a2+b2）+2]=0

∴a2+b2-3=0或a2+b2+2=0

a2+b2=3或a2+b2=－2

∵a2+b2>0 ∴a2+b2=－2 （不合題意，舍去）

∴a2+b2=3

從上面的例子可以看出，在分析解題過程中，通過研究問題的整體形式，作整體處理后，便順利簡潔地處理了問題。

三、整體思想在因式分解中的運用

一些因式分解題，分了又分，解了又解，走了山路十八彎仍分解不出來，或者是算了滿滿的幾頁草稿方得出答案。此類問題不妨運用整體思想來加以考慮問題、解決問題，你會真正體會到這種思想在解題中的奇跡性，真有“水到渠成”的感覺。

例3：分解因式（a+2b+c）3-（a+b）3-（b+c）3

分析：如果展開后消掉一部分項再分解，運算量較大。通過觀察不難發現a+2b+c=（a+b）+（b+c），那么就可以通過局部整體處理換元簡化我們的運算過程。

解：設A=a+b，B=b+c則A+B=a+2b+c 從而

原式=（A+B）3-A3-B3

=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3

=3A2B+3AB2

=3AB（A+B）

=3（a+b）（b+c）（a+2b+c）

例4：因式分解（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）-120a4

分析：觀察（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）中（x-a）（x-4a）=x2-5ax+4a2，（x-2a）（x-3a）=x2-5ax+6a2，這兩個乘積中都含有x2-5ax二次項，一次項的系數分別相同，此時即可通過局部整體換元，令u=x2-5ax代入原式，將原式轉化為u=x2-5ax代入原式，將原式轉化為u的二次三次式后再用分組分解法分解因式。

本題通過整體考慮代換后達到思路清晰、明了，便于提高分析問題與解決問題的能力。

四、整體思想在幾何解題中的運用

在初中幾何教學中，加強整體思維訓練，有利于培養學生思維的全面性、創造性；有利于開發智力和增進學習興趣，運用整體思想解某些幾何題的獨到之處是把已知圖形看作某個圖形的一部分，然后補形構造出整體圖形，從分析整體與局部的有機聯系中，使問題迅速獲解。

例5：如圖，CD，BE分別是△ABC的∠ACB，∠ABC的外角的平方線，且CD⊥AD、AE⊥BE，若BC=a、CA=b，AB=c，求DE的長。

分析：從已知圖形中直接求出DE的長較難，若用整體的觀點看待此題，可以先作出Rt△BEA，Rt△CDA分別關于BE、CD對稱的圖形，即作出整個三角形AFG，問題便迎刃而解。

解：如右圖，延長AE、AD分別交CB的延長線和反向延長線于F、G，則由已知易得。

AE=EF、AD=DG 且BF=AB= c，CG=AC= b

從而ED是△AFG的中位線

∴ DE = FG = （a+b+c）。

由這道幾何題可以看出運用整體思想指導解題使得我們解題明晰快捷。

五、整體思想在解綜合題中的運用

有些綜合題，如果拘泥于常規，從局部著手，則舉步維艱；如從整體考慮，則“峰回路轉”，迅速求解。

例7：在Rt△ABC中∠C=90°，若其周長為+4，斜邊上的中線為2。⑴求這個三角形的面積；⑵求這個直角三角形內切圓的面積；⑶若這個直解三角形兩個銳角的正切tanA和tanB是一個一元二次方程的兩個根，試寫出這個一元二次方程。

解：⑴∵c=2×2=4，a+b+c=+4

∴a+b=

又a2+b2 = 42 ∴ ab= 6

S△=ab=3

⑵Rt△ABC內切圓半徑r =（a+b-c）= -2

∴S內切圓=πr2=（11- 4）π

⑶∵tanA+ tanB =+ =，tanA·tanB=1

∴所求方程為x2-x+1=0

即 3x2-8x+3=0

分析：本題求面積，不必分別求出a、b，而以ab=6和a+b=2，而且求方程時利用根的性質運用韋達定理，直接整體運用，從而使問題易于求解。

綜上所述，運用整體思想解題，能夠拓展學生的思維，提高學生的分析問題和解決問題的能力，是一種重要的數學思想方法。隨著同學們知識面的拓寬，這一方法必將會得到更加廣泛的運用。

參考文獻：

[1]希揚，《初中數學狀元題庫》，科學出版社，2010年版；

[2]王林栓、林國泰《中學數學思想方法概論》，暨南大學出版社，2010年版；

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