基于研發實物期權的大型高風險軍用軟件項目計價模型研究

摘要：為了提出一種科學合理的大型高風險軍用軟件項目的計價方法，引入研發實物期權定價模型，并新增加研發項目的期權價格與初始價值之間的函數關系，通過分析研發項目的價格（最終市場價值）與初始價值、研發項目的價格與期權價格之間的函數關系，構建了研發項目的最終市場價值、期權價格、初始價值三者之間的方程組。然后，在證明該方程組有可行解的前提下，推導得出基于實物期權的軍用軟件定價模型。最后，通過多組案例的模型實驗，對該方法的有效性和可行性進行了證明。計算結果表明，與傳統的成本加上5%利潤的計價方法相比，由此方法制定的價格推算出的利潤率高于5%。

關鍵詞：研發實物期權；價格；初始價值；期權價格；軍用軟件

1 研發實物期權理論應用于大型高風險軍用軟件計價的可行性分析

使用研發實物期權的理論應用于大型高風險軍用軟件計價的理由有三點：

第一，研發周期長的大型高風險軍用軟件應當實行分階段計價。研發實物期權定價的基本思路是把研發過程分為若干階段，每一個階段都要計算市場價值和清算價值。其中，市場價值是指研發成功后的階段價格，清算價值是指研發失敗后的階段價格[4]。分階段計價一方面可以使研發過程中，中途研發失敗的項目仍然可以以一定的價格將階段性的成果轉包給其它研發機構繼續研發；分階段計價另一方面有益于研發周期長的軍用軟件項目管理、分期付款的依據、及時準確的跟蹤、控制軍用軟件研發的成本、進度等，這樣一來，分階段計價既可以用于目前的“目標價格生成”的研究，也可以用于“過程成本監控”的研究[2]。

第二，區別于中小型規模的軍用軟件按照成本加成原理進行定價，大規模的軍用軟件應該按照風險中性定價原理進行定價。

在同等成本投入、同等研發時間的情況下，軍用軟件研發成功的概率越小（失敗的概率越大），一旦研發成功，其包含的價值應該越大。換句話說，大型軍用軟件的定價不應當只是對成本進行補償，而應當肯定其技術價值。而研發實物期權定價思想是技術商品的定價基本原理，即：風險中性定價原理[4]。

第三，實物期權理論在研發項目的投資評估領域有廣泛的應用[5-8]，而軍用軟件開發項目屬于研發項目，符合實物期權理論的應用范圍。本文的研究在引用借鑒實物期權理論在研發項目的投資評估領域的研究成果的基礎之上，做了更進一步的改進和探索。

一般的硬件類研發項目的投資評估流程，是先估計產品的銷量和單價，然后運用二叉樹實物期權計價模型計算期權價值，從而得到該項目的投資價值[4]。區別于一般硬件類的研發項目，軍用軟件類、尤其是大型高風險軍用軟件類的研發項目，市場上沒有成熟的報價體系，因此無法估計數量和單價，從而也不能求解項目的期權價格。而本文的目的是求解軍用軟件價格，已有的實物期權計價模型基礎中包含兩個未知變量：期權價格、軍用軟件價格，一套算法不能求解兩個變量，需要引入其它方程。

根據期權定價理論中的風險中性定價原理，可以推導得到研發項目的最終價格與初始價值之間的邏輯關系，因此很自然的想到引入軍用軟件初始價值這個變量。三個變量需要三個系列的方程。

綜合以上分析，本方法的綜合模型由三個系列的方程組合而成。

第一類：根據風險中性定價原理，得到軍用軟件價格（最終市場價值）與軍用軟件初始價值之間的方程。

第二類：根據實物期權定價模型，得到軍用軟件價格（最終市場價值）與軍用軟件期權價格之間的方程。

第三類：根據期權的定義，得到軍用軟件初始價值與軍用軟件期權價格之間的方程。

2 大型高風險軍用軟件計價模型的構建

2.1 主要符號說明

（1）r－無風險利率；（2）R－資產收益率；（3）q1－初始階段的成功概率；（4）q2－細化階段的成功概率；（5）q3－構造階段的成功概率；（6）q4－交付階段的成功概率；（7）t1－初始階段的研發時間；（8）t2－細化階段的研發時間；（9）t3－構造階段的研發時間；（10）t4－交付階段的研發時間；（11）c0－項目的啟動成本；（12）c1－初始階段的估算成本；（13）c2－細化階段的估算成本；（14）c3－構造階段的估算成本；（15）c4－交付階段的估算成本；（16）CV1－初始階段的清算價值；（17）CV2－細化階段的清算價值；（18）CV3－構造階段的清算價值；（19）CV4－交付階段的清算價值；（20）p1－初始階段的風險中性概率；（21）p2－細化階段的風險中性概率；（22）p3－構造階段的風險中性概率；（23）p4－交付階段的風險中性概率；（24）MV0′－期權價值；（25）MV0－項目的初始價值；（26）MV1－初始階段的市場價值；（27）MV2－細化階段的市場價值；（28）MV3－構造階段的市場價值；（29）MV4－交付階段的市場價值。

2.2 研發階段劃分

參照軟件工程領域中的軟件生命周期模型的知識，可以將軟件研發過程劃分為若干階段。例如，在最經典的瀑布模型中，將軟件研發過程分為需求、設計、編碼、測試、維護五個階段[9]；在實踐當中應用得最廣泛的統一過程模型中，軟件研發過程分為初始、細化、構造、交付四個階段，每一個階段都是業務建模、需求、分析與設計、實現、測試、配置、變更管理、項目管理等的迭代[10]。本文選用統一過程模型作為劃分階段的依據。

初始、細化、構造、交付四個階段，每一個階段，如果研發成功，則實現市場價值（MV），如果研發失敗，則實現清算價值（CV），清算價值為截止到該階段為止的所有投入成本（見圖1）。

圖1 基于統一過程的二叉樹模型

2.3 綜合模型

2.3.1 第一類方程。第一類方程是根據風險中性定價原理，得到軍用軟件價格（最終市場價值）與軍用軟件初始價值之間的方程。

根據風險中性定價原理，每一個階段起始時的市場價值是每一個階段結束時市場價值與清算價值的數學期望值[11]。除此之外，還要考慮資金的時間價值以及現金的流出。

計算公式如下。

（1）

公式（1）是四個階段的市場價值遞推關系，從第四個階段開始，倒推至第一階段，得到最終市場價值（價格）MV4與初始價值MV0之間的方程為：

（2）

2.3.2 第二類方程。第二類方程是根據實物期權定價模型，得到軍用軟件價格（最終市場價值）與軍用軟件期權價格之間的方程。

設變量pi表示階段i的風險中性概率，r為無風險利率，根據研發實物期權的定價模型思想，可以得出如下等式：

（3）

最終市場價值（價格）MV4與期權價格MV0′之間的邏輯關系為：

（4）

2.3.3 第三類方程。第三類方程是根據期權的定義，得到軟件初始價值MV0與軟件期權價格MV0′之間的方程[10]。

（5）

2.3.4 綜合模型及其變量

綜合方程（1）至方程（5），得到原始的綜合模型。模型當中，共有29個變量，輸入變量有19個，分別為主要符號說明當中的符號（1）至符號（19）；輸出變量有10個，分別是主要符號說明當中的符號（20）至符號（29），最重要的輸出變量是MV4。

3 大型高風險軍用軟件計價模型的求解

3.1 模型有解的證明

根據公式（1），將MVi（i=0，1，2，3）表示成由MV4和輸入變量組成的函數；

若令：

（6）

則根據公式（1）的遞進推導，得：

（7） （8）

原始方程組為：

（9） 令：（10）

則原始方程組轉化為：

（11）

方程（11）中，y是x的線性函數，在二維平面圖中是一條直線；z是x的高階非線性函數。在二維平面圖中是一條曲線。要證明原始模型有解，則需要證明該直線和曲線有交點。以下是證明過程。

因為MV0＞0，且a0＞0，所以MV4＞(－b0/a0)，則方程可行解的取值范圍是（－b0/a0，+∞）。

將公式（1）中的第一項代入公式（3），得：

（12）

則： （13）

由公式（1）可以證明，當MV0＞0時，MVi＞CVi（i=1，2，3，4），則MVi-CVi＞0（i=1，2，3，4）。

因為0＜r＜0.1（行業數據），0.1＜R＜0.2（行業數據），即r＜R，則：(1+r)■-(1+R)■為負數（i=1，2，3，4）。

因此，公式（13）右邊 和均小于零。

所以 小于 （i=1，2，3，4），進一步得：

（14）

當x趨于正無窮大時，(b0－c0)為一常數，相對于■x可以忽略不計。

當x趨于正無窮大時，MVi也趨于正無窮大（i=1，2，3，4）。由公式（13），得pi趨于■（常數）（i=1，2，3，4），則f(x)中所有pi的乘積均趨于某常數，則

趨于某常數，相對于■可以忽略不計。

因此，

（15）

當x等于(c0－b0)/a0時，y等于0。

當x等于(c0－b0)/a0時，

（16）

在得出公式（14）成立之前，已經證明 小于（i=1，2，3，4），pi小于qi（i=1，2，3，4）。則：

1－pi/qi＞0

1－pi+pi－pi/qi＞0

(1-pi)-pi(■)＞0（i=1，2，3，4）。

又因為■＜■（i=1，2，3，4），轉換為■＜1（i=1，2，3，4）。

所以：

則：當x等于(c0－b0)/a0時，z=f(x)＞0

即：當x等于(c0－b0)/a0時，z=f(x)＞y

■＜1 （17）

根據零點定理，則在區間（(c0－b0)/a0，+∞），一定存在某一點x0，使得下式成立：

f(x0)=a0x0+b0-c0（18）

從而證明該方程一定有解。

3.2 模型的推導

模型的推導過程分為三步：

第一步，根據公式（1），將MVi（i=0，1，2，3）表示成由MV4和輸入變量組成的函數。

第二步，將第一步推導出的函數代入到公式（3），將pi（i=1，2，3，4）表示成由MV4和輸入變量組成的函數。

第三步，將第二步推導出的函數代入到公式（6），聯立方程組，得到只包含一個輸出變量MV4的一元十次方程。

（19）

其中，系數s0～s10均為由輸入變量組成的函數。

3.3 模型的計算步驟

模型的計算步驟分為三個階段，第一個階段是計算輸入變量的取值，第二階段是計算一元十次方程的系數取值，第三階段是運用matlab軟件計算一元十次方程的解。詳見圖2。

圖2 模型的計算步驟

4 模擬實驗的結果

為了驗證本文所提出的方法的有效性，本文隨機生成的多組數據作為輸入變量的取值進行模擬計算，這里僅列舉其中的兩組數據（見表1）。

5 結束語

本文首先分析了實物期權理論應用于大型高風險軍用軟件計價的可行性，然后構建了大型高風險軍用軟件的計價模型，并在證明該模型有解的基礎之上給出了的模型的求解方法和計算步驟，最后列舉了兩組模擬實驗結果，以驗證該方法的有效性。試驗結果表明，由該方法計算出來的價格、進而算出的利潤率明顯高于5%。從而可以得出結論：與傳統的成本加成計價方法相比，基于實物期權的計價方法更適合大型高風險軍用軟件的計價問題。

參考文獻

[1]總裝備部.軍品價格管理辦法 [S].北京：總裝，2010：1-2.

[2]總裝備部.關于進一步推進軍品價格工作改革的指導意見[S].北京：總裝，2010:11-12.

[3]魏汝祥.裝備軟件計價研究[R].國防科學技術報告，2011:1.

[4]馬蒙蒙.高技術企業研發實物期權評估研究 [D].中國科學技術大學，2006：89.

[5]Neely，I. and De Neufville，R. Hybrid Real Options Valuation of Risky Product Development Project [J]. International Journal of Technology，Policy and Management，2006，1:29-46.

[6]Perlitz，M.，Peske，T. and Schrank，R. Real Options Valuation: The New Frontier in RD Project Evaluation [J]. RD Management，2009，Vol. 29，3:255-269.

[7]Pennings，H. P. G.. and Lint，L. J. O. The Option Value of Advanced RD [J]. European Journal of Operational Research，2007，Vol. 103，1:83-94.

[8]Lint，L. J. O. and Pennings，H. P. G. RD as an Option on Market Introduction [J]. RD Management，2008，Vol. 28，4:279-287.

[9]Roger S. Pressman，Software Engineering [M]. 北京:機械工業出版社，2008:37.

[10]姚登峰. 基于RUP的軟件測試 [M]. 北京:清華大學出版社，2009:33-35.

[11]John C. Hull，Fundamentals of Futures and Options Markets [M]. 北京:機械工業出版社，2009:177，206.

作者簡介：吳琴，女，講師，博士，主要研究方向：軟件計價。