數(shù)形結(jié)合思想的妙用

【摘 要】數(shù)形結(jié)合的思想是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形或由形思數(shù)，把數(shù)和形結(jié)合起來分析問題的思想。數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)不僅只在于傳授知識，還在于塑造有數(shù)學(xué)思想的人。數(shù)形結(jié)合將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易，化繁為簡，從而得到解決。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，是數(shù)學(xué)的精髓，是解題的指導(dǎo)思想，更能使人受益匪淺。加里寧曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)是鍛煉思想的“體操”。目前我們初中階段涉及到的數(shù)學(xué)思想有：整體思想、換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等等。本文就數(shù)形結(jié)合思想談?wù)勗诮忸}時的妙用。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩種表達(dá)形式，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)用“數(shù)缺形時少直觀，形離數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”形象生動地闡述了數(shù)形結(jié)合的意義。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。下面就數(shù)形結(jié)合思想在具體問題中如何應(yīng)用加以舉例進(jìn)行說明。

一、代數(shù)問題借助幾何圖形進(jìn)行思考

例1：某班有50名學(xué)生，參加數(shù)學(xué)競賽的有30人，參加演講比賽的有25人，兩科競賽都沒有參加的有8人，問兩科競賽都參加的有幾人？

解析：這是一個一元一次方程的應(yīng)用問題，我們可以借助幾何圖形來尋找等量關(guān)系，如圖1，大圓表示該班的學(xué)生總數(shù)，兩個小圓分別表示參加數(shù)學(xué)競賽和演講比賽的學(xué)生，兩個小圓的公共部分表示兩科競賽都參加的學(xué)生，大圓內(nèi)與小圓外之間的部分表示兩科都沒有參加的學(xué)生。設(shè)兩科競賽都參加的學(xué)生有x人，則有：8+30-x+x+25-x=50，解得x=13。即兩科比賽都參加的學(xué)生有13人。

例2：已知點C在直線AB上，線段AC=7cm，線段BC=3cm，點E、F分別是線段AC、線段BC的中點，求線段EF的長。

分析：點C在直線AB上，這樣的點C既可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長線上，所以通過畫圖使學(xué)生理解起來更直觀些，知道求線段EF的長有兩種情況（EF=CE+CF或EF=CE-CF）。

解：因為點E、F分別是線段AC、線段BC的中點，所以CE=AC=3.5（cm），CF=BC=1.5（cm）

第一種情況（如圖2），當(dāng)點C在線段AB，EF=CE+CF=5（cm）第二種情況（如圖3），當(dāng)在線段AB的延長線上，EF=CE-CF=2（cm）

二、幾何問題借助代數(shù)關(guān)系進(jìn)行計算

例3：如圖4，正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果要拼成一個長為a+3b、寬為a+b的大長方形，則需要C類卡片幾張？

分析：本題是典型的幾何問題代數(shù)化，因為大長方形的面積（a+3b）（a+b）=a+4ab+3b，一方面利用等式乘法得出a+4ab+3b，另一方面結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)a+4ab+3b實際上是已知的三種卡片的面積之和，利用拼圖前后面積相等得出結(jié)論需要4張C類卡片。

例4：小明在拼圖時，發(fā)現(xiàn)8個一樣大小的長方形恰好可以拼成一個大的長方形，如圖5所示。小紅看見了說：“我來試一試”，結(jié)果小紅七拼八湊后，拼成如圖6所示的正方形。但是中間還留有一個邊長為2mm的小正方形。你能求出原來小長方形的長和寬嗎？

分析：本題中有兩個未知量：長方形的長和寬，而兩個拼圖恰好給出了兩個等量關(guān)系，圖5中得到：3個長等于5個寬，圖6中得到：寬的2倍減長等于2，因此本題可以通過二元一次方程組解決。

三、數(shù)形有機結(jié)合，簡化計算過程

例5：拋物線y=3x向右移動3個單位長度，向上移動5個單位長度，求移動后拋物線的解析式？

分析：通過數(shù)形結(jié)合我們很容易得出拋物線平移的實質(zhì)就是點的移動，所以我們可以取特殊點（比如拋物線的頂點）移動，得出拋物線平移的規(guī)律是：左加右減，上加下減（左右移動是指解析式中x加或減，上下移動是指個式子加減），從而得出答案為y=3（x-3）+5。

例6：（2010年攀枝花市）如圖7，等腰Rt△ABC位于第一象限，AB=AC=2，點A在直線y=x上，點A的橫坐標(biāo)為1，邊AB、AC分別平行于x軸、y軸。若雙曲線y=與△ABC有交點，則k的取值范圍為（ ）

A.1

分析：先根據(jù)題意求出A點的坐標(biāo)，再根據(jù)AB=AC=2，邊AB、AC分別平行于x軸、y軸求出B、C兩點的坐標(biāo)及BC中點坐標(biāo)，計算雙曲線y=（k不等于0）分別經(jīng)過A點和BC中點時K的取值，最終確定答案選C。

上述例題充分說明在初中數(shù)學(xué)解題中，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅容易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的推理與計算，用簡單直觀的圖形代替冗長的代數(shù)推理，大大簡化了解題過程。教師通過在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的方法，可以開拓學(xué)生的思維，把抽象問題直觀化，對學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣大有幫助，并且也有助于學(xué)生進(jìn)入高中階段的學(xué)習(xí)。本文所舉例題將數(shù)與形有機結(jié)合起來，突出了數(shù)形結(jié)合思想的妙用。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]張軍.一元一次方程中的數(shù)學(xué)思想方法[J].初中生世界，2012（11-12）

（作者單位：江蘇省啟東市繼述中學(xué)）