基于改進的信息熵為權重的模糊多屬性決策

摘 要：本文針對未知權重的模糊多屬性決策問題進行了討論，給出了以梯形模糊數得到屬性值為元素的模糊決策矩陣，并將其規范歸一化，基于信息熵的定義給出了新的熵權的算式，總結了基于此方法的模糊多屬性決策的算法，并實踐于項目投資的實例中，驗證了該方法是行之有效的。

關鍵詞：模糊決策矩陣 信息熵 熵權 模糊多屬性決策

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（b）-0022-03

多屬性決策（Multiple attribute Decision Making，MADM）是指決策者按照已知的決策準則，對一組離散、有限的方案進行評價和選擇的問題。由于MADM廣泛存在于社會的各個領域，如項目的投資、人才的考核、政策的制定、效益的評估、戰略的部署等等，所以長久以來MADM問題一直是決策分析的研究熱點之一。但現實的許多決策問題中，決策者常常會遇到一些難以準確描述的事物，即事物表現出一種亦此亦彼且不滿足排中律的模糊性。模糊集和多屬性決策相結合形成了模糊多屬性決策（FMADM），成為當今最有發展前途、最前沿的研究領域之一。面對錯綜復雜、千變萬化的工程系統，模糊決策矩陣是描述決策者對方案或者屬性偏好的一個非常普遍、可行、合理、及強有力的重要工具。且決策者的最終目標就是對方案集X中的元素進行排序或擇優，故對基于模糊決策矩陣（包括AHP中的模糊判斷矩陣）MADM方法的研究具有明顯的現實意義和理論意義。

而在多屬性模糊決策中，關于不同屬性的權重的取值歷來是模糊多屬性決策問題中的重要一環。權重的選擇只靠選擇者的主觀評斷或者專家系統，已經很難具有說服力。雖然關于變權的定義也多有出現，但大多是定義在基礎權重上的不同迭代算法，雖實現了權重的變化，但也脫離不了開始的基礎權重，和本身系統的屬性值關聯不大，不能很好的體現可選擇對象自身的含義。而在信息論中，信息熵是基礎概念，來描述信息系統的不確定性的大小。它是關于通訊系統的描述函數，熵值越大，表明系統越不確定性大，無序性大，反之說明系統確定性大。信息論中的模型本身就是一個多屬性系統，因此，可以將信息熵和多屬性決策進行結合。本文討論了基于信息熵定義的一種依靠模糊決策矩陣生成的權重方法，并在其基礎上予以改進，并形成多屬性的模糊決策的算法，具體解決了關于項目投資的多屬性模糊決策問題。

1 多屬性模糊決策的相關理論

定義1.1[1]：記為決策方案集合。為多屬性評價指標集合，對于待定的方案相對評價指標屬性進行評估得到的屬性值為元素構成的矩陣稱作是多屬性決策的決策矩陣，經過一定的規范化方法得到的規范化指標構成的矩陣叫做規范化決策矩陣，可記作。

其中，指標屬性采取模糊方法取得的屬性值得到的決策矩陣叫做模糊決策矩陣。本文采取梯形模糊數來選擇指標屬性值。

定義1.2[2]：記，，稱為梯形模糊數。其隸屬度函數，可以表示為：

。則模糊決策矩陣的元素為：

。表明個可選擇對象，個評價屬性。模糊決策矩陣進行規范化后的矩陣記為，其中。

定義1.3[3]：成本性屬性指標是指屬性值越小對系統越有益的屬性，比如投資成本，政治經濟影響程度，技術手段強弱，風險分析等等。規范化成本型指標公式可定義如下：

。

因為本文選取的是梯形模糊數，且。

則上述算式可變為，。

定義1.4：效益型屬性指屬性值越大對整個選擇月有益的屬性指標。比如經濟增長分析，社會效益，可靠性分析等等，對于效益型屬性指標的規范化公式可如下定義：

，

本文則可轉化為。

定義1.5[3]：固定型指標指標指指標穩定，趨近某個固定值時候對于選擇越有益的屬性指標，比如電子元件使用時間，期貨上市時間等等。

規范化公式為：。

定義1.6[4]：歸一化規范化矩陣：

，

梯形模糊數的數學期望即。

2 熵權的定義及其改進

定義2.1[5]：熵是熱力學中的概念，在信息論中熵是針對于系統、通訊不確定性的一種度量。

考慮一個概率空間，個概率實驗離散信源熵。

由定義可知信息熵，且當概率等概分布時候，熵值最大（本文取自然對數）。

由于熵的定義不符合權值的取值范圍，因此，要對上述熵值進行改進。

定義2.2[4]定義熵為。第個屬性的分散程度可表示為，代表指標重要程度。第個指標分散的程度越高，表明該指標重要性越大，越容易選擇，反之亦然。

定義2.3：定義熵權，。明顯可得。

這種定義的熵權不僅是可變權重，而且具有基于模糊決策矩陣的可變性和普遍性，但是在文獻[7]中，作者指出該定義方式，當熵值時，即分散度時，容易由熵值得微小差別而導致熵權的劇烈變化，因此對其可以進行改進。

從而得到的，

比較大小仍可得結果是。

分析兩種結果可知，第二種改進的熵權計算均勻熵值，改進后的權值更符合實際，能有效的規免熵權的大幅度變化。從實際來看方案的投入最小，風險最小，收益第二，相對優選，而則投入最大，風險最大，收益最小，當然是末選，也符合實際情況。

6 結語

模糊多屬性決策問題已經日益成為模糊決策的重要議題，本文基于信息熵的定義給出了新的熵權的算式，給出了以梯形模糊數得到屬性值為元素的模糊決策矩陣，并將其規范歸一化，屬性值加權得到的模糊數進行排序，并作用于實例，得到了良好的驗證，為模糊多屬性決策問題的研究補充了新的探索方法。

參考文獻

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