做好少數民族學生線性代數教學的體會①

摘 要：由于語言、思維習慣、基礎等因素的影響，新疆地區少數民族大學生學習理工科課程倍感困難。如何從民族學生的特點出發，探索出適合民族學生的教學方法，一直是我區高校教師研究的課題。本文結合作者的教學經驗，從民族學生的特點出發，從四個方面談做好線性代數教學的體會。

關鍵詞：線性代數 民族學生 教學體會

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（b）-0089-02

線性代數是代數學的一個分支。隨著數學理論的發展及應用的日益廣泛，線性代數的理論和方法已經滲透到物理學、統計學、計算機科學、人工智能、系統控制論、信息論、圖形圖像處理、材料化工和農林醫學等領域。同時，線性代數是一門對理工科學生極其重要的學科，它不僅是學習后續課程如大學物理、線性規劃、統計分析、計算方法、圖論等專業課的基礎課程，還可以培養學生的抽象思維和邏輯推理能力，因此這門課程是理工科學生必修的一門重要的基礎理論課。

線性代數具有很強的理論性、抽象性、邏輯性，要求學生要有較強的抽象思維能力和邏輯思維能力，而且這門課的各章節的知識聯系緊密，如果哪一個環節或知識點沒有掌握好，勢必影響相關內容的學習，這就需要學生能夠有意識地把前后知識相互聯系，融會貫通。因而對學生的要求是比較高的。

我校信息管理與信息系統專業和生物醫學工程專業開設了該門課程。通過幾年的教學，發現我校的少數民族學生學習并掌握這門課程有一定難度。新疆是一個少數民族聚集的地區，少數民族學生占有很大比例，漢族班中有1/3是民考漢和雙語班的民族學生，還有一半的班級是純民族班。其中絕大多數學生來自全疆偏遠地區，漢語水平很低，在教師使用漢語進行授課時，在聽課和理解等方面會感到非常困難。同時多數民族學生數學基礎不夠扎實，理解能力較差，不善歸納總結，舉一反三，獨立學習的能力不強，依賴性較強，學習比較吃力，尤其是數學、物理等理科課程。因而如何針對民族學生做好《線性代數》的教學就成為我們研究的課題之一。下面根據作者多年教學經驗，談幾點教學體會。

1 將授課內容層次化、條理化

也許是編寫教材的需要，有些教材的某些章節在內容上有些混亂，缺乏層次和條理，這給學生的預習、復習帶來比較大的困難。特別是大多數民族學生獨立學習的能力較弱，看書更為困難。這就要求教師在備課、授課時不必拘泥于教材的內容次序，將授課內容用小標題層次化、條理化，使學生對本節課所講的內容一目了然，可以很方便地根據筆記看書復習。例如：（1）在講矩陣的概念時，先講矩陣的概念：包括定義、表示方法、實矩陣和復矩陣。再把一些常見的矩陣：包括行矩陣、列矩陣、同型矩陣、矩陣相等、零矩陣、非負矩陣、矩陣的負矩陣、方陣、單位矩陣、對角矩陣、數量矩陣、三角形矩陣、對稱矩陣集中介紹，這樣可以使學生對這些常見的矩陣及其特點先有個系統的初步了解，而不像有些教材那樣東一個概念西一個概念，顯得雜亂無章。最后講矩陣的應用：包括矩陣在日常生活中的應用、矩陣與線性變換及線性方程組之間的關系，使學生了解矩陣與線性變換及線性方程組之間的對應關系，初步建立利用矩陣可以解決線性變換及線性方程組的問題的思想。（2）在講矩陣的運算時，先講矩陣的運算：包括矩陣的線性運算、矩陣的乘法、矩陣的冪運算。再講矩陣運算的應用：包括矩陣的運算在日常生活中的應用、線性變換及線性方程組的矩陣方程的表示及利用矩陣的運算解矩陣方程及線性方程組，特別是讓學生掌握線性變換及線性方程組的矩陣方程的表示方法，這為利用矩陣及向量解線性方程組打下堅實的基礎。最后介紹矩陣的轉置矩陣、對稱矩陣、方陣的行列式、伴隨矩陣的概念及其性質，為逆矩陣做準備。（3）在講方陣的對角化時分為：相似矩陣的概念及性質，對角矩陣的概念及其運算規律（補充內容），相似矩陣和對角矩陣在計算方陣的冪和方陣的多項式中的作用，方陣對角化的條件及可以對角化時對角化的方法四部分等等。實際上所有的內容都可以采用這種層次化、條理化的方法進行講解。民族學生非常認同這種教學方法，這使得他們對所學知識的結構更加清晰，條理更加分明，頭腦更加清楚，不至于在看教材時頭腦混亂，從而失去學習的興趣。

2 用簡單的例子使抽象的證明具體化、形象化

眾所周知，線性代數具有抽象性邏輯性嚴密性等學科特點，其中的很多定理的證明十分抽象，需要學生具有一定的想象能力，而這些定理的證明對學生深刻理解并融會貫通前后所學知識，以此來解決問題，培養其邏輯思維能力是必不可少的，對學生學好線性代數這門課程是非常重要的。而民族學生的直覺思維較好，易接受直觀的結論，抽象思維和動手能力較弱，因而學習定理的證明對民族學生來說是非常困難的。在教學過程中，我們采用了利用簡單的例子進行輔助證明，使抽象的證明具體化、形象化。例如：（1）在解釋性質：“用階初等矩陣左乘矩陣，相當于對施行一次對應的初等行變換，用階初等矩陣右乘矩陣，相當于對施行一次對應的初等列變換”及其使用方法時，使用一個簡單的例子進行驗證，就可以使學生很容易理解其含義和使用方法，在遇到計算若干個初等矩陣與一個矩陣的乘積時，可以用該性質直接得到相應的結果。（2）在證明定理“若，則”中“若經一次初等行變換變為，則≤”時，教材上的證明過程過于簡單抽象，民族學生很難理解。我們用一個具體的五階方陣說明證明過程。如證明“當交換的與變為，有≤”時，設，是矩陣的一個最高階非零子式，用該五階方陣分析在既不含也不含、只含與其中之一，既含又含三種不同的情況下，所證的結論都成立。對其它兩種初等行變換也同樣，這樣學生就比較容易理解。（3）在講解判斷列向量能否用列向量組線性表示時，可以先用定義判斷一個簡單具體的例子，通過該例使學生直觀地了解列向量能否用列向量組線性表示取決于非齊次線性方程組是否有解，其中系數矩陣是由列向量組所構成的矩陣，而是否有解又取決于是否等于，從而得到通過計算和判斷的方法，然后再對一般情況進行分析，得到相同的結論。判斷列向量組的線性相關性也同樣如此，既直觀又簡單。實踐表明民族學生非常喜歡這種教學方法，覺得學習變得簡單易懂了。

3 注重對相關知識、方法的歸納總結

大多數民族學生歸納總結的能力比較弱，教師應幫助引導學生對所學的知識和方法進行歸納總結。例如：（1）方陣可逆性是線性代數非常重要的內容，其應用幾乎貫穿了幾乎所有章節。方陣可逆的充要條件非常多，需要教師引導學生對教材中出現的可逆的充要條件進行歸納總結，即：階方陣可逆（是非奇異矩陣）存在有限個階初等矩陣，使得……（2）幫助學生總結求常見的求逆矩陣的方法：用伴隨矩陣的方法和用初等變化的方法。（3）解矩陣方程和線性方程組常用的方法有：設未知元的方法、逆矩陣的方法（若系數矩陣是方陣且可逆）、矩陣的初等變換方法、向量的方法，并將計算步驟進行總結。這使得學生能夠清晰地了解解決這些問題有哪些常用方法，有哪些使用條件和優缺點，怎么去做，能夠擇題而用。

4 時刻注意糾正民族學生經常出現的錯誤

線性代數是一門非常嚴謹的學科，每個概念、記號都有其獨特的含義，性質、運算律與學生熟知的實數有很大不同。同時該門課前后知識聯系緊密，行列式、矩陣、向量交相混雜，很容易混淆，因此，需要學生從開始就要養成理解每個概念的含義，注意概念間的區別與聯系和正確表示方法，注意性質、運算律中與實數不同之處的習慣，這樣才能少犯錯誤。也許是環境使然，大多數民族學生經常會犯混淆概念，亂用記號，想當然地使用性質、公式、運算律等錯誤。這需要教師從開始就要時刻注意糾正民族學生容易出現的錯誤。例如：（1）行列式和矩陣是線性代數兩個非常重要的概念，矩陣的記號是數表外加括號，行列式記號是數表外加兩豎線，形式很相像，但它們是兩個截然不同的概念，矩陣是一個行數和列數可以相同也可以不同的數表，而行列式是一個行數和列數相同的數表所確定的一個數或一個表達式，不能混淆，隨意亂用。同時矩陣與行列式又是緊密相關的，方陣有對應的行列式，方陣的行列式與該方陣的可逆性、秩等概念、方法緊密相關，從而揭示出矩陣更深刻的特性，因此，在教學中必須要求學生養成正確使用記號的習慣。（2）在進行矩陣的運算時，矩陣的乘法必須滿足相乘的條件及不滿足交換律，這與實數的運算是完全不一樣的，而民族學生經常會犯不注意矩陣的相乘次序及把實數的運算方法和公式直接用于矩陣運算的錯誤，教師在講授時應注意向學生講清矩陣運算和實數運算的本質區別。如：對矩陣而言，①即使矩陣與可乘，但與未必可乘，即使與也可乘，也未必有。②當時，與中不一定有零矩陣。③實數運算等對矩陣運算均不成立。④在用逆矩陣的方法解矩陣方程（線性方程組）（）時，若可逆時，則（），但很多民族學生不注意相乘次序，寫成（），造成計算錯誤。只要教師從一開始就注意糾正像這些經常出現的錯誤，民族學生的這些不良習慣是可以改正的。

以上主要是針對新疆少數民族學生線性代數教學的幾點體會，雖然很簡單，但對民族學生的教學卻非常實用，只要教師從小處著手，從一點一滴做起，是可以解決少數民族學生學習線性代數的困難，提高線性代數的教學水平。

參考文獻

[1]同濟大學數學教研室.（工程數學）線性代數[m].5版.高等教育出版社，2007：1-132.

[2]吳贛昌.（經管類）線性代數[m].中國人民大學出版社，2007（9）：1-167.