高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合思想方法的研究

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法和解題方式。隨著高中階段學(xué)生接觸到的知識點越來越多且越來越復(fù)雜，很多時候?qū)W生難以理清思路，但數(shù)形結(jié)合則能很好的讓這個問題得以解決，讓實際的數(shù)學(xué)問題更為簡單與直觀。本文將從多個方面分別談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合思想方法的研究。

一、求最值問題

數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)求最值問題中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在如下兩方面：

1.涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解

涉及與圓有關(guān)的最值一般可總結(jié)為如下幾種模式：

（1）形如 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；（2）形如 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；（3）形如w=（x-a）2+（y-b）2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離平方的最值問題等。

例題1.已知實數(shù)，x、y滿足方程：

（1）求y-x的最大值和最小值；

（2）求（x+2）2+y2的最大值和最小值。

解：（1）如圖1-1，設(shè)y-x=b即y=x+b，當(dāng)y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時 ，即b=±。故y-x的最大值為+，最小值為-。

（2）如圖1-2，（x+2）2+y2表示圓上的點與點（-2，0）距離的平方，由平面幾何知識知道它在點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到點（-2，0）的距離為2，故（x+2）2+y2的最大值為32=9，故（x+2）2+y2的最小值為12=1。

2.若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，可用數(shù)形結(jié)合的方法求解

當(dāng)從函數(shù)的解析式能夠明顯看出是某種圖形時，對于這種情況將函數(shù)表達(dá)式用圖形表現(xiàn)出來是最直觀也最為有效的解題思路，通常將函數(shù)呈現(xiàn)在圖形中后，相應(yīng)的未知量的變化趨勢與變化結(jié)果也會很明顯，這對于解題過程是非常有幫助的。

例題2.求函數(shù) 的最小值。

解：如右圖，函數(shù) 的幾何意義為：平面內(nèi)一點P（x，0）到兩點A（-3，4）和B（5，2）距離之和就是y的值。由平面幾何知識，找出B關(guān)于x軸的對稱點B'（5，-2）。連結(jié)AB'交x軸于一點P為所求的點，最小值

二、求集合問題

在集合運算中常常借助于數(shù)軸、韋恩圖等圖形工具來處理集合的有關(guān)運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。數(shù)形結(jié)合不只是體現(xiàn)在函數(shù)上，高中數(shù)學(xué)中有很大板塊會考察到學(xué)生的邏輯思維能力，對于這類題目如果能夠?qū)l件用圖形很好的表示出來，這不僅是對于一直條件的一種非常有效的歸納整理，也能夠幫助學(xué)生邏輯更清晰，思維更敏捷，從而對于題目有更好的解答。

例3.某班有52名學(xué)生，每人至少參加一項體育活動，參加足球、籃球、乒乓球小組的人數(shù)分別為30、24、18，同時參加足球、籃球的有8人，同時參加足球、乒乓球小組的有6人，同時參加籃球、乒乓球小組的有4人，問，同時參加足球、籃球、乒乓球小組的有多少人？

解：利用韋恩圖求解，我們可用圓A、B、C分別表示參加足球、籃球、乒乓球小組的人數(shù)（如圖），則三圓的公共部分正好表示同時參加足球、籃球、乒乓球小組的人數(shù).用n表示集合的元素，

則有：

即：

所以：

三、解不等式與求取值范圍

1.解不等式

在不等式的題目中有一些題目專門考查大家的數(shù)形結(jié)合能力，而且有些題目我們必須得用數(shù)形結(jié)合才能快而方便地求解，這些題目都有一些比較明顯的特征，所以我們必須根據(jù)其特點來借助圖形進(jìn)行思考。

例4. ，若f（a）>a，求

實數(shù)a的取值范圍。

解：求f（a）>a中a的范圍，實際上是f（x）>x中x的范圍。在同一坐標(biāo)系下分別作出y=（x）與y=x的圖像。由 解得x=1，又由：=x（x<0）解得x=-2，故觀察圖形可知a的取值范圍為 。

2.求取值范圍

函數(shù)的圖像從形上很好的反映出了函數(shù)的性質(zhì)，故在研究函數(shù)性質(zhì)時要注意結(jié)合圖像，利用數(shù)形結(jié)合能較快地求出變量的取值范圍。函數(shù)由于其自身具有很強的抽象性，因此在分析函數(shù)問題時學(xué)生很難立刻找準(zhǔn)思路并且理清思維，這時，如果能夠借助圖形讓函數(shù)在圖像上很好的得以表達(dá)，這將會讓問題非常直觀，也更容易讓問題得以解決。

例5.若關(guān)于x的方程 有兩個不同的實根，求m的取值范圍。

解：畫出 和 的圖像。

當(dāng)直線 過點 ，即 時，

兩圖像有兩個交點如圖所示：

又由 ，得：

令 ，得m=1.所以當(dāng)

時，兩圖形有兩個交點，方程有兩個實根。

本題應(yīng)用圖像法求解，既能夠讓條件更為直觀，也能夠極大的減小運算量，用圖像法解題時，圖像間的交點坐標(biāo)應(yīng)通過方程組求解。用圖像法求變量的取值范圍時，要特別注意端點值的取舍和特殊情況，做到“數(shù)”與“形”的等價。

結(jié)語：

數(shù)形結(jié)合是一種非常實用并且非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法，借助數(shù)形結(jié)合能夠迅速讓問題簡化，并且讓問題變得更直觀，數(shù)形結(jié)合的思維是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重點培養(yǎng)學(xué)生掌握的。數(shù)形結(jié)合的思想在很多方面都能夠得以體現(xiàn)，無論是求最值問題，求集合問題，還是解不等式與求取值范圍的相關(guān)問題，這些都是高中數(shù)學(xué)中常見的、并且較為復(fù)雜、綜合性較強的問題，借助數(shù)形結(jié)合的思想能夠讓這些問題都得以良好的解決。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)讓數(shù)形結(jié)合的思想在課堂教學(xué)中更為深入。

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學(xué)）