不等式中恒成立問題求解的基本策略與方法

摘 要：本文研究解不等式恒成立問題基本方法，得出一般性解題規(guī)律。

關(guān)鍵詞：不等式 恒成立 求解策略

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（c）-0105-01

在不等式綜合問題中，經(jīng)常會遇到當一個結(jié)論對于某一參數(shù)的某一個取值范圍的所有值都成立的問題，這就是不等式中的恒成立問題，這類問題綜合性強，解法靈活，對思維能力要求較高，有利于考查考生的綜合解題能力。解答此類問題的基本策略是：利用化歸與轉(zhuǎn)化思想，將未解決的問題化歸轉(zhuǎn)化為已解決的函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象，通過靈活的代數(shù)變形求解。基本的方法有以下幾種。

1 最值轉(zhuǎn)化法

所謂最值轉(zhuǎn)化法是指：形如 f （x）≥g（k）或 f （x）≤g（k）的不等式對于給定范圍內(nèi)的一切x恒成立，求k取值范圍時，可轉(zhuǎn)化為與之等價的命題g（k）≤f （x）min或g（k）≥f （x）max即可。

例1：設x>f >z，n∈N，且（x-z）（+）≥2a+2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 。

解：∵x>f >z，∴x-z=（x-f ）+（ f -z）。

∴（x-z）（+）=[（（x-f ）+（ f -z）] （+）

=2++≥4（當且僅當x+z=2y時取等號）。

∴4≥2a+2，即a≤1。

即滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是（-，1]。

點評：運用最值轉(zhuǎn)化法要理解兩個轉(zhuǎn)化式：f （x）≥g（k）恒成立f （x）min≥g（k），f （x）≤g（k）恒成立f （x）max≤g（k），依此轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題與解不等式問題。

2 參數(shù)分離法

若在不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等式的兩邊，寫成g（λ）≥f （x）或g（λ）≤ f （x）恒成立形式，再利用最值轉(zhuǎn)化法求解。

例2：設函數(shù) f （x）=x2-1，對任意x∈[，+），f （）-4m2f （x）≤f （x-1）+4f （m）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______ 。

解：f （x）=x2-1知 f （）-4m2f （x）≤f （x-1）+4 f （m）（4m2+1-）x2-2x-3≥0

4m2+1-≥在x∈[，+）恒成立4m2+1-≥（）max。

又=+=3（+）2-，∵x∈[，+），∴∈（0，]，

∴（）max=3（+）2-=，∴4m2+1-≥（3m2+1）（4m2-3）≥0，

∴m2≥，即m≤-或m≥，故填（-，][，+）.

點評：最值轉(zhuǎn)化法與參數(shù)分離法是解不等式中恒成立問題最常用的兩種方法，兩種方法實質(zhì)一致，只是利用最值轉(zhuǎn)化法時只含參數(shù)的項（也可含常數(shù)項）項已經(jīng)置于不等號的一側(cè)，而采用參數(shù)分離法時，參數(shù)和另一個變量混雜在一起置于不等式的一側(cè).參數(shù)分離時一定要把含參數(shù)的式子放在不等號的一邊，不含參數(shù)的式子放在另一邊，若參數(shù)不能分離，則不能使用此法。

3 一次函數(shù)法

給定一次函數(shù)y=f （x）=kx+b（k≠0），若y=f （x）在[m，n]內(nèi)恒有f （x）>0，則根據(jù)一次函數(shù)的圖象（線段）可得上述結(jié)論等價于

①或②也可合并成

同理，若在[m，n]內(nèi)恒有f （x）<0，則有

此結(jié)論可推廣至k=0的情形。

例3：對于（0，3）上的一切實數(shù)x，不等式（x-2）m<2x-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

解：設f （x）=（x-2）m-（2x-1）=（m-2）x+1-2m，將它看成是關(guān)于x的直線，由題意知在區(qū)間（0，3）間線段橫在x軸的下方。

所以解得≤m≤5。

點評：利用一次函數(shù)的性質(zhì)，對于f （x）=kx+b，x∈[m，n]，有f （x）>0 f （x）<0據(jù)此解某些不等式恒成立時求參數(shù)取值范圍問題較為簡捷。

4 變量轉(zhuǎn)換法

某些含參數(shù)的不等式恒成立問題，在分離參數(shù)時會遇見討論的麻煩或即使容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值難以求出時，可考慮將變量與參數(shù)交換位置，把參數(shù)看作變量，變量看作參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，一般是一次函數(shù)，再利用其性質(zhì)求解。

例4：對于滿足0≤a≤4的一切實數(shù)，不等式x2+ax>4x+a-3恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。

解：不等式x2+ax>4x+a-3恒成立，即（x-1）a+x2-4x+3>0恒成立。

令f （a）=（x-1）a+x2-4x+3，a∈[0，4]，圖象是一條線段，要使f （a）>0在[0，4]上恒成立，只須滿足：

解得x<-1或x>3。

故實數(shù)x的取值范圍是（-，-1）（3，+）。

點評：本題把變量為x的不等式看作變量為a的不等式，再利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解。當一個不等式在一次變量的某個取值范圍內(nèi)恒成立，求二次變量的取值范圍時，可考慮這種變量轉(zhuǎn)換法。

總之，求解不等式中的恒成立問題的基本思路就是化歸與轉(zhuǎn)化，把復雜的問題等價轉(zhuǎn)化為簡單的、容易解決的問題。要做到正確的、靈活的轉(zhuǎn)化，就要求同學們對典型問題的典型解法加以研究并自覺地疏理知識，形成知識板塊結(jié)構(gòu)和方法體系，在此過程中不斷提高自己的數(shù)學解題能力。