函數(shù)的凸性在解題中的應(yīng)用

摘 要：函數(shù)貫穿著中學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，函數(shù)的凸性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，雖然此性質(zhì)沒(méi)有在中學(xué)數(shù)學(xué)中直接提出，但它隱含在高考、競(jìng)賽、自主招生的題目之中。這篇文章就函數(shù)的凸性及應(yīng)用作了一個(gè)介紹，說(shuō)明什么是函數(shù)的凸性，有關(guān)的定義、定理及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的凸性 有關(guān)定義定理 在解題中的應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G421 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）04（c）-0106-02

我們已經(jīng)知道函數(shù)和的圖象，它們不同的特點(diǎn)的是：曲線上任意兩點(diǎn)的弧段總在兩點(diǎn)連線的下方，而曲線上任意兩點(diǎn)的弧段總在兩點(diǎn)連線的上方。我們把具有前一種特性的曲線成為凸的（或成為下凸的），相應(yīng)的函數(shù)成為稱為凸函數(shù)；具有后一種特性的曲線成為凹的（或成為上凸的），相應(yīng)的函數(shù)成為稱為凹函數(shù)。

定義：設(shè)為定義在區(qū)間（a，b）上的函數(shù)，若對(duì)于（a，b）內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，總有

則稱為（a，b）上的凹函數(shù)。

注：如果（1）、（2）中的不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)成為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù)。

圖1中的（1）、（2）分別為凸函數(shù)和凹函數(shù)的幾何形狀，其中

，，

一般地，如果為（a，b）上的凸函數(shù)，那么為（a，b）上的凹函數(shù)。因此，我們只需討論凸函數(shù)的性質(zhì)即可。

定理1：設(shè)為（a，b）上的凸函數(shù)，是（a，b）內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，則有下邊三個(gè)結(jié)論：

（1）≤。

（2）≤。

（3）≤。

證明：這是在幾何直觀上明顯成立的事實(shí)，其證明十分簡(jiǎn)單，是凸函數(shù)定義的直接推論，則

整理可得≥所以結(jié)論（3）得證

由（3）證（1），設(shè)（a，b）上的兩點(diǎn)，

，由（3）并利用

分別用、乘上面兩式并相加可得

≥所以結(jié)論（1）得證

注意結(jié)論（3）的幾何意義是曲線總是在它的任意一條切線的上方如圖2。

對(duì)于凹函數(shù)同樣有類似定理2的結(jié)論。

定理3：設(shè)為（a，b）上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在（a，b）上為凸（凹）函數(shù)的充要條件是≥≤，

證明：必要性：由的凸性和定理2

可得取定則任意 ≥

由于在x點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)就有

由上兩式分別乘以相加就得到

≥所以是（a，b）上的凸函數(shù)

例1：討論函數(shù)的凸凹性區(qū)間

解：由于

當(dāng)≤0時(shí)，≥0 當(dāng)≥0時(shí)，≤0

所以，在上為凸函數(shù)；在上為凹函數(shù)

例2：求證：≤其中a，b，c均為正數(shù)

證明：設(shè)

因此，在x>0時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù)。

依據(jù)詹森不等式有（注：詹森（Jensen）不等式

≤

如果在[a，b]上是凸函數(shù)那么對(duì)于任意

從而≤

即≤，又≤

所以≤

注：取=1時(shí)，≥，是凸函數(shù)；

≥，是凹函數(shù)。

例3：已知函數(shù)f （x）=logax（a>0且a≠1），（x∈（0，+∞）），若x1，x2∈（0，+∞），判斷[f （x1）+f （x2）]與f （）的大小，并加以證明.

分析：當(dāng)a>1時(shí)，是凹的（或上凸的）所以[f （x1）+f （x2）]≤f （）

當(dāng)0

解：f （x1）+f （x2）=logax1+logax2=logax1x2，

∵x1，x2∈（0，+∞），x1x2≤（）2（當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)），

當(dāng)a>1時(shí)，有l(wèi)ogax1x2≤loga（）2，

∴l(xiāng)ogax1x2≤loga（），（logax1+logax2）≤loga，

即[f （x1）+f （x2）]≤f （）（當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)）

當(dāng)0

∴（logax1+logax2）≥loga，即[f （x1）+f （x2）]≥f （）

（當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)）。

例4：在四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使成立的函數(shù)是（ ）。

A. B. C. D.

分析：就是判斷時(shí)，的凸凹性

解：有圖像可知，的圖象是上凸的，所以選A

函數(shù)的凸性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，有著廣泛的應(yīng)用，在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中雖然此性質(zhì)沒(méi)有直接提出，但它隱含在高考、競(jìng)賽、自主招生的題目之中。在數(shù)學(xué)中，有些函數(shù)的題目，如果知道了并應(yīng)用函數(shù)的凸性就有了解題的思路，問(wèn)題就得到了解決。這篇文章是我在教學(xué)中所遇到問(wèn)題初步探討，僅供同仁教學(xué)參考，若有不當(dāng)之處敬請(qǐng)斧正。