錯誤：發展學生數學能力的“法寶”

摘 要 課堂教學是一個動態的變化、發展過程，也是師生、生生之間交流、互動的過程。在這過程中，學生的思維方法是各不相同的，因此，在解題過程中，出現偏差和錯誤是很正常的。“錯”是學生學習中的寶貴經歷，也是課堂實踐中的寶貴教學資源。對于“錯誤”教師要寬容對待，更要善于利用，因勢利導，努力挖掘“錯誤”的潛在資源。培養學生正確歸因錯誤，正確地、巧妙地利用錯誤，培養學生的創造性思維。讓“錯誤”因此美麗起來，讓課堂因此而精彩。

關鍵詞 數學課堂教學；有效利用；錯誤資源；生成；策略

一、錯誤歸因：“錯誤”復“錯誤”，“錯誤”何其多

《新課標》指出：“讓學生在數學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。”學生在數學實踐時常常會出現一些意想不到的錯誤，如抄錯數字、符號，混淆了概念，弄錯了運算順序等。其實，學生的錯誤是不可避免的，學生產生錯誤原因是多方面的，同樣的錯誤結果可能由不同的原因和過程引起。教師要幫助學生進行一系列的尋“錯”、糾“錯”活動。尋“錯”是學生在尋錯中發現自己的問題，它為了更好地糾“錯”。糾“錯”是建立在“尋錯”的基礎上，它為了防止學生的“錯誤”再生。

1.概念不清產生的錯誤

概念是學生思維的基本形式，是學生做題的重要依據。學生在解題過程中所出現的由于對概念、規律的內容認識不清或不能正確理解它們的確切含義而產生的一些錯誤就是概念性錯誤。如分解因式：6x2y-3xy2+12x2y2，有學生就把它分解為：原式=xy（6x-3y+12xy）。產生原因就是對公因式這一概念沒有真正理解，忽視了數字因式。

2.小學數學生成的負遷移

從初中一開始，學生在小學數學學習過程中形成的一些認識會影響他們學習代數初步知識。比如：一個兩位數，個位上的數為x，十位數是個位數的y倍，則該數為（答案：x（1+10y））。有些學生在解答該問題時，受結果是確定的數的影響，填寫了35、78等具體數值，把用x表示該數與求該數的值混為一談，暴露出其思考過程受到上述干擾的痕跡。

3.前后知識產生的沖突

任何數學問題都是一邊建構在舊知識上面，一邊掛靠著新知，新知是在用舊知無法解決問題的情況下反思再進的結果，而由舊知到新知往往存在著認知上的矛盾和沖突。如初一時有一位同學課后跑到我辦公室，神秘地說，我證明了“2=1”。且看他的證法：

設a=b，則a2=ab

∴a2-b2=ab-b2

即（a+b）（a-b）=b（a-b）

∴a+b=b

由a=b，得2b=b

∴2=1

同學熱心探索數學、不迷信權威的精神值得肯定。但是我想，若把如下問題問他們：在a=b前提條件下，（a+b）（a-b）=b （a-b）能否兩邊同時除以a-b從而得到a+b=b的值為多少？相信他們因提取、運用的知識少，因而受到知識面的干擾小，產生錯誤的可能性小；而一旦遇上綜合問題，則在知識的選取上、運用上受到的干擾大，容易出錯。

4.能力缺陷產生的錯誤

數學是一門邏輯性、抽象性很強的學科，而學生在觀察事物時，往往注意新鮮、感興趣的東西，他們的注意力不穩定、容易分散，以形象思維為主……學生認知發展的一般特點，決定了學生在數學學習過程中，出現錯誤是難免的。學生這種由于學習數學的能力缺陷而引發的錯誤，是一種本質性的錯誤，它反映的是一個學生的學習現狀，說明這些內容是他的缺陷。

由于種種原因，學生會犯下這樣那樣的錯誤，有些是我們預料之中的，有些是我們預料之外的。面對學生的錯誤，很多老師會咬牙切齒，恨“鐵”不成“鋼”，憤怒至極時，言行舉止難免會有失大雅。而此時，老師卻忽視了該如何去尋找“錯誤”的根源，進行追根求源地進行探索、研究、歸結。

二、變“錯”為“寶”：“錯誤”哪得樂如許，“數學”源頭活力來

學生的錯誤是數學教學中忌諱的東西，然它又是數學課程中寶貴的資源。對于學生犯下的各式各樣的錯誤，我們該如何去引導？我們又該如何去化解？筆者認為：數學教學中，老師要學會寬容錯誤、正視錯誤、捕捉錯誤、反思錯誤，從而讓“錯誤”為數學教學所用，從而變“錯”為“寶”，為學生學習數學能力的提升而奠定基礎。

1.寬容錯誤，激活課堂的出發點

傳統教學觀念中，學生對知識的認識完全被教師控制在已確認的標準中，倘若出現一些偏離標準的錯誤，則會馬上被老師防微杜漸。學生的學習過程是一個自主構建自己對數學知識的理解的過程，從這個意義上說，錯誤不過是學生在數學學習過程中所做的某種嘗試，是非常正常的。對于學生的錯誤應該寬容，我們要允許學生出錯，不嘲笑、不挖苦學生，正確引導學生，讓學生在寬容中學會分析錯誤，自己發現錯誤，改正錯誤。讓學生在心理上人同和接受，并自覺對思維過程做出調整與修正。

如在“軸對稱”的教學中，學生對“軸對稱”的概念還比較模糊，由于受先前經驗的影響，好多學生都認為“平行四邊形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸”，對這種情況，我沒有簡單的否定，而是把球又踢給了其他同學。“你們同意他們的觀點嗎？”這時教室里響起了一片爭論聲。這時我問：你們能想辦法證明一下自己的答案是對的嗎？或是證明其他同學的答案是錯誤的嗎？在我的引導下，很快學生找到了驗證錯誤的方法：拿出身邊的平行四邊形動手折一折。通過動手實踐，學生再次深刻感悟了軸對稱圖形的本質特征是：平面圖形對折后，對稱軸兩邊的圖形完全重合，而不是對稱軸兩邊的圖形大小相等。所以，一般的平行四邊形不是軸對稱圖形。學生的錯誤在教師的寬容、鼓勵下，讓學生大膽地說出了自己的想法，并讓學生們自己開展辯論，最后達成了“共識”。這樣，學生在課堂上才會沒有精神壓力，思維最活躍，通過師生互動、生生互動取得了意想不到的效果，展現了學習之美。

2.正視錯誤，多維互動的生成點

曾經我對學生出現解題錯誤倍感頭疼，對錯誤采取嚴厲禁止的態度。漸漸的我感覺到：學生雖片面接受了正確的知識，但對錯誤的出現缺乏心理準備，看不出錯誤或看出錯誤但不知如何糾正，甚而弄不清錯誤的緣由。只關心學生用對知識而忽視學生會用知識，這種對待錯誤的態度會對教學帶來一些消極的影響。

其實，“吃一塹，長一智”。我們應該把錯誤看作是正確的先導，成功的開始。學生所犯錯誤是學生在學習過程中對所學知識不斷嘗試的暫時性結果，其對錯誤的認識是學生獲得和鞏固知識的重要途徑。當時老師講過a2-b＼2=（a+b）（a-b）后，讓我們自己分解x4-y4。很快大家就做完了。老師一邊巡視一邊督促檢查。但在最后教師宣布只有1人做正確時，我們都感到非常吃驚。我們把x4-y4分解為（x2+y2）（x2-y2）錯在哪里呢？做正確同學的答案是（x2+y2）（x+y）（x-y），兩相對照，我們發現原來x2-y2還可以繼續分解。于是，分解因式要進行到每個因式都不能再分解為止給每個同學都留下了深刻的印象。由此也可以看出，利用學生典型錯誤并進行正確誘導會收到良好的教學效果。

作為教師，我們應當正確認識到：錯誤是正確的先導，里面隱藏著豐富的教學資源。數學學習實際上是不斷地提出假設，修正假設，使學生對數學的認知水平不斷深化趨于成熟。正是由于這些假設的不斷提出與修正，才使學生的能力不斷提高，這是與學生獨立解題的過程相吻合的。如此，學生在教與學的過程中學到的就不僅僅是正確的結論，還領略了探索、嘗試的過程，使學生學會自主學習，自己分析、發現錯誤、改正錯誤，這對學生知識的完善和能力的提高會產生有益的影響。

隨著新一輪課改的逐漸深入，我們應當站在嶄新的立場，給課堂中的錯誤重新定位，要以欣賞的眼光去正視學生的錯誤，給予學生足夠的辯錯的時間，暴露學生的思維過程，從而捕捉其中有利于師生、生生多維互動的信息。為課堂創設和諧寬松的學習環境，就需要教師從“允許學生出錯，善待學生出錯”做起，實際上“出錯”并非是壞事，而恰恰是寶貴的教學資源，使師生關系變得親密，是課堂中生生、師生之間多維互動的切入點。

3.捕捉錯誤，動態生成的著力點

課堂是學生獲取信息的主渠道。課堂教學過程應該是一個動態的、變化生成的過程。在師生、生生交流互動的過程中，隨時都有可能發生錯誤的學情信息。教師僅憑過去的經驗或主觀愿望去估計是不行的，必須在課堂上認真觀察學生反應，善于發現學生的錯誤，同時并調整教法，只有這樣才能讓動態生成的課堂中找到教學的著力點。

例如：某地的出租車按如下方法收費：起步價10元，可行3km（不含3km）；3km到7km（不含7km）按1.6元/km計價（不足1km，按1km計算）7km以后都按2.4元/km計價（不足1 km，按1km計算）試求出某人坐了4km、6km、7km，車費為多少？

在課堂上，學生根據題中的條件，順理成章地求出13.2元、16.4元、18.8元。

接著有一同學問：“老師，我認為這個代數式有問題。我打的時從來沒有付過零錢，都是整數的。”

另一同學嚷道：“四舍五入不就得了唄。”

“行不通的，肯定是出租車司機多收錢！”

“那乘客太虧了吧！”

由于沒有把問題和現實生活聯系起來，如何組織學生深入學習呢？我想到了綜合實踐課程中的學習方式——項目學習。何不把項目學習引入數學課堂，以此增加社會實踐能力。于是，我就項目學習過程進行設計和組織實施。通過同學討論擬訂學習任務。

學生利用星期天分組進行活動，在學生有了第一手資料的情況下，我又把問題回到課堂上。經過各小組的調查匯總和全班集體綜合分析，結果顯示主要分：打表計費和不打表計費兩種計價方式。

教者及時捕捉教育資源，利用數學的方法解決生活問題時，還要考慮生活實際情況，靈活安排解決。在開放互動的教學情境中學生往往會萌發出許多奇思妙想，會有靈感與頓悟，其中有合理的，也有不合理的，教者機敏把握，為教學所用，不僅能拓寬學生的學習內容與思維空間，更能體現學生的數學學習活動是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程。在某種意義上來說，捕捉住課堂中那些“鮮活”的錯誤資源，正是課堂動態生成的著力點。

4.反思錯誤，課堂建構的延伸點

從心理學的角度來說，反思是指自己思維和學習、工作過程中的自我意識和自我監控，反思是一種主動“再認識”的過程。“教學相長”提醒我們要學會反思錯誤，讓學生在錯誤中有所感悟，實現真正意義上知識的主動建構。

例如在解決下面的問題時：先將■÷■簡，然后自選一個適合的x的值，代入化簡的式子，求值。

某個學生的解題過程如下：

■÷■=■÷■·■·■=■

取x=1時，原式=1。

課堂上有學生附合著，也有學生露出疑惑的眼神。很顯然，學生的解答之所以出現這樣的錯誤，主要是沒有考慮到x>2的條件。面對這樣的錯誤，我把它看作一種可生成的動態資源，于是拋出這樣的疑問：如果把x=1代入到原式能不能成立？再要求學生找出上述的解法錯誤所在，并給出正確的解法。然后再要求學生根據自己解題的內心體驗和感悟，寫一篇數學日記。適時地引導學生反思、回顧，培養他們超強批判性的數學思維品質，有助于學生養成獨立思考、善于提出疑問、及時發現并糾正錯誤的良好習慣。因此，教師要好好利用課堂中的突發性錯誤，化弊為利，將錯就錯，這樣既拓寬了學生的思維空間，又訓練思維的靈活性和創造性。給予學生充分的時間，讓他們親歷整個辯錯的過程，抹去了頭腦中那些錯誤的猜想，主動去建構新知。

誰愿意在解題中出錯？可誰不會出錯？更有誰不樂于超越錯誤？新的課程改革要求教師必須轉變角色，成為課堂中與學生平等的“首席”，促進學生實現學習方式的多元化，因此傳統的用正確答案替換學生頭腦中錯誤觀念的評講課受到質疑，而以學生自我體驗錯誤，經過自查自糾、反思交流、自我評價等多種形式的糾錯教學已呼之欲出，但這并不意味著削弱教師的主導作用，而是要求教師從更高的觀點去指導學生把評議引向深入，以提高學生的“元認知”能力，引領學生走出固有認知的“迷宮”，體驗數學學習給人帶來的成功愉悅感。從這意義上講，來自學生的錯誤，確實是數學教學中一筆寶貴的課程資源。

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