基于分位數概率分布的動態VaR模型及其應用

楊 杰，張紹宗

（1.華南師范大學 經濟與管理學院，廣州 510006；2.云南師范大學 經濟與管理學院，昆明 650092）

1 VaR的估計方法

VaR的常見估計方法有歷史模擬法、蒙特卡洛模擬法和參數法，實踐中采用較多的是參數法，其核心思想是設定金融資產或資產組合的收益率服從特定的參數分布，再通過實際數據進行參數估計，進而確定出收益率的具體分布。最后計算對應置信水平的分位數，從解出相應的VaR值。由于金融資產的收益序列常常具有尖峰厚尾的特征，因而采用參數法計算VaR時需要確定合適的概率分布來刻畫這種特征，國內外很多學者正是沿著這一思路在估計金融資產的VaR值。如，Press S.在1987年提出用混合高斯分布來擬合道瓊斯指數的效果比正態分布的擬合效果要好；R.N.Mantegna和H.E.Stanley（1994,1995）首次提出截斷Levy分布，并將其用于美國股票和債券市場收益率的尾部擬合，實證研究顯示截斷Levy分布可以刻畫其厚尾特征；Peter Verhoeven等（2004）用非對稱t分布、非對稱一般誤差分布（GED）等六種分布形式代替正態分布，用于表述歐元對美元的匯率變動分布，結果表明，在描述序列的偏度、峰度以及極大似然函數值方面，前者均優于后者。國內學者的研究中，潘家柱等（2000）討論了廣義Pareto分布的性質，并利用此模型對上證指數和深證指數的收益率進行分析，給出了相應的VaR估計值；張明恒、程乾生（2002）研究了金融資產收益的混合高斯分布模型，給出了混合高斯分布的Kolmogorov-Smirnov檢驗方法，分析了金融資產收益的非高斯性；盧方元（2004）對上證綜指和深證成指收益率分布狀況進行實證分析，研究結果表明兩類股指收益率均可以用穩定分布對其進行描述。

2 兩類新型分位數概率模型

2.1 分位數的定義

對任意隨機變量 X，任給實數τ（0＜τ＜1），若滿足：P{X≤xτ}≥τ且 P{X≥xτ}≥1-τ，則稱數值 xτ為隨機變量X的τ分位數。這個定義在實際中由于其存在性和唯一性問題使得理論研究中發生技術上的困難，為了回避這些技術困難，統計學家將隨機變量X的τ分位數定義為：

xτ=inf{x:F(x)≥τ}，τ∈(0，1)

其中，F(x)為隨機變量X的分布函數。特別地，當F(x)是嚴增函數時，上述兩種定義等價，且得到τ分位數唯一。

2.2 分位數函數

在傳統的統計理論中，常常使用某種分布函數或概率密度來刻畫一個隨機變量的分布，其經典的代表便是正態分布。分布函數的優點在于便于計算相應隨機變量的數字特征，使得人們易于掌握該隨機變量的分布特征。但是，隨著人們對現實數據的不斷認識，發現采用分布函數來描述隨機變量的分布變得越來越復雜和困難，究其原因除了分布函數的表達式變得越來越復雜外，某些隨機變量的分布可能本身就不存在顯式分布函數，這就使得人們開始從不同的途徑來探索隨機變量的分布。分位數函數的出現，就是這方面的一個有益探索。相比分布函數而言，一個隨機變量的分位數函數往往具有更多優點。從廣義上而言，一個隨機變量的分位數函數與其分布函數呈反函數關系，兩者在一定條件下呈一一對應關系，而分位數函數一般具有更為簡潔的表達式，且易于數值擬合，這使得分位數分布成為近年來統計學者研究的熱點之一。

2.3 兩類新型分位數概率模型

下面的兩類概率分布族是由蔣文江教授和鄧世杰教授（2004）根據分位數的思想首先提出的，他們首先將其應用在德國證券市場上用于刻畫股票收益率的分布并取得很好的效果。這里我們仍然沿用他們的表示方式來表示兩類分位數概率分布族。其中，我們用QI(α，β，δ，μ)來表示第一類分位數概率分布族，其解析式可以表述為下式：

附注：模型（1）中所有的參數都具有直觀的解釋意義，其中μ是位置參數，δ是尺度參數，β參數的大小可以用來度量尾部的對稱性，當 β=1時意味著該分布是平衡的，當 β＜(＞)1時意味著分布的右尾（左尾）比左尾（右尾）厚；參數α可以刻畫分布的尾部厚度，較小的α值，意味著分布的尾部更厚。

第一類分位數概率分布族 QI(α，β，δ，μ)，具有顯式分布密度，其表達式如下

其中 x∈(-∞，μ)∪(μ，+∞)，因為第一類分位數概率分布族具有顯式分布密度表達式，所以我們可以直接采用極大似然估計的方法估計參數α，β，δ和μ。

第二類概率分布族用 QII(y;α-，α+，β-，β+，μ)來表示，主要用于擬合具有極端不平穩尾部特征的數據分布，其分位數函數可以表示為：

其中，模型參數 α-，α+，β-，β+∈R+，μ∈R ，并且我們主要關注的是參數α-≤1，α+≤1時的情形。與第一類分布相同，參數α-和α+也用來衡量分布左右尾部的厚度。

在上述分位數概率模型的基礎上，我們可以方便的計算出金融資產收益率的分位數和對應的風險價值。設R(t)表示某項資產或資產組合在持有期T內的收益率，VaRθ表示該資產或資產組合在置信水平為1-θ（0＜θ＜1）下的風險價值，則

其中，q(y)為R(t)的樣本分位數函數。

3 模型的實證分析

3.1 數據的選取及其統計特征

本文選擇美國標準普爾500指數（S&P500）、香港恒生指數（HSI）、上證綜合指數（SSEC）和深圳成份指數（SZSC）為樣本進行研究。為保證研究時期的一致性，所有樣本采用2008年1月1日到2013年6月30日的大盤日收盤價格指數進行分析，數據全部來自雅虎財經網（www.yahoo.com）。下圖1給出四種股票指數在樣本期內的走勢特征。

圖1 S&P500、HSI、SSEC、SZSC的走勢特征

日收益率采用連續對數收益，即 ri=lnPt-lnPt-1，其中Pt為每日收盤的指數價格。表1給出兩種大盤指數的對數收益率的統計特征。從表1我們可以看出：

除標準普爾500指數外，其他三種指數的收益率均值均小于零；四種指數中，深證成分指數的波動最大，標準差為0.0201，標普500指數由于其市場成熟度較高，故波動性最小，標準差為0.016；另外，四種指數的收益率的峰度都大于3，J-B統計量較大，說明其收益率分布都具有尖峰厚尾和非正態性分布的特征。

表1 收益率統計特征

3.2 基于第一類分位數分布的VaR模型的構建

3.2.1 第一類分位數概率模型的估計結果

利用Q-Q（Quantile--Quantile）估計方法，我們得到基于第一類分位數分布擬合四類股票指數收益率的參數估計結果（見表2）。通過Q-Q圖展示了S&P500、HSI、SSEC和SZSC收益率的理論分位數與實際分位數的擬合情況發現：從四個圖的擬合效果來看，除了樣本尾部數據的幾個異常點外，理論分位數和實際分位數基本在一條直線上，這說明第一類分布的擬合效果較好。進一步分析發現，上證綜合指數和深圳成分指數的收益率擬合效果要優于標普500指數和恒生指數的收益率。這可能和國內股市的漲停板制度有顯著關系，漲停板制度的實施有效地限制了股票市場的大幅波動，從而使得大盤指數出現異常收益率的幾率大大降低。從表2的參數估計分析，我們發現四類指數的擬合估計β值都顯著大于1，這說明四類股票指數分布的左尾都比右尾更厚，呈現出左右尾部不對稱的特點，這提示我們當不利消息沖擊股市時，其損失將大于有利信息沖擊股市所帶來的收益。另外，四類股票指數分布的α都小于1，說明其收益率分布的尾部厚度大于正態分布的尾部厚度。

3.2.2 基于第一類分位數分布的VaR模型

在實證研究中為了檢驗第一類分位數VaR模型的準確性，我們分別采用靜態和動態兩種方式進行VaR的建模估計。所謂靜態VaR模型就是將樣本期內所有數據都用于第一類分位數模型的估計，進而計算出所有樣本期的VaR風險值。另外一種情況，我們也考慮不同人可能選取不同的樣本長度進行VaR估計，這些不同樣本期間內得到VaR值會不會有顯著的不同呢？它們之間是否會呈現某種特征呢？這促使我們考慮通過數據平移的方式來進行動態VaR估計，其建模的規則是：將樣本的收益率數據分為建模樣本和檢驗樣本兩個部分，采用樣本期內的后500個數據用于模型檢驗，前面的數據用于建模，并逐次向后平移數據形成動態VaR序列。例如對于上證綜指的1374個樣本收益率中的前874個數據用于建模，后500個用于日VaR估計值的回顧測試，具體建模中采用數據的平移滾動方式進行估計，即用1～874個數據估計分位數模型并計算出第一個VaR值，再通過平移選取2～875個數據計算出第二個VaR值，…..，以此類推，我們可以得到一個VaR序列，其包含有500個VaR值，并用該VaR系列值與后500個日收益率數據進行比較，從而檢驗動態VaR模型估計風險的效果。

（1）靜態模型的估計結果。

表2中四類指數收益率的估計參數分別代入（1）式，并令置信度θ=0.01，我們得到置信水平為99%的VaR估計值，其結果如表3所示：

表3 四種股票指數的靜態VaR估計值

從上述結果可以看出，在整個樣本期內，基于成熟市場的標普500指數和恒生指數的VaR風險值要明顯小于國內的上證指數和深證成指的VaR值。同樣置信水平下，深證成指的風險最大。

（2）動態模型的估計結果

如上面所述，我們采用滾動平移的方式，分別做出標普 500指數（S&P500）恒生指數（HSI）、上證綜合指數（SSEC）、深證成分指數（SZSC）在置信水平99%下的VaR序列圖（圖略）。并在表4中給出三種股票指數收益率動態VaR序列的相應統計特征。

表4 四種指數收益率動態VaR序列的統計特征

4 回顧測試

建立VaR模型估計金融風險后，監管部門和金融機構必須進行后驗測試（Backtesting），也稱為回顧測試，即將VaR模型預測的市場風險數據和實際交易結果進行對比，以評價VaR的準確性和模型的有效性。本文采用Christoffersen（2003）給出的VaR回顧測試方法，下面對其作簡單介紹。

圖2 四種股票指數動態VaR序列的回顧測試

從檢驗結果來看，S&P500和HSI各發生一次“VaR違背事件”，而SSEC和SZSC各發生兩次“VaR違背事件”，都小于損失超過VaR估計值的5次理論值。由此說明，基于第一類分位數概率分布的動態VaR能夠有效地度量四種證券指數的市場風險。另外，出于穩健性考慮，我們也采用Kuipec（2005）提出的LR統計量來檢驗VaR預測違背比率π是否顯著不同于預設的顯著水平 p，即H0: π=p；H1: π≠p。在零假設下LR似然比統計量服從自由度為1的卡方分布，即

其中，T樣本測試期，n為樣本測試期內“VaR違背事件”的發生次數，=n T為測試失敗率，p為顯著性水平。若零假設成立，在99%的置信水平下的分位數為6.635，若LR＞6.635，則拒絕原假設，對應的VaR模型也被拒絕。表5顯示LR似然比檢驗的結果。

表5 LR統計量的檢驗結果

5 總結

本文在蔣文江教授和鄧世杰教授提出的一類新型分位數概率分布的基礎上，提出基于新型分位數分布的動態VaR模型，其優點在于其直接對條件分布的分位點進行建模，而不依賴于特定的分布形式和分布參數，體現由數據選擇模型的思想，特別適合于厚尾分布數據的應用。通過對標準普爾500指數，香港恒生指數、上證綜合指數和深證成分指數的實證檢驗，回顧測試顯示，我們的分位數動態VaR模型能較好地度量證券市場風險，其該模型在發達證券市場的表現優于國內證券市場的表現。

[1]Press S J.A Compound Event Model for Security Prices[J].Journal of Business,1987,40(3).

[2]Mantegna R,Stanley H E.Scaling Behavior in the Dynamics of an Economics Index[J].Nature,1995,376.

[3]Verhoeven P,Mcaleer M.Fat Tails and Asymmetry in Fiinancial Volatility Models[J].Mathematics and Computers in Simulation,2004,64.

[4]潘家柱，丁美春.GP分布模型與股票收益率分析[J].北京大學學報（自然科學版），2000，（3）.

[5]盧方元.中國股市收益率分布特征實證研究[J].統計與決策，2004，（4）.