偏微分方程的應用

范俊杰

（武漢理工大學數學系，湖北 武漢 430070）

在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數來描述已經不夠精確了，所以不少問題必須用多個變量的函數來描述，才能夠更精確地得到人們所需要的結果。這樣就產生了研究某些物理現象的理想的含有多個變量的函數及其偏導數的方程，這種方程就是偏微分方程。實際上，偏微分方程的解一般有無窮多個，而在解決具體物理問題時，我們必須從眾多一般解中找到能夠滿足題目給定的特殊條件的解，這樣我們才能夠了解具體問題的特殊性。本文在簡要的介紹偏微分方程的發展歷史的基礎上，詳細的討論了其在弦振動及人口問題中的應用。

1 偏微分方程的發展

1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。由此開創了偏微分方程這門學科。和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·貝努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來了，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅立葉，他在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的[3]。

2 偏微分方程在某些具體問題中的應用

2.1 偏微分方程在弦振動中的應用

弦是一個力學系統，是一個質點組，故它的運動符合牛頓第二定律。設弦在未受擾動時平衡位置是x軸，其上各點均以該點的橫坐標表示。弦上各點的位移假設發生在某個平面內垂直于x軸的方向上，t時刻的形狀是曲線u＝u(x，t)，適當假設如下：

（Ⅰ）弦是一個“柔軟”的連續體，之所以能維持其形狀是由于弦能抵抗彎矩，因此任何時刻弦的張力總是沿著弦的切線方向，且弦的重力可忽略不計[4]。

（Ⅱ）弦的振動發生在一個平面內，且弦上各點的運動方向垂直于平衡位置。

（Ⅲ）微小是指弦振動的幅度及弦上任意點切線的傾角都很小，u（x，t）是弦上橫坐標為x的點在時刻t的位置。

（Ⅳ）弦的擾動是小擾動，即弦上各點的位移與弦長相比很小，且振動平穩即弦在任意位置的傾角都很小，這并不是說u(x，t)的數值很小，而是ux很小。

為了導出弦的橫振動方程，我們選擇平面直角坐標系，弦的平衡位置為x軸，其兩端分別固定在x＝0及x＝1處。

先證明弦上每點張力為常數。在弦上任取M1M2為一小段，M1M2的長度則為，由于假定弦只做微小振動，即可以認為這段在振動過程中并未伸長，由胡克定律可知，弦上每一點所受張力在運動過程中保持不變，即張力與時間t無關。

再證明弦上每點張力也不隨地點的變化而變化。將點M1和M2的張力分別記為T1和T2，張力的方向分別沿著弦在點M1和M2處的切方向。由于假定弦只做橫向振動，因此張力在x軸方向分量的代數和為零，即有

T2cosβ-T1cosα＝0（α，β 分別是曲線 u（x，t）的切線與 x 軸的夾角）

對于微小振動 α≈0，β≈0，所以 cosα＝cosβ，于是可得 T1＝T2，這說明張力不隨地點變化。

綜上所述張力為常數，記為T。根據牛頓第二定律可以建立弦的橫向振動方向。

作用在弦的這一微小元素上的垂直方向的力即為在橫向分量的代數和為：

由于微小振動，所以α，β都較小，即：

應用微分中值定理可將上式化為：

設弦的密度為ρ，由于弦段(x1，x2)較小，所以其上的每點加速度相同，因此可以用其上的任意一點的加速度代替。于是該弦段的慣性力的大小為：

（1）弦自由振動的方程

當弦自由振動時，不受外力，由牛頓第二定律可知合力為慣性力，可得下式：

（2）弦強迫振動方程

若在弦的每單位長度上還有橫向外力作用，外力密度為F(x，t)，由于弦段M1和M2很小，其上各點處的外力密度近似相等，故作用在弦段上的外力近似等于[1]：

當x1→x2時，對上式取極限可得：

2.2 偏微分方程在“人口”問題中的應用

人口問題是生物學家非常感興趣的問題之一（人口并不僅限于人，它可以是任何一個與人有類似性質的生命群體）。對人口的發展進行研究我們所采用威爾霍斯特模型：其中，aˉ稱為生命系數，并且aˉ比 ɑ 要小很多。 aˉP2（t）就是考慮到生存競爭而引入的競爭項。當群體總數p（t）不太大時，由于aˉ比ɑ小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項而回到馬爾薩斯模型。但是當群體總數增大到一定程度時，上面方程中右端的第二項所產生的影響就不能忽略。

威爾霍斯特模型是將生物群體中每一個個體視為同等地位來對待的，而這個原則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數量不僅和時間有關，還應該和年齡有關，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關。不考慮年齡因素就不能正確的把握人口的發展動態。此時，我們必須給出用偏微分方程描述的人口模型：

其中，p（t,x）表示任意時刻 t按年齡 x的人口分布密度，d（x）表示年齡為x的人口死亡率，b（x）表示年齡為x（ɑ≤x≤A）的人的生育率，ɑ表示可以生育的最低年齡，A表示人的最大年齡。

對于上述偏微分方程模型成立如下結論：

定理1：對偏微分方程的初值問題（3），如果下列條件成立：

（Ⅰ）在閉區間0到A上，p0（x）≥0且適當光滑；

（Ⅱ）在閉區間 0到A上，d（x）≥0且適當光滑，并且當 x→A-0時，d（x）趨近于無窮大及

則該初邊值問題（1）-（3）存在唯一的整體解 p（t，x）同時滿足 p（t，x）≥0 且 p（t，A）＝0。

該模型在經過適當的簡化假設后，例如假設 d（x）≡d＝常數，b（x）≡b＝常數，就可以回到常微分方程模型。但在偏微分方程模型中d＝d（x）、b＝b（x）均與年齡有關，這與現實情況相符。因此，偏微分方程模型確實更能精確地描述人口分布的發展過程。

3 結論

隨著物理學、醫學、生物學等學科所研究的現象在廣度和深度兩方面的不斷擴展，偏微分方程的應用范圍變得更加廣泛。而從數學自身的角度來看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、常微分方程、數值分析、微分幾何等各方面均有不同程度的發展。所以從這個角度來說，偏微分方程變成了數學的中心。由于同一類型的偏微分方程往往可以用來描述許多性質上頗不相同的自然現象，所以對一些重要的偏微分方程開展研究，可以有許多方面的應用前景，并有望在新興學科或邊緣學科的開發中及時的發揮作用。

［1］吳方同.數學物理方程[M].武漢:武漢大學出版社,2001:18-36.

［2］朱長江,鄧引斌.偏微分方程教程[M].北京:科學出版社,2005:106-112.

［3］李文林.數學史概論[M].北京:高等教育出版社,2002:19-26.

［4］陳祖樨.偏微分方程[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2004:21-33.