巖溶的分形特性與分維數(shù)

陶華飛，彭功勛,韋立德

（1.廣州市政工程設(shè)計(jì)研究院,廣東 廣州 510060；2.中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所,湖北武漢 430071）

0 前言

1967年美國(guó)數(shù)學(xué)家曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在對(duì)海岸線測(cè)量的研究中發(fā)現(xiàn)，海岸線任一局部放大后，與整體在形狀和結(jié)構(gòu)上是相似的。他把這種局部形態(tài)和整體形態(tài)相似的形體稱為分形[1]，由此創(chuàng)立了一門應(yīng)用科學(xué)——分形理論。分形在自然界廣泛存在，如連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、布朗粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡、樹冠、花菜、大腦皮層等；近年來(lái)已被推廣至城市交通[2]、社會(huì)學(xué)[3]、經(jīng)濟(jì)學(xué)[4][5]等領(lǐng)域的研究。總之，分形科學(xué)已被廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域的隨機(jī)性復(fù)雜事物研究。

巖溶地下客觀存在物，通常不能直接觀察或測(cè)量，而只能通過(guò)物探或鉆探的方式間接觀察或測(cè)量。物探是通過(guò)電場(chǎng)、聲波、地震波等間接觀測(cè)，獲取的數(shù)據(jù)受多種環(huán)境的影響；而獲取的數(shù)據(jù)還需通過(guò)反演來(lái)推斷巖溶的發(fā)育、分布狀態(tài)，反演結(jié)果存在多解，反演判定的巖溶邊界模糊、精度很低。鉆探雖然直觀，相對(duì)可靠，但獲取的是單孔、單點(diǎn)的數(shù)據(jù)，不是面上的數(shù)據(jù)，存在空間上的局限。因此，物探和鉆探均難以完全揭示出巖溶發(fā)育、分布的實(shí)際形態(tài)，兩者的結(jié)合相對(duì)而言是更加合理、可靠的勘察手段。但是，在城市建設(shè)工程中，或限于工期，或限于經(jīng)費(fèi)，或限于認(rèn)識(shí)不足，通常都僅采取單一的鉆探勘察方式。如何針對(duì)具體的小區(qū)域巖溶發(fā)育特點(diǎn)和工程特點(diǎn)布置勘察方案，更為有效地運(yùn)用有限的巖溶勘察數(shù)據(jù)，就成為一項(xiàng)重要的課題。為此，探尋巖溶發(fā)育的深層規(guī)律就是必須的工作。

作為一種自然隨機(jī)作用形成的地質(zhì)體，巖溶發(fā)育應(yīng)當(dāng)存在分形特征。探索其分形規(guī)律，并辨識(shí)其空間分布特征，是解決上述問(wèn)題的可行途徑。本文以廣州地區(qū)某灰?guī)r區(qū)的八百多個(gè)鉆孔資料為基礎(chǔ)，以門杰海綿分形為基本模型，通過(guò)數(shù)據(jù)分級(jí)、統(tǒng)計(jì)、計(jì)算，揭示出溶洞的見洞數(shù)和視洞深均具有顯著的分形規(guī)律。該項(xiàng)研究成果為巖溶發(fā)育規(guī)律的進(jìn)一步深入研究和有效應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 門杰海綿與巖溶發(fā)育的異同

分形分為規(guī)則分形和無(wú)規(guī)分形。規(guī)則分形又稱為理想分形或數(shù)字分形，是人們構(gòu)想出來(lái)的局部與整體嚴(yán)格自相似的圖形，包括康托爾集(Cantor set)、席爾賓斯基墊片(Sierpinski gasket)、席爾賓斯基地毯（Sierpinski carpet）、科赫曲線(Koch curve)及門杰海綿(Menger sponge)等。無(wú)規(guī)分形又稱統(tǒng)計(jì)分形，是真實(shí)世界中存在的僅在統(tǒng)計(jì)意義上自相似的圖形。

通常對(duì)無(wú)規(guī)分形的研究都宜以某一與其相類似的規(guī)則分形為基本模型，并在對(duì)該規(guī)則分形的研究基礎(chǔ)上開展無(wú)規(guī)分形的研究。本文根據(jù)巖溶發(fā)育的特點(diǎn)，選擇了門杰海綿為其基本模型。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿

標(biāo)準(zhǔn)的門杰海綿由一個(gè)立方體演化而來(lái)，過(guò)程如下：

（1）將立方體的每邊三等分，共劃分為27個(gè)相同的小立方體；

（2）將6面外層中心的小立方體和內(nèi)心的小立方體挖去，共挖去7個(gè)小立方體，剩下20個(gè)小立方體；

（3）對(duì)小立方體重復(fù)進(jìn)行（1）、（2）兩個(gè)過(guò)程的操作，并不斷繼續(xù)該過(guò)程。

最終得到一個(gè)無(wú)窮自相似的結(jié)構(gòu)，即為門杰海綿，圖1為其示意圖。

1.2 門杰海綿與巖溶發(fā)育的相同點(diǎn)

巖溶發(fā)育與門杰海綿有如下共同點(diǎn)：

圖1 門杰海綿形成示意圖

（1）本體都是空間三維體；

（2）都由完整實(shí)體經(jīng)一定過(guò)程而形成空洞；

（3）空洞大小不一，數(shù)量各異。

這是兩者存在類似的分形規(guī)律的基礎(chǔ)。

1.3 門杰海綿與巖溶發(fā)育的相異點(diǎn)

兩者的相異點(diǎn)主要表現(xiàn)在：

（1）巖溶是自然形成的，隨著時(shí)間在緩慢變化；門杰海綿是人為構(gòu)思的，不隨時(shí)間而變化。

（2）巖溶發(fā)育受石灰?guī)r分布區(qū)域、礦物顆粒大小、構(gòu)造力、水力通道等的影響，只在一定尺度范圍內(nèi)存在分形特征，也只能統(tǒng)計(jì)到一定尺寸范圍的數(shù)據(jù)；門杰海綿不受尺寸限制，可假設(shè)無(wú)限大，孔洞可趨于無(wú)限小。

（3）巖溶孔洞的形狀不規(guī)則，有溶槽、溶溝、溶筍、溶洞等各種形態(tài)，邊界曲曲折折；門杰海綿空洞形狀規(guī)則，均是正方體，邊界光滑平直。

（4）巖溶的尺寸千差萬(wàn)別，在同一級(jí)范圍內(nèi)也各不相同；門杰海綿同一級(jí)空洞的尺寸是相同的。因此，巖溶的分形是具有標(biāo)度性的、統(tǒng)計(jì)意義上的，而不是全尺度、完全規(guī)則的。這就使得巖溶的分形規(guī)律與門杰海綿存在一定的差異。

2 門杰海綿的分形規(guī)律

2.1 標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿的分形特征

設(shè)門杰海綿初始立方體的邊長(zhǎng)為1，各級(jí)立方體的邊長(zhǎng)為ai=3-i(i=1,2,……)，分形的維數(shù)為d0，各級(jí)空洞的個(gè)數(shù)為Mi，該級(jí)下小立方塊的個(gè)數(shù)為Ni。則：

顯然，i→∞時(shí)，ai→0。根據(jù)分形容量維數(shù)的定義：

而將上式中的Ni換成Mi，所得到的值完全相同。亦即：log Mi和log ai成正比，其斜率為-d0。

由此可見，門杰海綿的小立方塊和空洞的個(gè)數(shù)均滿足理想的分形規(guī)律，其分形容量維數(shù)概念清晰，其值約為2.727。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿的鉆探分形特征

假設(shè)有一鉆機(jī)，從門杰海綿頂部向底部鉆探，將鉆到不同尺寸的空洞。因立方體在頂面的投影總面積為1，故各尺寸空洞被鉆到的概率fj等于其投影面積aj2，從而可得到鉆孔預(yù)期見洞數(shù)為：

顯然，其分形容量維數(shù)約為0.727，比門杰海綿的分維數(shù)小2。

將式（3）除以ai2所得表達(dá)式為見洞數(shù)反算簡(jiǎn)式。該式與Mi表達(dá)式不同，但i→∞時(shí)的分維數(shù)與Mi相同。

設(shè)B為一有限整數(shù)時(shí)，將i≤B的各點(diǎn)標(biāo)到圖上，并求出其擬合直線，將得到一斜率，稱該斜率的絕對(duì)值為擬合分維數(shù)。容易算得，（3）式除以ai2的擬合分維數(shù)與Mi的擬合分維數(shù)存在差異。

而鉆孔預(yù)期合計(jì)洞深Li為：

當(dāng)i→∞時(shí)，Lf→1，即其分維數(shù)為0。可以發(fā)現(xiàn)，上式與空洞總體積的計(jì)算結(jié)果完全相同，這是門杰海綿立方體總體積歸一化的結(jié)果。

將式（4）除以ai3所得表達(dá)式為視洞深反算簡(jiǎn)式。該式與Mi表達(dá)式不同，且i→時(shí)的分維數(shù)也與Mi不同。這是很奇特的一個(gè)現(xiàn)象，其分維數(shù)比Mi的分維數(shù)更高，這與見洞數(shù)反算簡(jiǎn)式不同。

2.3 非標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿及其分形參數(shù)值

假設(shè)門杰海綿形成過(guò)程中，所挖去的小立方體不是7個(gè)，而是K個(gè)，并稱K為非標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿的特征值。顯然，門杰海綿分維數(shù)在2～3之間，K越大則門杰海綿越“空”，分維數(shù)越小，越接近于2；K越小則門杰海綿越“實(shí)”，分維數(shù)越大，越接近于3。

經(jīng)計(jì)算容易得到，在只計(jì)4級(jí)空洞（B=4），即最大標(biāo)度是最小標(biāo)度27倍的情況下，在特征值K不超過(guò)11的范圍內(nèi)，非標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿的特征值K與其Mi的擬合分維數(shù)d的關(guān)系如圖2所示。其關(guān)系曲線可用如下的二次方程近似表達(dá)：

而在B=4時(shí)，在特征值K不超過(guò)11的范圍內(nèi)，d及見洞數(shù)反算簡(jiǎn)式的擬合分維數(shù)d1和見洞數(shù)反算簡(jiǎn)式的擬合分維數(shù)d2如表1所列。

圖2 特征值K與擬合分維數(shù)d關(guān)系曲線圖

從表1可見，三者存在d2>d1>d的關(guān)系。

3 巖溶的分形規(guī)律

3.1 巖溶鉆探數(shù)據(jù)的特點(diǎn)

在實(shí)際勘察中，鉆探獲得的巖溶數(shù)據(jù)一般有如下特點(diǎn)：

（1）標(biāo)度下界。根據(jù)勘察規(guī)范3.3.6條[6]，當(dāng)土層厚度大于0.5 m時(shí)，宜單獨(dú)分層。在一般的工程勘察中，也將其擴(kuò)展到了巖層鉆探中；即使鉆探工作做得比較細(xì)致的單位，也最多分到0.2 m，極個(gè)別存在特殊巖層時(shí)會(huì)分出0.1 m的巖層。而根據(jù)勘察規(guī)范9.2.4條[6]，鉆進(jìn)深度和巖土分層深度的精度，不低于±5 cm；同時(shí)，目前工程鉆探鉆桿內(nèi)徑一般為5.5 cm。綜合考慮，巖溶數(shù)據(jù)標(biāo)度下界定為0.1 m。

（2）標(biāo)度上界。據(jù)報(bào)道，國(guó)內(nèi)發(fā)現(xiàn)最大的地下溶洞在廣西樂(lè)業(yè)，洞深約200 m；而在廣州，尚未發(fā)現(xiàn)超過(guò)30 m的溶洞。因此，本文巖溶的標(biāo)度上界取為30 m。

（3）視洞深。溶洞的形狀不同于門杰海綿的正方體空洞，也不是球體或橢球等規(guī)則形狀，因此，鉆探所見的洞深并非其實(shí)際洞深，也不是其等效洞徑，而僅僅是鉆探一孔所揭示的深度，在此稱之為視洞深。視洞深是一個(gè)隨機(jī)的尺寸，一般小于其等效洞徑。由前文可見，門杰海綿鉆探洞長(zhǎng)與空洞體積計(jì)算結(jié)果完全相同；與此類似，在統(tǒng)計(jì)意義上，視洞深總長(zhǎng)占鉆探入巖總長(zhǎng)的比例λ，實(shí)際反映了溶洞相對(duì)于巖體的體積比。

若假設(shè)溶洞為球形，按概率計(jì)算，視洞深平均為洞徑的2/3；若假設(shè)溶洞為橫臥的圓柱狀，按概率計(jì)算，視洞深平均為洞徑的π/4。實(shí)際溶洞大體可等效為這兩類形狀，因此視洞深大約是等效洞徑的0.7倍。由此可見，根據(jù)場(chǎng)地鉆探所得的最大視洞深，可大致判斷場(chǎng)地的最大洞深。

3.2 巖溶鉆探數(shù)據(jù)處理

廣州西部某一約3 km2的灰?guī)r發(fā)育區(qū)，其地層屬石炭系下統(tǒng)大塘階石磴子組（C1d）s，巖性為灰?guī)r，局部夾炭質(zhì)頁(yè)巖。本文統(tǒng)計(jì)了該區(qū)內(nèi)a、b、c三個(gè)較大型工程的勘察數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)概況如表2所列。

根據(jù)本文2.2節(jié)和2.3節(jié)的分析，鉆探見洞數(shù)和視洞深數(shù)據(jù)經(jīng)分級(jí)統(tǒng)計(jì)后，分別除以本級(jí)標(biāo)準(zhǔn)投影面積和標(biāo)準(zhǔn)體積，可求得擬合分維數(shù)d；也可通過(guò)見洞數(shù)反算簡(jiǎn)式和視洞深反算簡(jiǎn)式，求得d1和d2。其中，本級(jí)標(biāo)準(zhǔn)投影面積為本級(jí)標(biāo)尺的平方，本級(jí)標(biāo)準(zhǔn)體積為本級(jí)標(biāo)尺的立方。

根據(jù)所得數(shù)據(jù)情況，以0.2 m為最小標(biāo)度，按3倍一級(jí)標(biāo)尺對(duì)鉆探所得的溶洞數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到三個(gè)工程鉆探的各級(jí)見洞數(shù)和視洞深統(tǒng)計(jì)值，如表3所列。

表1 非標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿各擬合分維數(shù)比較表

表2 三個(gè)工程溶洞鉆探概況一覽表

表3 三個(gè)工程各級(jí)溶洞見洞數(shù)和視洞深情況一覽表

由于小于0.2 m的數(shù)據(jù)極少，不具代表性，不參與分形計(jì)算。因此，共統(tǒng)計(jì)4級(jí)標(biāo)尺的數(shù)據(jù)，最大標(biāo)尺5.4 m，最小標(biāo)尺0.2 m，前者是后者的27倍，與本文2.3節(jié)中非標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿4級(jí)空洞的標(biāo)尺倍數(shù)一致，這使得所得分形計(jì)算參數(shù)可以和本文2.3節(jié)所討論的非標(biāo)準(zhǔn)門杰海綿參數(shù)進(jìn)行比較。

3.3 巖溶分維數(shù)與特征值的確定

為更細(xì)化數(shù)據(jù)，使計(jì)算更精確，把上述每級(jí)數(shù)據(jù)進(jìn)一步拆分為兩級(jí)，也就是級(jí)間倍數(shù)約為1.732倍。由此可得到三個(gè)工程各自反算出的分形曲線如圖3～圖5所示。

圖3 工程a見洞數(shù)和視洞深反算分形曲線圖

圖4 工程b見洞數(shù)和視洞深反算分形曲線圖

圖5 工程c見洞數(shù)和視洞深反算分形曲線圖

由圖3～圖5可見：

（1）三個(gè)工程的數(shù)據(jù)都表現(xiàn)出顯著的分形特征，無(wú)論見洞數(shù)還是視洞深反算值與其趨勢(shì)線的相關(guān)性均很強(qiáng)，R2>0.9；

（2）見洞數(shù)和視洞深的反算值存在一定的差異，主要是因?yàn)椴⒎撬腥芏吹囊暥瓷疃嫉扔诋?dāng)級(jí)標(biāo)尺值；

（3）工程 a、b、c的分維數(shù)分別約為 2.32、2.32、2.65，這與表2中各自λ值間的大小關(guān)系基本一致。

根據(jù)門杰海綿模型容易知道，單級(jí)空洞占其所在單元的體積比必然是小于λ的，即：K/27＜λ。而根據(jù)以上三個(gè)工程的分維數(shù)d對(duì)照表1，可得工程a、b、c的特征值 K 分別約為 14、14、8.5，其 K/27遠(yuǎn)大于λ。因此，可以判斷，以上所得的d值明顯偏小。

（3）礫巖成分及結(jié)構(gòu)成熟度低，大套礫石層夾多層薄層細(xì)砂巖，較多砂礫混層沉積。礫石粒徑最大可達(dá)100mm，一般10～40mm，磨圓為次棱角—次圓狀，礫石無(wú)定向排列。礫石成分為灰?guī)r、白云巖，泥質(zhì)、灰質(zhì)膠結(jié)。砂巖單層厚度小于3m，其間多含炭屑，且多呈層狀沿層面分布。薄片鑒定多為含灰質(zhì)巖屑長(zhǎng)石細(xì)砂巖及含泥質(zhì)長(zhǎng)石粗粉砂巖。砂巖成分主要為石英、長(zhǎng)石及灰質(zhì)和硅質(zhì)巖塊，以薄層細(xì)砂巖及粉砂巖充填在礫巖層之間，與泥質(zhì)巖呈紋層狀分布。

為此，又進(jìn)一步計(jì)算了三個(gè)工程的d1和d2。其中，考慮到視洞深尺寸的隨機(jī)性可能加大數(shù)據(jù)的離散性，計(jì)算d2時(shí)未拆分級(jí)數(shù)，僅按4級(jí)標(biāo)尺計(jì)算。經(jīng)計(jì)算，三個(gè)工程的d1和d2如表4所列。反算數(shù)據(jù)與趨勢(shì)線的相關(guān)性比算d值時(shí)更高，均有R2>0.97。

表4 三個(gè)工程溶洞的d1和d2值一覽表

對(duì)照表1，兩組數(shù)的匹配性較好，工程a、b、c的K值分別約為7.5、6、4。與相關(guān)的λ相比較，顯示出工程a、b、c的K值仍略為偏大。

然而值得注意的是，鉆探的終孔要求是“應(yīng)鉆入嵌巖面以下3～5 d，并穿過(guò)溶洞、破碎帶，進(jìn)入穩(wěn)定地層[6]”，故而每個(gè)鉆孔的最后5～6 m都是完整巖體，這必然導(dǎo)致λ值人為地選擇性變小。因此，由d1、d2得到的K值是合理的；所對(duì)應(yīng)的等效門杰海綿分維數(shù)為 2.70、2.77、2.85。

4 結(jié)論

本文的研究結(jié)果表明：

（1）巖溶發(fā)育有顯著的分形規(guī)律，可用門杰海綿作為其基本模型。

（2）利用見洞數(shù)和視洞深數(shù)據(jù)均可以反算出一定標(biāo)度范圍內(nèi)的溶蝕分形曲線，并可算出相應(yīng)的擬合分維數(shù) d、d1和 d2。

（3）經(jīng)與 λ 比較可知，工程 a、b、c反算出的 d值明顯偏小，由此算得的特征值K過(guò)大；而反算出的d1、d2值及由此算得的K值則較為合理。相應(yīng)的，d1、d2反算過(guò)程的分形趨勢(shì)線的相關(guān)系數(shù)也高于d的分形趨勢(shì)線。比較兩者的反算過(guò)程可判斷，正是d1、d2反算過(guò)程對(duì)數(shù)據(jù)的多級(jí)累加消除了數(shù)據(jù)的部分離散性，使得其規(guī)律性更為突出，而導(dǎo)致了上述結(jié)果。由此可見，在計(jì)算巖溶的分維數(shù)過(guò)程中，雖然d的物理意義更為清晰明確，但由于巖溶鉆探數(shù)據(jù)固有的離散性，采用計(jì)算d1、d2的方式確定分維數(shù)更為合理。

（4）通過(guò)分維數(shù)的計(jì)算還發(fā)現(xiàn)，根據(jù)勘察數(shù)據(jù)直接計(jì)算的λ值可能人為地選擇性變小。

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