勾股定理帶來的小幸福

賴以威

生活中你會擁有許多小幸福，比如，在拐角突然撞到校園男神或女神，丟了飯卡卻有人打電話來要還你，還有一種小幸福，是奇妙的勾股定理測算帶來的。

“直角三角形，夾著直角的兩邊平方相加，等于斜邊平方。”這個古代文明中重要的幾項數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，考卷上常見的概念之一，與我們的現(xiàn)實生活也有著重要關(guān)系。我們就來看看這兩個故事——

你看多遠(yuǎn)，我都知道

在臺北某棟大樓的瞭望臺上，兩個少男少女靠在窗邊。女孩突然說：“風(fēng)景好漂亮啊！從這里能看得好遠(yuǎn)，假如沒有被周圍的山擋住，一直往外望，能望到哪里去呢？”

男孩靈機一動，往玻璃窗伸出手指，對窗呵了口氣，在凝聚出來的霧上畫了個半圓。圓上畫兩個小人。以小人為起點，他畫了一條與大圓相切的切線。

“這是地球，上面的兩個人，是站在瞭望臺上的我們。地球半徑約為6400千米，瞭望臺高度為0.25千米，利用勾股定理，可求出從我們所在位置畫出去的切線長度x，即（0.25+6400） 2=64002+x2。”

男孩利落地列出一元二次方程式，然后解釋道，

“（0.25+6400）2=64002+x2展開，左邊是0.252+2×0.25×6400+64002，第一項跟后面兩項比太小，可以忽略，第三項地球半徑平方又可以跟右邊第一項消掉。因此，可得x近似于，大約是56.6千米。換句話說，站在瞭望臺的我們能看到56.6千米以外的景色。大概是宜蘭、還有東北角外海好幾千米的地方。”

女孩露出崇拜的眼神看著男孩，問他怎么那么聰明，要他教她數(shù)學(xué)。男孩靦腆地笑笑，答應(yīng)了她的請求。

甜甜圈有多大？

喜歡甜甜圈的小A常常苦惱該買哪家的甜甜圈。因為甜甜圈的中間開了一個洞，體積大小不僅跟外面的圓有關(guān)，跟中空的內(nèi)圓也有關(guān)系。看起來比較小的，可以推托說：

“我們的內(nèi)圓小，是屬于比較札實的類型。”

如果中空的圓很大，也可以解釋成：

“我們的甜甜圈大，內(nèi)圓難免也大一點嘛，數(shù)學(xué)不是有教過嗎，等比例放大，分量絕對有保證。”

該怎么簡單測量甜甜圈體積，揭穿甜甜圈面包師傅的詭計，困擾了小A許久。直到某一天他從勾股定理中意外找到了答案。

假設(shè)甜甜圈的水平剖面完全一樣，體積等于任意水平剖面的面積乘上高度。高度很好算，重點在于水平剖面，也就是由上往下看的環(huán)形面積該如何計算。最直接的方法是把內(nèi)圓與外圓的半徑都量出來，再用圓面積=π×（半徑）2來計算。

其中R是外圓的半徑，r是內(nèi)圓的半徑，我們簡稱為外徑與內(nèi)徑。

與其測量內(nèi)徑與外徑，再算兩者的平方相減，不如使用勾股定理更簡單地算出甜甜圈的體積：從甜甜圈內(nèi)圈的任意一點為基準(zhǔn)，沿著內(nèi)圈切線方向撕下一片。以撕下那片直邊的長度為圓直徑所算出的圓面積，就是甜甜圈的水平剖面面積。

根據(jù)定義，切線與內(nèi)圓半徑垂直，而切線與外圓相接的兩個接點，連回圓心的長度，剛好是外圓的半徑。也就是說，內(nèi)徑、外徑，以及這條撕下的直線的一半，恰好形成一個三角形，外徑是斜邊。利用勾股定理來計算撕下直線的一半長度，恰好是。以此值為半徑，套入圓公式，可以得到對應(yīng)的圓面積是π（R2-r2），跟之前直接量內(nèi)外圓的半徑有著一樣的結(jié)果。有了勾股定理的幫忙，小A能迅速算出附近幾家甜品店的甜甜圈大小，保證能買到最劃算的甜甜圈。

這兩個例子雖然很簡單，但卻有著相當(dāng)重要的象征意義，計算過程在現(xiàn)實生活中就相當(dāng)于“成本”，許多公司都以降低成本為第一考量。事實上，只要善加利用數(shù)學(xué)，很多時候便能輕松地省下大量成本。勾股定理之所以重要且廣為流傳，因為它在測量上扮演了相當(dāng)重要的角色。透過勾股定理，我們可以計算出一些原本無法得知的數(shù)據(jù)，或者，可以簡化一些復(fù)雜的測量。在古代，城池大小、水井深度的測量，都有勾股定理的蹤影。就算在現(xiàn)代日常生活中，勾股定理依然有許多測量的應(yīng)用。