發(fā)現(xiàn)“六根火柴”圖形的多種可能解

石殿祥

馬丁·加德納的“六根火柴”題目

在開始這個(gè)游戲題目之前，馬丁·加德納先講解了拓?fù)鋵W(xué)上等價(jià)圖形的基本概念，其大意為，假想火柴是一根橡皮筋，可以隨意加工，包括轉(zhuǎn)個(gè)彎，之后再放回桌面上，即經(jīng)過一系列加工后，它由一個(gè)圖形變成了另一個(gè)，若連通性沒有變化，這兩個(gè)圖形就稱之為拓?fù)鋵W(xué)上的等價(jià)圖形。比如三角形、圓形、方形，其大小、形狀雖然不同，但在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。

游戲題目

請問6根火柴在平面上到底可以排出多少個(gè)“拓?fù)鋵W(xué)上的不等價(jià)圖形”？要記住，每根火柴不可折斷，也都等長;既不能彎又拉不長，不可重疊，只可以在兩端相碰。

在這種規(guī)則下，6根火柴究竟能排出多少種不等價(jià)圖形呢？馬丁·加德納給出的答案：19種。

發(fā)現(xiàn)原答案中沒包括的變化

我是個(gè)愛鉆牛角尖的人，很少直接接受一個(gè)現(xiàn)成的結(jié)論，總是喜歡自己驗(yàn)證或者修改它們。我仔細(xì)觀察了這19個(gè)圖形，找到了一些與它們不同的新的不等價(jià)圖形，原來，“六根火柴”還有被隱藏的變化。進(jìn)而我想：馬丁·加德納的枚舉既然沒能窮盡全部可能的圖形，是否存在一種能夠窮盡所有圖形的方法？如何保證一種方法真的窮盡了所有的圖形？

為了避開拓?fù)鋵W(xué)、圖論之類艱深的概念和術(shù)語，在這里先定義一些與本題目有關(guān)的詞語（雖然不太規(guī)范，但是有助于說明和解釋）：稱每根火柴為邊;火柴（頭或尾）相碰的點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn);結(jié)點(diǎn)上連接的邊的數(shù)目稱為結(jié)點(diǎn)的階次;從一個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著邊可以到達(dá)另一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果能夠返回到出發(fā)的結(jié)點(diǎn)，則稱這樣的路由為環(huán)，如果環(huán)的內(nèi)部存在像對角線一類的邊，也就是說回到出發(fā)點(diǎn)的路由可以歷經(jīng)較少的邊，稱為多環(huán)，否則稱為單環(huán)。如圖：

為了能夠窮盡全部圖形，我們從考查結(jié)點(diǎn)總數(shù)入手。對于6根火柴來說，顯然結(jié)點(diǎn)總數(shù)不會(huì)超過6，因此按照結(jié)點(diǎn)數(shù)多少分類，就不會(huì)多于6類。顯然單環(huán)總數(shù)只能為0，1，2。對于多環(huán)，當(dāng)火柴根數(shù)為6時(shí)，只存在1個(gè)多環(huán)，可以把這個(gè)多環(huán)分解成共享一條（比如紅色）邊的2個(gè)單環(huán)來計(jì)數(shù)。統(tǒng)計(jì)出各個(gè)類別中互不相同的圖形數(shù)目，累加起來就是全部圖形的數(shù)目。

此外，還要給出一個(gè)關(guān)于邊的計(jì)數(shù)公式，對于M根火柴問題

：其中：M為火柴的根數(shù)，本題M=6，k表示結(jié)點(diǎn)總數(shù)，L表示單環(huán)總數(shù)。 表示對每個(gè)結(jié)點(diǎn)的階次作累加，但這種累加顯然包含了關(guān)于邊的重復(fù)計(jì)數(shù)。①連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的邊在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的階次統(tǒng)計(jì)中都被計(jì)算，因此多統(tǒng)計(jì)了K-1次;②對于單環(huán)出發(fā)結(jié)點(diǎn)與到達(dá)結(jié)點(diǎn)是同一個(gè)結(jié)點(diǎn)，顯然增加了該結(jié)點(diǎn)關(guān)于邊的計(jì)數(shù)，所以要減去L個(gè)單環(huán)的計(jì)數(shù)L。如此分析，說明這個(gè)公式是成立的。在完成以上的分析后我給出的解答如下：

因此這個(gè)問題的解答是：有28種不同的圖形！這里不再列出馬丁·加德納遺漏的9種圖形了（綠色）。上面給出的方法對M>6（或M<6）的情況同樣也是適用的。對一個(gè)小游戲的解答，展現(xiàn)了一個(gè)由枚舉、猜想到懷疑、考證的求索過程。提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要，因?yàn)樘岢鲂碌膯栴}、新的可能性，從新的角度看舊問題，需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。

（責(zé)任編輯/李靜敏）