換輪減速箱齒輪副的優化和校核

楊 瑤，劉 陽，文 瑤，李 源，劉 浩

（湖北工業大學農業機械研究設計院，湖北 武漢430068）

為了滿足南方丘陵水網地區土地狹小分散、水田旱地雜陳而設計的水陸兩用機耕船，其重要的部件之一是用于轉換水用葉輪和陸用膠輪的換輪減速箱。在工作中，換輪減速箱帶動葉膠輪上下擺動，減速箱的體積過大，需要大量的預留工作空間，而且導致能量的浪費，以及水陸兩用機耕船自身體積過大，而廢材耗資，還會致使機耕船工作的靈活度下降。熊禾根、孔建益等避開常規的齒輪設計方法，提出一種基于遺傳算法的交互式優化方法，大大節約了設計的時間和成本［1］；王得勝等人利用一種仿生學算法——蟻群算法對圓柱齒輪進行優化［2］；王占奎、薛春善等人將遺傳算法與粒子群算法相結合，對圓柱齒輪進行優化設計和編程實現［3］；毛志偉通過對齒輪加工數據以及Reilhofer系統的振動數據的分析，進一步降低了傳動誤差，改善了變速器的噪音［4］。但是，所采用的遺傳算法和仿生物算法過程都非常的復雜，計算過程并不方便，并且在工況相對簡單的情況下工作量仍過大，而且不能滿足特定的實際需求。

本文考慮的換輪減速箱工況并不復雜，在工作過程中時速相對較慢，對于力學性能的要求也不高，解決的問題是改善減速箱體積過大所造成的不便。根據工程結構優化設計［5］的理論基礎，建立變速箱輸出齒輪副體積為目標函數優化設計的數學模型，然后利用MATLAB的Optimization Toolbox優化工具箱，對其進行優化運算，最后通過圓整優化運算的結果得到齒輪副優化設計的各項參數。

1 優化設計數學模型的建立

要使得減速箱的體積在滿足強度以及硬度等約束條件下達到最小，首先，在輸出齒輪的設計過程中還應避免發生根切現象，在傳動過程中不會發生干涉等幾何條件的約束；其次，齒輪的其他相關優化設計變量也應該在約束條件的范圍內考慮。由此可將優化設計的數學模型總結為一個多元的優化目標函數［6］，多個優化條件約束問題的表達式

其中，Vmin為齒輪副體積向量極小化

1.1 優化設計變量的確定

一個設計方案可以用一組基本參數來表示，這些基本參數可以是構建尺寸等幾何量，也可以是質量等物理量，還可以是應力、變形等表示工作性能的導出量。在設計過程中選擇并最終確定的各項獨立基本參數，稱作設計變量，又叫優化參數［7］。本文優化問題定義為有約束的多元單目標函數優化問題，需要選定一組參數來對優化的目標函數進行描述，對于齒輪副來說，可以改變的是它們的模數、齒數和齒寬，當這些被優化的參數當做變量確定下來以后，其他參數就可以被當做常量了。

齒輪副優化設計的基本參數為：齒輪的模數m、小齒輪的齒數z、小齒輪的齒寬系數φ1，以及大齒輪的齒寬系數φ2分別對應為x1、x2、x3和x4。所以，齒輪副的優化設計變量就可以被確定為

齒輪副的各項其他基本參數見表1，材料為20CrMnTi，功率P＝75kw，傳動比i＝2.6，大齒輪轉速1 000r／min。

表1 大小齒輪基本參數

1.2 建立優化設計的目標函數

優化設計的目標是在不改變輸出齒輪副傳動比，閉式齒輪必須滿足避免齒輪點蝕、輪齒折斷等基本條件下，盡量減小變速箱輸出齒輪副的體積之和，從而使得換輪變速箱工作運轉更為靈活且節約制造成本的目的，同時也可以使得齒輪副的傳動更為平穩，減少噪音。由上述已定參數描述的換輪變速箱體積最小為優化目標的目標函數

式中：V為體積之和；V1，V2為兩嚙合齒輪各自的體積；d1，d2為兩嚙合齒輪的直徑；b1，b2為兩嚙合齒輪齒寬。

1.3 優化設計的約束條件

1.3.1 最小模數的約束條件 工業中常用齒輪的模數一般情況下不小于2，所以模數的約束方程為

1.3.2 避免發生根切 用標準齒條刀加工齒輪時，若刀具的齒頂線與嚙合線的交點和嚙合極限點重合時，剛好不發生根切。經幾何計算可以得出加工標準齒輪不發生根切的最小齒數，α＝20°時，zmin＝18［8］，所以不發生根切的約束方程是

1.3.3 齒寬系數的約束條件 對于工業用直齒圓柱齒輪，齒寬系數φ一般要求在0.2～0.5之間，齒寬系數的約束方程為

1.3.4 接觸強度的約束條件 齒輪工作時，齒面間接觸處將產生脈動循環的接觸應力。在接觸應力反復作用下，有可能會出現點蝕，從而影響正常工作使傳動失效。

嚙合齒輪齒面接觸應力的平均應力

式中：ZE為材料的彈性系數；ZH為節點區域系數；Zε為重合度系數；u為傳動比；K為載荷系數，K＝KAKVKβKα。查機械設計手冊，將數據（表2）。代入參數，計算得

表2 相關參數數據

許用接觸應力

式中：SHmin為接觸最小安全系數；ZN1為接觸壽命系數；σHmin為接觸疲勞極限；

查機械設計手冊，將相關數據代入計算得

可得約束方程

1.3.5 彎曲強度約束條件 在齒輪傳動工作時，齒輪相當于一個懸臂梁。承受載荷時，在其齒根部彎曲應力最大，且在齒根過渡圓角處有應力集中［8］。在此處的彎曲應力超過材料的彎曲疲勞極限，并在交變應力的多次作用下，會導致輪齒發生疲勞折斷。為使其在工作壽命內不會發生疲勞折斷的約束方程為

式中：YFa為齒形系數；Fsa為齒根應力集中系數；Fε為重合度系數；查詢機械設計手冊可以得到上述參數的值，代入后計算得

許用彎曲強度

式中：σFlim為彎曲疲勞極限；YN1為彎曲壽命系數；SFmin為彎曲最小安全系數，所以

由上可得彎曲強度約束方程為

1.4 MATLAB優化工具箱優化

MATLAB工具箱中有許多基本函數可以調用求解最優化問題。選用了fmincon函數對體積函數做優化。函數優化的流程圖如圖1所示。

圖1 程序流程圖

函數fmincon調用格式如下：

最后得到的計算結果整理到表3中。

表3 優化結果匯總表

經過圓整，得m ＝4，z＝18，φ1＝0.5，φ2＝0.2，其中exitflag＝1表示優化結果收斂于解。

優化后的齒輪傳動的體積

優化前的齒輪傳動的體積

所以，優化后體積減小了21.89%。

2 有限元軟件檢驗齒輪副力學性能

ANSYS軟件對嚙合齒輪進行有限元分析得出的結果是符合實際工況且合理可靠［9］。優化后得到的小齒輪參數為m ＝4，z1＝18，φ1＝0.5，z2＝47。代入

得：t＝0.333mm；F＝1674.15N／mm2。其中：F為面載荷；Fn為齒輪法向壓力；ρ1，ρ2為兩齒輪曲率半徑；t為接觸寬度。

利用PROE建立齒輪的參數化模型，無縫導入ANSYS軟件，計算得到嚙合齒輪的接觸區域，然后通過定義材料屬性，對模型進行網格劃分，接觸模型如圖2所示。

圖2 接觸模型圖

對于齒輪接觸強度的計算是在靜態分析的基礎上，不考慮齒輪的制造誤差和安裝誤差，施加約束是定義齒輪軸孔內徑上的點x，y，z方向以及u，v，w位移約束均為零，假設齒輪傳動為面接觸，施加面載荷并求解得到齒輪的等效應力云圖（圖3）。

圖3 齒輪接觸應力云圖

從圖3可以看出，經有限元軟件優化參數后計算得到的最大接觸用力為991.5MPa，查表得到許用接觸用力［σH］為1 666MPa，說明優化后的齒輪完全符合實際使用需求。

3 結束語

以水陸兩用機耕船換輪減速箱的體積為最小目標函數，并且確定了m，z，φ為參數的設計變量，并根據受力情況為約束條件定義S＝bt邊界條件，對齒輪副進行了優化，最后體積減少了21.29%，經有限元軟件ANSYS檢驗后接觸應力在許用范圍內。

［1］ 張小芹，王海芳，孫 磊，等.基于神經網絡及遺傳算法的齒輪優化設計軟件［J］.機械設計及制造，2010（10）：32－34

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［3］ 王占奎，薛春善.基于遺傳粒子群算法的圓柱齒輪優化設計與實現［J］.河南科技學院學報自然科學版，2008（01）：85－87.

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［5］ 蔡 新，李洪煊，武穎利，等.工程結構優化設計研究進展［J］.河海大學學報自然科學版，2011（03）：36－43.

［6］ 董立立，趙益萍，梁林泉，等.機械優化設計理論方法研究綜述［J］.機床與液壓，2010（15）：120－125.

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