換輪減速箱齒輪副的優(yōu)化和校核

楊 瑤，劉 陽(yáng)，文 瑤，李 源，劉 浩

（湖北工業(yè)大學(xué)農(nóng)業(yè)機(jī)械研究設(shè)計(jì)院，湖北 武漢430068）

為了滿足南方丘陵水網(wǎng)地區(qū)土地狹小分散、水田旱地雜陳而設(shè)計(jì)的水陸兩用機(jī)耕船，其重要的部件之一是用于轉(zhuǎn)換水用葉輪和陸用膠輪的換輪減速箱。在工作中，換輪減速箱帶動(dòng)葉膠輪上下擺動(dòng)，減速箱的體積過(guò)大，需要大量的預(yù)留工作空間，而且導(dǎo)致能量的浪費(fèi)，以及水陸兩用機(jī)耕船自身體積過(guò)大，而廢材耗資，還會(huì)致使機(jī)耕船工作的靈活度下降。熊禾根、孔建益等避開(kāi)常規(guī)的齒輪設(shè)計(jì)方法，提出一種基于遺傳算法的交互式優(yōu)化方法，大大節(jié)約了設(shè)計(jì)的時(shí)間和成本［1］；王得勝等人利用一種仿生學(xué)算法——蟻群算法對(duì)圓柱齒輪進(jìn)行優(yōu)化［2］；王占奎、薛春善等人將遺傳算法與粒子群算法相結(jié)合，對(duì)圓柱齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和編程實(shí)現(xiàn)［3］；毛志偉通過(guò)對(duì)齒輪加工數(shù)據(jù)以及Reilhofer系統(tǒng)的振動(dòng)數(shù)據(jù)的分析，進(jìn)一步降低了傳動(dòng)誤差，改善了變速器的噪音［4］。但是，所采用的遺傳算法和仿生物算法過(guò)程都非常的復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程并不方便，并且在工況相對(duì)簡(jiǎn)單的情況下工作量仍過(guò)大，而且不能滿足特定的實(shí)際需求。

本文考慮的換輪減速箱工況并不復(fù)雜，在工作過(guò)程中時(shí)速相對(duì)較慢，對(duì)于力學(xué)性能的要求也不高，解決的問(wèn)題是改善減速箱體積過(guò)大所造成的不便。根據(jù)工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)［5］的理論基礎(chǔ)，建立變速箱輸出齒輪副體積為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，然后利用MATLAB的Optimization Toolbox優(yōu)化工具箱，對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算，最后通過(guò)圓整優(yōu)化運(yùn)算的結(jié)果得到齒輪副優(yōu)化設(shè)計(jì)的各項(xiàng)參數(shù)。

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的建立

要使得減速箱的體積在滿足強(qiáng)度以及硬度等約束條件下達(dá)到最小，首先，在輸出齒輪的設(shè)計(jì)過(guò)程中還應(yīng)避免發(fā)生根切現(xiàn)象，在傳動(dòng)過(guò)程中不會(huì)發(fā)生干涉等幾何條件的約束；其次，齒輪的其他相關(guān)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量也應(yīng)該在約束條件的范圍內(nèi)考慮。由此可將優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型總結(jié)為一個(gè)多元的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)［6］，多個(gè)優(yōu)化條件約束問(wèn)題的表達(dá)式

其中，Vmin為齒輪副體積向量極小化

1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的確定

一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)來(lái)表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)建尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。在設(shè)計(jì)過(guò)程中選擇并最終確定的各項(xiàng)獨(dú)立基本參數(shù)，稱(chēng)作設(shè)計(jì)變量，又叫優(yōu)化參數(shù)［7］。本文優(yōu)化問(wèn)題定義為有約束的多元單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，需要選定一組參數(shù)來(lái)對(duì)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行描述，對(duì)于齒輪副來(lái)說(shuō)，可以改變的是它們的模數(shù)、齒數(shù)和齒寬，當(dāng)這些被優(yōu)化的參數(shù)當(dāng)做變量確定下來(lái)以后，其他參數(shù)就可以被當(dāng)做常量了。

齒輪副優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本參數(shù)為：齒輪的模數(shù)m、小齒輪的齒數(shù)z、小齒輪的齒寬系數(shù)φ1，以及大齒輪的齒寬系數(shù)φ2分別對(duì)應(yīng)為x1、x2、x3和x4。所以，齒輪副的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量就可以被確定為

齒輪副的各項(xiàng)其他基本參數(shù)見(jiàn)表1，材料為20CrMnTi，功率P＝75kw，傳動(dòng)比i＝2.6，大齒輪轉(zhuǎn)速1 000r／min。

表1 大小齒輪基本參數(shù)

1.2 建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是在不改變輸出齒輪副傳動(dòng)比，閉式齒輪必須滿足避免齒輪點(diǎn)蝕、輪齒折斷等基本條件下，盡量減小變速箱輸出齒輪副的體積之和，從而使得換輪變速箱工作運(yùn)轉(zhuǎn)更為靈活且節(jié)約制造成本的目的，同時(shí)也可以使得齒輪副的傳動(dòng)更為平穩(wěn)，減少噪音。由上述已定參數(shù)描述的換輪變速箱體積最小為優(yōu)化目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)

式中：V為體積之和；V1，V2為兩嚙合齒輪各自的體積；d1，d2為兩嚙合齒輪的直徑；b1，b2為兩嚙合齒輪齒寬。

1.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件

1.3.1 最小模數(shù)的約束條件 工業(yè)中常用齒輪的模數(shù)一般情況下不小于2，所以模數(shù)的約束方程為

1.3.2 避免發(fā)生根切 用標(biāo)準(zhǔn)齒條刀加工齒輪時(shí)，若刀具的齒頂線與嚙合線的交點(diǎn)和嚙合極限點(diǎn)重合時(shí)，剛好不發(fā)生根切。經(jīng)幾何計(jì)算可以得出加工標(biāo)準(zhǔn)齒輪不發(fā)生根切的最小齒數(shù)，α＝20°時(shí)，zmin＝18［8］，所以不發(fā)生根切的約束方程是

1.3.3 齒寬系數(shù)的約束條件 對(duì)于工業(yè)用直齒圓柱齒輪，齒寬系數(shù)φ一般要求在0.2～0.5之間，齒寬系數(shù)的約束方程為

1.3.4 接觸強(qiáng)度的約束條件 齒輪工作時(shí)，齒面間接觸處將產(chǎn)生脈動(dòng)循環(huán)的接觸應(yīng)力。在接觸應(yīng)力反復(fù)作用下，有可能會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)蝕，從而影響正常工作使傳動(dòng)失效。

嚙合齒輪齒面接觸應(yīng)力的平均應(yīng)力

式中：ZE為材料的彈性系數(shù)；ZH為節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)；Zε為重合度系數(shù)；u為傳動(dòng)比；K為載荷系數(shù)，K＝KAKVKβKα。查機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)，將數(shù)據(jù)（表2）。代入?yún)?shù)，計(jì)算得

表2 相關(guān)參數(shù)數(shù)據(jù)

許用接觸應(yīng)力

式中：SHmin為接觸最小安全系數(shù)；ZN1為接觸壽命系數(shù)；σHmin為接觸疲勞極限；

查機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入計(jì)算得

可得約束方程

1.3.5 彎曲強(qiáng)度約束條件 在齒輪傳動(dòng)工作時(shí)，齒輪相當(dāng)于一個(gè)懸臂梁。承受載荷時(shí)，在其齒根部彎曲應(yīng)力最大，且在齒根過(guò)渡圓角處有應(yīng)力集中［8］。在此處的彎曲應(yīng)力超過(guò)材料的彎曲疲勞極限，并在交變應(yīng)力的多次作用下，會(huì)導(dǎo)致輪齒發(fā)生疲勞折斷。為使其在工作壽命內(nèi)不會(huì)發(fā)生疲勞折斷的約束方程為

式中：YFa為齒形系數(shù)；Fsa為齒根應(yīng)力集中系數(shù)；Fε為重合度系數(shù)；查詢機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)可以得到上述參數(shù)的值，代入后計(jì)算得

許用彎曲強(qiáng)度

式中：σFlim為彎曲疲勞極限；YN1為彎曲壽命系數(shù)；SFmin為彎曲最小安全系數(shù)，所以

由上可得彎曲強(qiáng)度約束方程為

1.4 MATLAB優(yōu)化工具箱優(yōu)化

MATLAB工具箱中有許多基本函數(shù)可以調(diào)用求解最優(yōu)化問(wèn)題。選用了fmincon函數(shù)對(duì)體積函數(shù)做優(yōu)化。函數(shù)優(yōu)化的流程圖如圖1所示。

圖1 程序流程圖

函數(shù)fmincon調(diào)用格式如下：

最后得到的計(jì)算結(jié)果整理到表3中。

表3 優(yōu)化結(jié)果匯總表

經(jīng)過(guò)圓整，得m ＝4，z＝18，φ1＝0.5，φ2＝0.2，其中exitflag＝1表示優(yōu)化結(jié)果收斂于解。

優(yōu)化后的齒輪傳動(dòng)的體積

優(yōu)化前的齒輪傳動(dòng)的體積

所以，優(yōu)化后體積減小了21.89%。

2 有限元軟件檢驗(yàn)齒輪副力學(xué)性能

ANSYS軟件對(duì)嚙合齒輪進(jìn)行有限元分析得出的結(jié)果是符合實(shí)際工況且合理可靠［9］。優(yōu)化后得到的小齒輪參數(shù)為m ＝4，z1＝18，φ1＝0.5，z2＝47。代入

得：t＝0.333mm；F＝1674.15N／mm2。其中：F為面載荷；Fn為齒輪法向壓力；ρ1，ρ2為兩齒輪曲率半徑；t為接觸寬度。

利用PROE建立齒輪的參數(shù)化模型，無(wú)縫導(dǎo)入ANSYS軟件，計(jì)算得到嚙合齒輪的接觸區(qū)域，然后通過(guò)定義材料屬性，對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，接觸模型如圖2所示。

圖2 接觸模型圖

對(duì)于齒輪接觸強(qiáng)度的計(jì)算是在靜態(tài)分析的基礎(chǔ)上，不考慮齒輪的制造誤差和安裝誤差，施加約束是定義齒輪軸孔內(nèi)徑上的點(diǎn)x，y，z方向以及u，v，w位移約束均為零，假設(shè)齒輪傳動(dòng)為面接觸，施加面載荷并求解得到齒輪的等效應(yīng)力云圖（圖3）。

圖3 齒輪接觸應(yīng)力云圖

從圖3可以看出，經(jīng)有限元軟件優(yōu)化參數(shù)后計(jì)算得到的最大接觸用力為991.5MPa，查表得到許用接觸用力［σH］為1 666MPa，說(shuō)明優(yōu)化后的齒輪完全符合實(shí)際使用需求。

3 結(jié)束語(yǔ)

以水陸兩用機(jī)耕船換輪減速箱的體積為最小目標(biāo)函數(shù)，并且確定了m，z，φ為參數(shù)的設(shè)計(jì)變量，并根據(jù)受力情況為約束條件定義S＝bt邊界條件，對(duì)齒輪副進(jìn)行了優(yōu)化，最后體積減少了21.29%，經(jīng)有限元軟件ANSYS檢驗(yàn)后接觸應(yīng)力在許用范圍內(nèi)。

［1］ 張小芹，王海芳，孫 磊，等.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及遺傳算法的齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)及制造，2010（10）：32－34

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［7］ 李萬(wàn)祥.工程優(yōu)化設(shè)計(jì)與 MATLAB實(shí)現(xiàn)［M］.北京：清華大學(xué)出版社.2009：211－219.

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