嘗試，成長(zhǎng)的另一種模式

潘霞

在全國現(xiàn)代與經(jīng)典的講臺(tái)上，我選擇了“倍數(shù)和因數(shù)”這一教學(xué)內(nèi)容作為課例，這是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。一開始選這節(jié)課，是感覺這節(jié)課似乎不難上，而且前幾年“數(shù)學(xué)王子”——張齊華老師上過這節(jié)課，有很多地方可以學(xué)習(xí)和借鑒。可等到自己備課，細(xì)細(xì)地研究教材時(shí)，才發(fā)現(xiàn)這節(jié)課其實(shí)不好上，不但知識(shí)點(diǎn)多，而且概念學(xué)生也比較難理解。試上了幾次，都屢遭失敗。于是我重新研究和思考，怎樣才能讓學(xué)生真正理解倍數(shù)和因數(shù)的含義，并以此為前提，讓學(xué)生能夠自然地掌握求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)的方法。

教材是通過讓學(xué)生用12個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，引出三種不同的拼法，并讓學(xué)生用乘法算式表示出這些拼法，然后結(jié)合其中的一道乘法算式，揭示倍數(shù)和因數(shù)的概念。一開始的試教，我正是按照這樣的思路展開教學(xué)的，教學(xué)過程也比較順利，接下來的模仿性練習(xí)，學(xué)生也能正確地說出誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。在模仿性練習(xí)后，為了幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，我安排了幾道“變式”和“反例”的討論，當(dāng)出示“13÷3=4……1”這個(gè)算式時(shí)，問題出現(xiàn)了：學(xué)生竟然也會(huì)依樣畫葫蘆地說：“ 13是3的倍數(shù)，13也是4……1的倍數(shù)；3是13的因數(shù)，4……1也是13的因數(shù)。”可見，學(xué)生其實(shí)并沒有真正把握概念的實(shí)質(zhì)，只是從形式上學(xué)會(huì)了模仿著說說而已。

是什么原因?qū)е铝诉@種現(xiàn)象？我的第一感覺是可能學(xué)生沒有動(dòng)手操作，體驗(yàn)不深，才導(dǎo)致他們對(duì)于每排個(gè)數(shù)、排數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系不明確。所以再次試教時(shí)，我有意加入了讓學(xué)生擺拼操作的活動(dòng)，希望通過操作以及數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系。但是課堂還是沒有朝著我所設(shè)計(jì)的目標(biāo)走下去，揭示概念之后，學(xué)生還是把所有注意力集中到了乘法算式上，并沒有和之前的對(duì)擺拼活動(dòng)的感受聯(lián)系起來，關(guān)注的還是一些形式上的關(guān)系，在變式練習(xí)中仍然出現(xiàn)了上面類似的問題，并沒有注意到倍數(shù)和因數(shù)的本質(zhì)關(guān)系。

于是，我又重新反思：對(duì)于學(xué)生來說，倍數(shù)和因數(shù)之間究竟是怎樣一種關(guān)系？?jī)蓚€(gè)數(shù)之間要形成倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系，其前提條件和實(shí)質(zhì)又是什么？經(jīng)過這樣的思考，我猜測(cè)：學(xué)生只是知道了除法算式中可以找到倍數(shù)和因數(shù)，而不知道兩個(gè)數(shù)之間要形成倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是“整除”，即其中的一個(gè)數(shù)去除以另一個(gè)數(shù)，商要是整數(shù)而沒有余數(shù)。為了讓學(xué)生清晰地理解這一概念的本質(zhì)，我進(jìn)行了這樣的設(shè)計(jì)：先通過擺拼操作讓學(xué)生初步體驗(yàn)小正方形總個(gè)數(shù)與每排個(gè)數(shù)之間的“整除”關(guān)系，再通過對(duì)除法算式的觀察比較進(jìn)一步明確總個(gè)數(shù)和每排個(gè)數(shù)之間的“整除”關(guān)系，最后再結(jié)合具體的圖形和算式，揭示概念的定義。這樣，就能使學(xué)生較好地把握概念的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)形式上的表達(dá)。

同時(shí)，我也考慮，根據(jù)除法算式引出倍數(shù)和因數(shù)的概念是否恰當(dāng)？因?yàn)楦鶕?jù)除法算式引出倍數(shù)和約數(shù)才是比較順當(dāng)?shù)模稊?shù)和因數(shù)，的確從乘法算式引出更加合理。而因數(shù)也好，約數(shù)也好，當(dāng)它們和倍數(shù)組成一種相對(duì)關(guān)系時(shí)，其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是相同的。因此，我做了如下的嘗試。

一、創(chuàng)設(shè)情境

師：羊村里開會(huì)。12個(gè)同樣大的正方形，怎樣正好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？大家說說你們是怎樣排的。

生1：每排12個(gè)。（板貼：12÷1=12）

生2：每排4個(gè)。（板貼：12÷4=3）

生3：每排3個(gè)。（板貼：12÷3=4）

生4：每排2個(gè)。（板貼：12÷2=6）

生5：每排1個(gè)。（板貼：12÷1=12）

師：還有其他辦法嗎？懶羊羊提出，每排擺5個(gè)可以嗎？

生6：不可以，每排5個(gè)，余了2個(gè)。

師：每排可以擺7個(gè)呀？

生6：不行，多了5個(gè)。

師：懶羊羊就很奇怪了，為什么喜洋洋說的都對(duì)，他說的就不行呢？到底每排數(shù)到底要符合怎樣的條件，才可以正好拼出一個(gè)長(zhǎng)方形。

生7：每排拼出來后，沒有多出來的正方形。

師（揭題）：剛才像你們說的這些情況，在數(shù)學(xué)上可以用“倍數(shù)和因數(shù)”的關(guān)系來說。

二、認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)

1.初步認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)

師：12÷3=4中，12是4的倍數(shù)，4是12的因數(shù)。

師：你選擇的是哪一個(gè)算式，同桌之間相互說一說。在說倍數(shù)和因數(shù)時(shí)，所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。

師（課件展示“36÷3=12”）：根據(jù)這個(gè)除法算式能想出另一個(gè)除法算式嗎？

師（小結(jié)）：36是3的倍數(shù)，36也是12的倍數(shù)，3和12都是36的倍數(shù)。

師（課件展示“3×12=36”）：這個(gè)算式有倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系嗎？

師：像這樣，不管是除法算式還是乘法算式，我們都能發(fā)現(xiàn)各數(shù)之間的關(guān)系。原來每排個(gè)數(shù)和只要存在倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系就可以了。懶羊羊說12是倍數(shù)，可以嗎？

生：不行，他沒有說是誰的倍數(shù)。

師：對(duì)，一定要說清楚是誰的倍數(shù)。

2.探索求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法

師：懶羊羊說15是3的倍數(shù)。為什么？

師：21是3的倍數(shù)嗎？

師：都是3的倍數(shù)呀，3的倍數(shù)還有哪些，請(qǐng)寫在作業(yè)紙上。

師：你們像比賽一樣，一個(gè)比一個(gè)寫得多呀。你有什么好辦法寫了這么多？

師：兩位同學(xué)都找到了3的倍數(shù)，一個(gè)是用連續(xù)加3的方法，一個(gè)是用乘法，你覺得哪種方法比較簡(jiǎn)單？

師：寫數(shù)的時(shí)候，一般寫完前5個(gè)，就可以用省略號(hào)表示。

師（讓學(xué)生比較有順序地找2和5的倍數(shù)）：5要不要寫？

生8：5是5的倍數(shù)。

生9：我寫的是1的倍數(shù)。1，2，3，4，5……

師：所有的非零自然數(shù)都是1的倍數(shù)。

師：在寫倍數(shù)的時(shí)候，有什么發(fā)現(xiàn)？

生10：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有最小的，沒有最大的。

師（小結(jié)）：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是它本身，沒有最大，并且一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)。

3.探索求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法

師：一個(gè)數(shù)的因數(shù)是不是也有無數(shù)個(gè)？

（生獨(dú)立完成并交流36的因數(shù)）

生11：36除以5沒有。

生12：不是沒有，是有余數(shù)。

生13：他能有順序地說。

生14：通過一個(gè)算式可以得到一個(gè)數(shù)的兩個(gè)因數(shù)。

生15：36除以6等于6，6也是36的因數(shù)。

師：6寫幾個(gè)？重復(fù)的只寫1個(gè)。寫的時(shí)候可以一對(duì)一對(duì)地寫，也可以從兩頭開始寫。（師生從兩頭一起寫）找全了，用一個(gè)句號(hào)來表示。像這樣有序地寫一個(gè)數(shù)的因數(shù)，學(xué)會(huì)了嗎？一起來說一說8的因數(shù)和9的因數(shù)。

師：你們?cè)趯懸粋€(gè)數(shù)的因數(shù)的時(shí)候，有什么發(fā)現(xiàn)？也圍繞最大、最小、個(gè)數(shù)這三個(gè)特征來找一找。

師：學(xué)到這，你知道了些什么呢？

■

三、新知運(yùn)用

1.24個(gè)同學(xué)表演團(tuán)體操，把隊(duì)伍的排列情況填寫完整。

■

師：排數(shù)和每排人數(shù)以及24是什么關(guān)系？

2.根據(jù)自己的學(xué)號(hào)，正確快速地做出判斷。（拍照游戲）

（1）學(xué)號(hào)是7的倍數(shù)。

師：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)應(yīng)該是無限的，怎么人數(shù)是有限的呢？

生：因?yàn)榘嗉?jí)里的人數(shù)是有限的。

（2）學(xué)號(hào)是7的因數(shù)。

學(xué)號(hào)是35號(hào)的學(xué)生走上講臺(tái)后發(fā)現(xiàn)不對(duì)：35是7的倍數(shù)，而不是因數(shù)。

（3）學(xué)號(hào)是1的因數(shù)。

師：好孤單啊，只有一個(gè)人。

生：1的因數(shù)是1，只有1。1是所有非零自然數(shù)的因數(shù)。

（4）學(xué)號(hào)是1的倍數(shù)。

剩下的學(xué)生興奮地跑上講臺(tái)，集體拍照，活動(dòng)結(jié)束。

整節(jié)課，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的探索積極主動(dòng)，對(duì)知識(shí)的理解正確深刻，聽課老師給予評(píng)價(jià)：整節(jié)課簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單！

（責(zé)編 金 鈴）

在全國現(xiàn)代與經(jīng)典的講臺(tái)上，我選擇了“倍數(shù)和因數(shù)”這一教學(xué)內(nèi)容作為課例，這是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。一開始選這節(jié)課，是感覺這節(jié)課似乎不難上，而且前幾年“數(shù)學(xué)王子”——張齊華老師上過這節(jié)課，有很多地方可以學(xué)習(xí)和借鑒。可等到自己備課，細(xì)細(xì)地研究教材時(shí)，才發(fā)現(xiàn)這節(jié)課其實(shí)不好上，不但知識(shí)點(diǎn)多，而且概念學(xué)生也比較難理解。試上了幾次，都屢遭失敗。于是我重新研究和思考，怎樣才能讓學(xué)生真正理解倍數(shù)和因數(shù)的含義，并以此為前提，讓學(xué)生能夠自然地掌握求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)的方法。

教材是通過讓學(xué)生用12個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，引出三種不同的拼法，并讓學(xué)生用乘法算式表示出這些拼法，然后結(jié)合其中的一道乘法算式，揭示倍數(shù)和因數(shù)的概念。一開始的試教，我正是按照這樣的思路展開教學(xué)的，教學(xué)過程也比較順利，接下來的模仿性練習(xí)，學(xué)生也能正確地說出誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。在模仿性練習(xí)后，為了幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，我安排了幾道“變式”和“反例”的討論，當(dāng)出示“13÷3=4……1”這個(gè)算式時(shí)，問題出現(xiàn)了：學(xué)生竟然也會(huì)依樣畫葫蘆地說：“ 13是3的倍數(shù)，13也是4……1的倍數(shù)；3是13的因數(shù)，4……1也是13的因數(shù)。”可見，學(xué)生其實(shí)并沒有真正把握概念的實(shí)質(zhì)，只是從形式上學(xué)會(huì)了模仿著說說而已。

是什么原因?qū)е铝诉@種現(xiàn)象？我的第一感覺是可能學(xué)生沒有動(dòng)手操作，體驗(yàn)不深，才導(dǎo)致他們對(duì)于每排個(gè)數(shù)、排數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系不明確。所以再次試教時(shí)，我有意加入了讓學(xué)生擺拼操作的活動(dòng)，希望通過操作以及數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系。但是課堂還是沒有朝著我所設(shè)計(jì)的目標(biāo)走下去，揭示概念之后，學(xué)生還是把所有注意力集中到了乘法算式上，并沒有和之前的對(duì)擺拼活動(dòng)的感受聯(lián)系起來，關(guān)注的還是一些形式上的關(guān)系，在變式練習(xí)中仍然出現(xiàn)了上面類似的問題，并沒有注意到倍數(shù)和因數(shù)的本質(zhì)關(guān)系。

于是，我又重新反思：對(duì)于學(xué)生來說，倍數(shù)和因數(shù)之間究竟是怎樣一種關(guān)系？?jī)蓚€(gè)數(shù)之間要形成倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系，其前提條件和實(shí)質(zhì)又是什么？經(jīng)過這樣的思考，我猜測(cè)：學(xué)生只是知道了除法算式中可以找到倍數(shù)和因數(shù)，而不知道兩個(gè)數(shù)之間要形成倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是“整除”，即其中的一個(gè)數(shù)去除以另一個(gè)數(shù)，商要是整數(shù)而沒有余數(shù)。為了讓學(xué)生清晰地理解這一概念的本質(zhì)，我進(jìn)行了這樣的設(shè)計(jì)：先通過擺拼操作讓學(xué)生初步體驗(yàn)小正方形總個(gè)數(shù)與每排個(gè)數(shù)之間的“整除”關(guān)系，再通過對(duì)除法算式的觀察比較進(jìn)一步明確總個(gè)數(shù)和每排個(gè)數(shù)之間的“整除”關(guān)系，最后再結(jié)合具體的圖形和算式，揭示概念的定義。這樣，就能使學(xué)生較好地把握概念的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)形式上的表達(dá)。

同時(shí)，我也考慮，根據(jù)除法算式引出倍數(shù)和因數(shù)的概念是否恰當(dāng)？因?yàn)楦鶕?jù)除法算式引出倍數(shù)和約數(shù)才是比較順當(dāng)?shù)模稊?shù)和因數(shù)，的確從乘法算式引出更加合理。而因數(shù)也好，約數(shù)也好，當(dāng)它們和倍數(shù)組成一種相對(duì)關(guān)系時(shí)，其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是相同的。因此，我做了如下的嘗試。

一、創(chuàng)設(shè)情境

師：羊村里開會(huì)。12個(gè)同樣大的正方形，怎樣正好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？大家說說你們是怎樣排的。

生1：每排12個(gè)。（板貼：12÷1=12）

生2：每排4個(gè)。（板貼：12÷4=3）

生3：每排3個(gè)。（板貼：12÷3=4）

生4：每排2個(gè)。（板貼：12÷2=6）

生5：每排1個(gè)。（板貼：12÷1=12）

師：還有其他辦法嗎？懶羊羊提出，每排擺5個(gè)可以嗎？

生6：不可以，每排5個(gè)，余了2個(gè)。

師：每排可以擺7個(gè)呀？

生6：不行，多了5個(gè)。

師：懶羊羊就很奇怪了，為什么喜洋洋說的都對(duì)，他說的就不行呢？到底每排數(shù)到底要符合怎樣的條件，才可以正好拼出一個(gè)長(zhǎng)方形。

生7：每排拼出來后，沒有多出來的正方形。

師（揭題）：剛才像你們說的這些情況，在數(shù)學(xué)上可以用“倍數(shù)和因數(shù)”的關(guān)系來說。

二、認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)

1.初步認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)

師：12÷3=4中，12是4的倍數(shù)，4是12的因數(shù)。

師：你選擇的是哪一個(gè)算式，同桌之間相互說一說。在說倍數(shù)和因數(shù)時(shí)，所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。

師（課件展示“36÷3=12”）：根據(jù)這個(gè)除法算式能想出另一個(gè)除法算式嗎？

師（小結(jié)）：36是3的倍數(shù)，36也是12的倍數(shù)，3和12都是36的倍數(shù)。

師（課件展示“3×12=36”）：這個(gè)算式有倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系嗎？

師：像這樣，不管是除法算式還是乘法算式，我們都能發(fā)現(xiàn)各數(shù)之間的關(guān)系。原來每排個(gè)數(shù)和只要存在倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系就可以了。懶羊羊說12是倍數(shù)，可以嗎？

生：不行，他沒有說是誰的倍數(shù)。

師：對(duì)，一定要說清楚是誰的倍數(shù)。

2.探索求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法

師：懶羊羊說15是3的倍數(shù)。為什么？

師：21是3的倍數(shù)嗎？

師：都是3的倍數(shù)呀，3的倍數(shù)還有哪些，請(qǐng)寫在作業(yè)紙上。

師：你們像比賽一樣，一個(gè)比一個(gè)寫得多呀。你有什么好辦法寫了這么多？

師：兩位同學(xué)都找到了3的倍數(shù)，一個(gè)是用連續(xù)加3的方法，一個(gè)是用乘法，你覺得哪種方法比較簡(jiǎn)單？

師：寫數(shù)的時(shí)候，一般寫完前5個(gè)，就可以用省略號(hào)表示。

師（讓學(xué)生比較有順序地找2和5的倍數(shù)）：5要不要寫？

生8：5是5的倍數(shù)。

生9：我寫的是1的倍數(shù)。1，2，3，4，5……

師：所有的非零自然數(shù)都是1的倍數(shù)。

師：在寫倍數(shù)的時(shí)候，有什么發(fā)現(xiàn)？

生10：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有最小的，沒有最大的。

師（小結(jié)）：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是它本身，沒有最大，并且一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)。

3.探索求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法

師：一個(gè)數(shù)的因數(shù)是不是也有無數(shù)個(gè)？

（生獨(dú)立完成并交流36的因數(shù)）

生11：36除以5沒有。

生12：不是沒有，是有余數(shù)。

生13：他能有順序地說。

生14：通過一個(gè)算式可以得到一個(gè)數(shù)的兩個(gè)因數(shù)。

生15：36除以6等于6，6也是36的因數(shù)。

師：6寫幾個(gè)？重復(fù)的只寫1個(gè)。寫的時(shí)候可以一對(duì)一對(duì)地寫，也可以從兩頭開始寫。（師生從兩頭一起寫）找全了，用一個(gè)句號(hào)來表示。像這樣有序地寫一個(gè)數(shù)的因數(shù)，學(xué)會(huì)了嗎？一起來說一說8的因數(shù)和9的因數(shù)。

師：你們?cè)趯懸粋€(gè)數(shù)的因數(shù)的時(shí)候，有什么發(fā)現(xiàn)？也圍繞最大、最小、個(gè)數(shù)這三個(gè)特征來找一找。

師：學(xué)到這，你知道了些什么呢？

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三、新知運(yùn)用

1.24個(gè)同學(xué)表演團(tuán)體操，把隊(duì)伍的排列情況填寫完整。

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師：排數(shù)和每排人數(shù)以及24是什么關(guān)系？

2.根據(jù)自己的學(xué)號(hào)，正確快速地做出判斷。（拍照游戲）

（1）學(xué)號(hào)是7的倍數(shù)。

師：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)應(yīng)該是無限的，怎么人數(shù)是有限的呢？

生：因?yàn)榘嗉?jí)里的人數(shù)是有限的。

（2）學(xué)號(hào)是7的因數(shù)。

學(xué)號(hào)是35號(hào)的學(xué)生走上講臺(tái)后發(fā)現(xiàn)不對(duì)：35是7的倍數(shù)，而不是因數(shù)。

（3）學(xué)號(hào)是1的因數(shù)。

師：好孤單啊，只有一個(gè)人。

生：1的因數(shù)是1，只有1。1是所有非零自然數(shù)的因數(shù)。

（4）學(xué)號(hào)是1的倍數(shù)。

剩下的學(xué)生興奮地跑上講臺(tái)，集體拍照，活動(dòng)結(jié)束。

整節(jié)課，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的探索積極主動(dòng)，對(duì)知識(shí)的理解正確深刻，聽課老師給予評(píng)價(jià)：整節(jié)課簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單！

（責(zé)編 金 鈴）

在全國現(xiàn)代與經(jīng)典的講臺(tái)上，我選擇了“倍數(shù)和因數(shù)”這一教學(xué)內(nèi)容作為課例，這是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。一開始選這節(jié)課，是感覺這節(jié)課似乎不難上，而且前幾年“數(shù)學(xué)王子”——張齊華老師上過這節(jié)課，有很多地方可以學(xué)習(xí)和借鑒。可等到自己備課，細(xì)細(xì)地研究教材時(shí)，才發(fā)現(xiàn)這節(jié)課其實(shí)不好上，不但知識(shí)點(diǎn)多，而且概念學(xué)生也比較難理解。試上了幾次，都屢遭失敗。于是我重新研究和思考，怎樣才能讓學(xué)生真正理解倍數(shù)和因數(shù)的含義，并以此為前提，讓學(xué)生能夠自然地掌握求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)或因數(shù)的方法。

教材是通過讓學(xué)生用12個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，引出三種不同的拼法，并讓學(xué)生用乘法算式表示出這些拼法，然后結(jié)合其中的一道乘法算式，揭示倍數(shù)和因數(shù)的概念。一開始的試教，我正是按照這樣的思路展開教學(xué)的，教學(xué)過程也比較順利，接下來的模仿性練習(xí)，學(xué)生也能正確地說出誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)。在模仿性練習(xí)后，為了幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，我安排了幾道“變式”和“反例”的討論，當(dāng)出示“13÷3=4……1”這個(gè)算式時(shí)，問題出現(xiàn)了：學(xué)生竟然也會(huì)依樣畫葫蘆地說：“ 13是3的倍數(shù)，13也是4……1的倍數(shù)；3是13的因數(shù)，4……1也是13的因數(shù)。”可見，學(xué)生其實(shí)并沒有真正把握概念的實(shí)質(zhì)，只是從形式上學(xué)會(huì)了模仿著說說而已。

是什么原因?qū)е铝诉@種現(xiàn)象？我的第一感覺是可能學(xué)生沒有動(dòng)手操作，體驗(yàn)不深，才導(dǎo)致他們對(duì)于每排個(gè)數(shù)、排數(shù)和總數(shù)之間的關(guān)系不明確。所以再次試教時(shí)，我有意加入了讓學(xué)生擺拼操作的活動(dòng)，希望通過操作以及數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系。但是課堂還是沒有朝著我所設(shè)計(jì)的目標(biāo)走下去，揭示概念之后，學(xué)生還是把所有注意力集中到了乘法算式上，并沒有和之前的對(duì)擺拼活動(dòng)的感受聯(lián)系起來，關(guān)注的還是一些形式上的關(guān)系，在變式練習(xí)中仍然出現(xiàn)了上面類似的問題，并沒有注意到倍數(shù)和因數(shù)的本質(zhì)關(guān)系。

于是，我又重新反思：對(duì)于學(xué)生來說，倍數(shù)和因數(shù)之間究竟是怎樣一種關(guān)系？?jī)蓚€(gè)數(shù)之間要形成倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系，其前提條件和實(shí)質(zhì)又是什么？經(jīng)過這樣的思考，我猜測(cè)：學(xué)生只是知道了除法算式中可以找到倍數(shù)和因數(shù)，而不知道兩個(gè)數(shù)之間要形成倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是“整除”，即其中的一個(gè)數(shù)去除以另一個(gè)數(shù)，商要是整數(shù)而沒有余數(shù)。為了讓學(xué)生清晰地理解這一概念的本質(zhì)，我進(jìn)行了這樣的設(shè)計(jì)：先通過擺拼操作讓學(xué)生初步體驗(yàn)小正方形總個(gè)數(shù)與每排個(gè)數(shù)之間的“整除”關(guān)系，再通過對(duì)除法算式的觀察比較進(jìn)一步明確總個(gè)數(shù)和每排個(gè)數(shù)之間的“整除”關(guān)系，最后再結(jié)合具體的圖形和算式，揭示概念的定義。這樣，就能使學(xué)生較好地把握概念的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)形式上的表達(dá)。

同時(shí)，我也考慮，根據(jù)除法算式引出倍數(shù)和因數(shù)的概念是否恰當(dāng)？因?yàn)楦鶕?jù)除法算式引出倍數(shù)和約數(shù)才是比較順當(dāng)?shù)模稊?shù)和因數(shù)，的確從乘法算式引出更加合理。而因數(shù)也好，約數(shù)也好，當(dāng)它們和倍數(shù)組成一種相對(duì)關(guān)系時(shí)，其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是相同的。因此，我做了如下的嘗試。

一、創(chuàng)設(shè)情境

師：羊村里開會(huì)。12個(gè)同樣大的正方形，怎樣正好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？大家說說你們是怎樣排的。

生1：每排12個(gè)。（板貼：12÷1=12）

生2：每排4個(gè)。（板貼：12÷4=3）

生3：每排3個(gè)。（板貼：12÷3=4）

生4：每排2個(gè)。（板貼：12÷2=6）

生5：每排1個(gè)。（板貼：12÷1=12）

師：還有其他辦法嗎？懶羊羊提出，每排擺5個(gè)可以嗎？

生6：不可以，每排5個(gè)，余了2個(gè)。

師：每排可以擺7個(gè)呀？

生6：不行，多了5個(gè)。

師：懶羊羊就很奇怪了，為什么喜洋洋說的都對(duì)，他說的就不行呢？到底每排數(shù)到底要符合怎樣的條件，才可以正好拼出一個(gè)長(zhǎng)方形。

生7：每排拼出來后，沒有多出來的正方形。

師（揭題）：剛才像你們說的這些情況，在數(shù)學(xué)上可以用“倍數(shù)和因數(shù)”的關(guān)系來說。

二、認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)

1.初步認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)

師：12÷3=4中，12是4的倍數(shù)，4是12的因數(shù)。

師：你選擇的是哪一個(gè)算式，同桌之間相互說一說。在說倍數(shù)和因數(shù)時(shí)，所說的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。

師（課件展示“36÷3=12”）：根據(jù)這個(gè)除法算式能想出另一個(gè)除法算式嗎？

師（小結(jié)）：36是3的倍數(shù)，36也是12的倍數(shù)，3和12都是36的倍數(shù)。

師（課件展示“3×12=36”）：這個(gè)算式有倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系嗎？

師：像這樣，不管是除法算式還是乘法算式，我們都能發(fā)現(xiàn)各數(shù)之間的關(guān)系。原來每排個(gè)數(shù)和只要存在倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系就可以了。懶羊羊說12是倍數(shù)，可以嗎？

生：不行，他沒有說是誰的倍數(shù)。

師：對(duì)，一定要說清楚是誰的倍數(shù)。

2.探索求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法

師：懶羊羊說15是3的倍數(shù)。為什么？

師：21是3的倍數(shù)嗎？

師：都是3的倍數(shù)呀，3的倍數(shù)還有哪些，請(qǐng)寫在作業(yè)紙上。

師：你們像比賽一樣，一個(gè)比一個(gè)寫得多呀。你有什么好辦法寫了這么多？

師：兩位同學(xué)都找到了3的倍數(shù)，一個(gè)是用連續(xù)加3的方法，一個(gè)是用乘法，你覺得哪種方法比較簡(jiǎn)單？

師：寫數(shù)的時(shí)候，一般寫完前5個(gè)，就可以用省略號(hào)表示。

師（讓學(xué)生比較有順序地找2和5的倍數(shù)）：5要不要寫？

生8：5是5的倍數(shù)。

生9：我寫的是1的倍數(shù)。1，2，3，4，5……

師：所有的非零自然數(shù)都是1的倍數(shù)。

師：在寫倍數(shù)的時(shí)候，有什么發(fā)現(xiàn)？

生10：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有最小的，沒有最大的。

師（小結(jié)）：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是它本身，沒有最大，并且一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)。

3.探索求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法

師：一個(gè)數(shù)的因數(shù)是不是也有無數(shù)個(gè)？

（生獨(dú)立完成并交流36的因數(shù)）

生11：36除以5沒有。

生12：不是沒有，是有余數(shù)。

生13：他能有順序地說。

生14：通過一個(gè)算式可以得到一個(gè)數(shù)的兩個(gè)因數(shù)。

生15：36除以6等于6，6也是36的因數(shù)。

師：6寫幾個(gè)？重復(fù)的只寫1個(gè)。寫的時(shí)候可以一對(duì)一對(duì)地寫，也可以從兩頭開始寫。（師生從兩頭一起寫）找全了，用一個(gè)句號(hào)來表示。像這樣有序地寫一個(gè)數(shù)的因數(shù)，學(xué)會(huì)了嗎？一起來說一說8的因數(shù)和9的因數(shù)。

師：你們?cè)趯懸粋€(gè)數(shù)的因數(shù)的時(shí)候，有什么發(fā)現(xiàn)？也圍繞最大、最小、個(gè)數(shù)這三個(gè)特征來找一找。

師：學(xué)到這，你知道了些什么呢？

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三、新知運(yùn)用

1.24個(gè)同學(xué)表演團(tuán)體操，把隊(duì)伍的排列情況填寫完整。

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師：排數(shù)和每排人數(shù)以及24是什么關(guān)系？

2.根據(jù)自己的學(xué)號(hào)，正確快速地做出判斷。（拍照游戲）

（1）學(xué)號(hào)是7的倍數(shù)。

師：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)應(yīng)該是無限的，怎么人數(shù)是有限的呢？

生：因?yàn)榘嗉?jí)里的人數(shù)是有限的。

（2）學(xué)號(hào)是7的因數(shù)。

學(xué)號(hào)是35號(hào)的學(xué)生走上講臺(tái)后發(fā)現(xiàn)不對(duì)：35是7的倍數(shù)，而不是因數(shù)。

（3）學(xué)號(hào)是1的因數(shù)。

師：好孤單啊，只有一個(gè)人。

生：1的因數(shù)是1，只有1。1是所有非零自然數(shù)的因數(shù)。

（4）學(xué)號(hào)是1的倍數(shù)。

剩下的學(xué)生興奮地跑上講臺(tái)，集體拍照，活動(dòng)結(jié)束。

整節(jié)課，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的探索積極主動(dòng)，對(duì)知識(shí)的理解正確深刻，聽課老師給予評(píng)價(jià)：整節(jié)課簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單！

（責(zé)編 金 鈴）