由課堂生成疑惑，芻議人教版教材

張燕飛

小學數學人教版新教材，是以《義務教育數學課程標準（實驗稿）》（下稱《標準》）的基本理念和所規定的教學內容為依據，無論是編排結構，還是呈現形式，都是科學及新穎的。比如主題圖、情境引入與時俱進，為提升學生的數學素養提供了一個豐富多彩的數學大世界，有利于學生動手實踐、自主探索、合作交流、體驗成功，獲得積極主動而又生動活潑的發展。但在實際教學過程中，卻發現教材對一些數學問題都采取了回避處理的方式，使得教師在面對學生課堂上生成疑惑時，找不到明確的依據來答疑解惑，降低了數學課堂的學習效率，也讓一些求知欲望強烈的學生認為數學是模棱兩可的學科。下面就小學數學人教版教材第十冊中的一些真實案例談一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分數嗎？

“真分數的定義：分子比分母小的分數叫做真分數，真分數小于1?！边@是教材給出的定義。

當把問題改成“當a為何值時，■是真分數？”時，學生很自然地想到：在這里“a=0”是否可取？

當課堂上產生此疑問時，班上學生有兩種意見：

（1）“a=0”不可取，也就是說“不是真分數”。理由是“根據分數的意義：把一個物體或者多個物體看作一個整體，平均分成若干份，取其中的幾份，可以用分數來表示?！边@里“一個物體或者多個物體必須是存在的”，表示沒有，一個沒有的東西怎么能拿來平均分？所以學生很理所當然地認為“■不是分數”。既然■不是分數，那么它也就談不上是真分數了。理由很充分，這樣想的學生教師給予肯定：會用學過的知識進行推理，既然不是一個分數，就不必討論它是否是真分數。

（2）“a=0”可取。理由：分數與除法之間的關系“被除數÷除數=被除數/除數”，而我們只約定0不可做分母，并未約定0不可做分子，因此“■是分數”，又因為分子比分母小，所以“■是真分數”。從分數與除法之間的關系入手，證明了■是一個分數，又從真分數的定義出發，證明了■就是一個真分數，顯然也是一個充分的理由。

以上學生的這兩種理由都是合情合理的，但是數學對于是非的判斷只有一種答案。到底誰對誰錯？作為教材，面對這樣的問題，是否也應該在教材中給出明確的定義？如果教材能夠清楚地對“■”這樣的分數有明確的定義或者歸類，那么學生產生的這種想法就能夠很快地在課堂上得到釋疑，也就能增加他們對知識探索的興趣，增強他們學習數學的積極性。

課后，我查過一些資料，有些資料把“■”這樣的分子是0的分數定義為“零分數”?！傲惴謹怠钡母拍睿悍肿訛?（分母不為0）的分數即為零分數。

意義：零作分母時無意義，零作分子時有意義，但所得的結果永遠是零。

例如，■把某數分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）當m=0時，■=■=0。即：當分子是0時，分數值等于0。

例如，■=0。

（2）當n=1時，■=■=m。即：當分母是1時，分數值就是分子。根據補充定義，任何整數m都可以用■來表示，從這個意義上講，整數是特殊的分數，整數集是分數的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

從分數的意義中可以看出“零分數”和“分數形式的整數”都是分數的一種特殊形式。

尤其是“零分數”，在數學理論中，是把它作為一個數學概念出現的，即：分子是零的分數叫做零分數。

“零分數”的實際意義是整數“0”的分數表現形式。它的本質是整數。尤其是“0”在數學運算中有著它特殊的性質，在很多數學概念中對“0”都要做明確的限定。

在分數與倒數的矛盾點上應該對“零分數”做同樣的限定，在這里邊應該有兩處有明確的限定：

（1）根據倒數的定義可知，求一個數的倒數（0除外——因為0不能做除數，所以0沒有倒數），就是1除以這個數所得的數。

（2）為了簡便，求一個分數（零分數除外）的倒數，調換一下這個分數的分子與分母的位置就可以。

以上其實是對“■是否是真分數”的一個很好的詮釋。

如果教材能對“零分數”也有這樣明確的定義，那么學生的課堂生成的疑惑就不用等著教師課后查閱大量資料再去處理。

【疑惑二】帶分數是假分數嗎？

首先，教材給出帶分數的定義是非常簡單的，“像1■，1■……這樣的分數叫帶分數?！苯酉氯サ膬热菥褪前鸭俜謹祷烧麛祷蛘邘Х謹?，并沒有強調帶分數與假分數的關系。學生在對分數進行分類時，如果只將分數分成真分數和假分數，很多學生就會質疑是否將帶分數歸為假分數這一類。因為很少學生會從帶分數其實是假分數的另外一種書寫形式出發考慮。因此他們將分數歸為真分數、假分數、帶分數這三類，其實是忽略了帶分數和假分數之間的密切關系。所以教師在教學時應該補充帶分數與假分數的關系：它們猶如長方體和正方體之間的聯系，正方體是特殊的長方體，帶分數是假分數的另外一種形式，它隸屬于假分數，也就是說帶分數是特殊的假分數。但如果說帶分數是特殊的假分數，那么整數也可以化成假分數，是否可以說整數也是特殊的假分數，而對于這些問題，教材似乎又回避了。在面對一些求知欲強烈的學生，個人覺得教材應該給個嚴謹的定義，以便滿足學生好學的心理，更加讓學生建立數學是門嚴謹的學科的觀念，而不是有漏洞的，不夠完整的。

【疑惑三】“20以內2的倍數”包括20嗎？

20以內，到底是否包括20？碰到過許多類似的問題，例如《統計》里問“喜歡兩類書本以上的人占總人數的幾分之幾？”每當遇到這些問題，學生總會質疑到底臨界點算不算。也碰到過一些題表述比較嚴謹，兩類以上會加上括號說明是含兩類的，這樣學生就能比較明確題意。但是碰到那些不加括號說明的題，學生很自然地就會思考：“20以內是否包括20？”學生會思考：“沒有加括號是否說明20以內不包括20？”而翻閱教材，無論是新授課還是練習中，都沒有特別說明，于是學生的腦海里一片混亂。

查閱了一些資料，有認為：教材里，10以內數的認識包括10，萬以內數的認識也包括10000，現行教材1～10各數的認識時也包含10。這就明確了，其實我們在說10以內的數時，已經約定俗成包含了10。而大學《數論》中也有這方面的介紹，10以內包括10，屬于概念的內涵和外延的范疇。另外，在其他領域，刑法上稱以上、以下、以內也都是包括本數，但需要補充的是所稱的“不滿”、“以外”，又不包括本數。

至此，不得不感嘆中華文字的博大精深，但是在嚴謹的數學面前，我覺得教材應該在第一次涉及“以內”這一內容時有統一的規定，在學生第一次碰到時就印象深刻，也就不會在后續學習中出現混亂。

數學問題是人們在生活實踐中發現和產生的。不可否認人教版新教材的確在很多地方都值得贊頌，但是它確實也存在著一些避重就輕的問題。數學知識有時確實不需要教材說得很詳細，但是對于那些會引起學生疑惑的問題，教材有必要通過各種呈現方式給出一個正確的定義，這樣才能有利于教師把握方向，更能體現教材的地位與作用。

（責編 金 鈴）endprint

小學數學人教版新教材，是以《義務教育數學課程標準（實驗稿）》（下稱《標準》）的基本理念和所規定的教學內容為依據，無論是編排結構，還是呈現形式，都是科學及新穎的。比如主題圖、情境引入與時俱進，為提升學生的數學素養提供了一個豐富多彩的數學大世界，有利于學生動手實踐、自主探索、合作交流、體驗成功，獲得積極主動而又生動活潑的發展。但在實際教學過程中，卻發現教材對一些數學問題都采取了回避處理的方式，使得教師在面對學生課堂上生成疑惑時，找不到明確的依據來答疑解惑，降低了數學課堂的學習效率，也讓一些求知欲望強烈的學生認為數學是模棱兩可的學科。下面就小學數學人教版教材第十冊中的一些真實案例談一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分數嗎？

“真分數的定義：分子比分母小的分數叫做真分數，真分數小于1?！边@是教材給出的定義。

當把問題改成“當a為何值時，■是真分數？”時，學生很自然地想到：在這里“a=0”是否可??？

當課堂上產生此疑問時，班上學生有兩種意見：

（1）“a=0”不可取，也就是說“不是真分數”。理由是“根據分數的意義：把一個物體或者多個物體看作一個整體，平均分成若干份，取其中的幾份，可以用分數來表示。”這里“一個物體或者多個物體必須是存在的”，表示沒有，一個沒有的東西怎么能拿來平均分？所以學生很理所當然地認為“■不是分數”。既然■不是分數，那么它也就談不上是真分數了。理由很充分，這樣想的學生教師給予肯定：會用學過的知識進行推理，既然不是一個分數，就不必討論它是否是真分數。

（2）“a=0”可取。理由：分數與除法之間的關系“被除數÷除數=被除數/除數”，而我們只約定0不可做分母，并未約定0不可做分子，因此“■是分數”，又因為分子比分母小，所以“■是真分數”。從分數與除法之間的關系入手，證明了■是一個分數，又從真分數的定義出發，證明了■就是一個真分數，顯然也是一個充分的理由。

以上學生的這兩種理由都是合情合理的，但是數學對于是非的判斷只有一種答案。到底誰對誰錯？作為教材，面對這樣的問題，是否也應該在教材中給出明確的定義？如果教材能夠清楚地對“■”這樣的分數有明確的定義或者歸類，那么學生產生的這種想法就能夠很快地在課堂上得到釋疑，也就能增加他們對知識探索的興趣，增強他們學習數學的積極性。

課后，我查過一些資料，有些資料把“■”這樣的分子是0的分數定義為“零分數”。“零分數”的概念：分子為0（分母不為0）的分數即為零分數。

意義：零作分母時無意義，零作分子時有意義，但所得的結果永遠是零。

例如，■把某數分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）當m=0時，■=■=0。即：當分子是0時，分數值等于0。

例如，■=0。

（2）當n=1時，■=■=m。即：當分母是1時，分數值就是分子。根據補充定義，任何整數m都可以用■來表示，從這個意義上講，整數是特殊的分數，整數集是分數的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

從分數的意義中可以看出“零分數”和“分數形式的整數”都是分數的一種特殊形式。

尤其是“零分數”，在數學理論中，是把它作為一個數學概念出現的，即：分子是零的分數叫做零分數。

“零分數”的實際意義是整數“0”的分數表現形式。它的本質是整數。尤其是“0”在數學運算中有著它特殊的性質，在很多數學概念中對“0”都要做明確的限定。

在分數與倒數的矛盾點上應該對“零分數”做同樣的限定，在這里邊應該有兩處有明確的限定：

（1）根據倒數的定義可知，求一個數的倒數（0除外——因為0不能做除數，所以0沒有倒數），就是1除以這個數所得的數。

（2）為了簡便，求一個分數（零分數除外）的倒數，調換一下這個分數的分子與分母的位置就可以。

以上其實是對“■是否是真分數”的一個很好的詮釋。

如果教材能對“零分數”也有這樣明確的定義，那么學生的課堂生成的疑惑就不用等著教師課后查閱大量資料再去處理。

【疑惑二】帶分數是假分數嗎？

首先，教材給出帶分數的定義是非常簡單的，“像1■，1■……這樣的分數叫帶分數。”接下去的內容就是把假分數化成整數或者帶分數，并沒有強調帶分數與假分數的關系。學生在對分數進行分類時，如果只將分數分成真分數和假分數，很多學生就會質疑是否將帶分數歸為假分數這一類。因為很少學生會從帶分數其實是假分數的另外一種書寫形式出發考慮。因此他們將分數歸為真分數、假分數、帶分數這三類，其實是忽略了帶分數和假分數之間的密切關系。所以教師在教學時應該補充帶分數與假分數的關系：它們猶如長方體和正方體之間的聯系，正方體是特殊的長方體，帶分數是假分數的另外一種形式，它隸屬于假分數，也就是說帶分數是特殊的假分數。但如果說帶分數是特殊的假分數，那么整數也可以化成假分數，是否可以說整數也是特殊的假分數，而對于這些問題，教材似乎又回避了。在面對一些求知欲強烈的學生，個人覺得教材應該給個嚴謹的定義，以便滿足學生好學的心理，更加讓學生建立數學是門嚴謹的學科的觀念，而不是有漏洞的，不夠完整的。

【疑惑三】“20以內2的倍數”包括20嗎？

20以內，到底是否包括20？碰到過許多類似的問題，例如《統計》里問“喜歡兩類書本以上的人占總人數的幾分之幾？”每當遇到這些問題，學生總會質疑到底臨界點算不算。也碰到過一些題表述比較嚴謹，兩類以上會加上括號說明是含兩類的，這樣學生就能比較明確題意。但是碰到那些不加括號說明的題，學生很自然地就會思考：“20以內是否包括20？”學生會思考：“沒有加括號是否說明20以內不包括20？”而翻閱教材，無論是新授課還是練習中，都沒有特別說明，于是學生的腦海里一片混亂。

查閱了一些資料，有認為：教材里，10以內數的認識包括10，萬以內數的認識也包括10000，現行教材1～10各數的認識時也包含10。這就明確了，其實我們在說10以內的數時，已經約定俗成包含了10。而大學《數論》中也有這方面的介紹，10以內包括10，屬于概念的內涵和外延的范疇。另外，在其他領域，刑法上稱以上、以下、以內也都是包括本數，但需要補充的是所稱的“不滿”、“以外”，又不包括本數。

至此，不得不感嘆中華文字的博大精深，但是在嚴謹的數學面前，我覺得教材應該在第一次涉及“以內”這一內容時有統一的規定，在學生第一次碰到時就印象深刻，也就不會在后續學習中出現混亂。

數學問題是人們在生活實踐中發現和產生的。不可否認人教版新教材的確在很多地方都值得贊頌，但是它確實也存在著一些避重就輕的問題。數學知識有時確實不需要教材說得很詳細，但是對于那些會引起學生疑惑的問題，教材有必要通過各種呈現方式給出一個正確的定義，這樣才能有利于教師把握方向，更能體現教材的地位與作用。

（責編 金 鈴）endprint

小學數學人教版新教材，是以《義務教育數學課程標準（實驗稿）》（下稱《標準》）的基本理念和所規定的教學內容為依據，無論是編排結構，還是呈現形式，都是科學及新穎的。比如主題圖、情境引入與時俱進，為提升學生的數學素養提供了一個豐富多彩的數學大世界，有利于學生動手實踐、自主探索、合作交流、體驗成功，獲得積極主動而又生動活潑的發展。但在實際教學過程中，卻發現教材對一些數學問題都采取了回避處理的方式，使得教師在面對學生課堂上生成疑惑時，找不到明確的依據來答疑解惑，降低了數學課堂的學習效率，也讓一些求知欲望強烈的學生認為數學是模棱兩可的學科。下面就小學數學人教版教材第十冊中的一些真實案例談一些自己的看法。

【疑惑一】■是真分數嗎？

“真分數的定義：分子比分母小的分數叫做真分數，真分數小于1?！边@是教材給出的定義。

當把問題改成“當a為何值時，■是真分數？”時，學生很自然地想到：在這里“a=0”是否可??？

當課堂上產生此疑問時，班上學生有兩種意見：

（1）“a=0”不可取，也就是說“不是真分數”。理由是“根據分數的意義：把一個物體或者多個物體看作一個整體，平均分成若干份，取其中的幾份，可以用分數來表示。”這里“一個物體或者多個物體必須是存在的”，表示沒有，一個沒有的東西怎么能拿來平均分？所以學生很理所當然地認為“■不是分數”。既然■不是分數，那么它也就談不上是真分數了。理由很充分，這樣想的學生教師給予肯定：會用學過的知識進行推理，既然不是一個分數，就不必討論它是否是真分數。

（2）“a=0”可取。理由：分數與除法之間的關系“被除數÷除數=被除數/除數”，而我們只約定0不可做分母，并未約定0不可做分子，因此“■是分數”，又因為分子比分母小，所以“■是真分數”。從分數與除法之間的關系入手，證明了■是一個分數，又從真分數的定義出發，證明了■就是一個真分數，顯然也是一個充分的理由。

以上學生的這兩種理由都是合情合理的，但是數學對于是非的判斷只有一種答案。到底誰對誰錯？作為教材，面對這樣的問題，是否也應該在教材中給出明確的定義？如果教材能夠清楚地對“■”這樣的分數有明確的定義或者歸類，那么學生產生的這種想法就能夠很快地在課堂上得到釋疑，也就能增加他們對知識探索的興趣，增強他們學習數學的積極性。

課后，我查過一些資料，有些資料把“■”這樣的分子是0的分數定義為“零分數”。“零分數”的概念：分子為0（分母不為0）的分數即為零分數。

意義：零作分母時無意義，零作分子時有意義，但所得的結果永遠是零。

例如，■把某數分成5分，取其中0份，等于0，即■=0。

（1）當m=0時，■=■=0。即：當分子是0時，分數值等于0。

例如，■=0。

（2）當n=1時，■=■=m。即：當分母是1時，分數值就是分子。根據補充定義，任何整數m都可以用■來表示，從這個意義上講，整數是特殊的分數，整數集是分數的真子集。

例如，5=■；0÷1=■。

從分數的意義中可以看出“零分數”和“分數形式的整數”都是分數的一種特殊形式。

尤其是“零分數”，在數學理論中，是把它作為一個數學概念出現的，即：分子是零的分數叫做零分數。

“零分數”的實際意義是整數“0”的分數表現形式。它的本質是整數。尤其是“0”在數學運算中有著它特殊的性質，在很多數學概念中對“0”都要做明確的限定。

在分數與倒數的矛盾點上應該對“零分數”做同樣的限定，在這里邊應該有兩處有明確的限定：

（1）根據倒數的定義可知，求一個數的倒數（0除外——因為0不能做除數，所以0沒有倒數），就是1除以這個數所得的數。

（2）為了簡便，求一個分數（零分數除外）的倒數，調換一下這個分數的分子與分母的位置就可以。

以上其實是對“■是否是真分數”的一個很好的詮釋。

如果教材能對“零分數”也有這樣明確的定義，那么學生的課堂生成的疑惑就不用等著教師課后查閱大量資料再去處理。

【疑惑二】帶分數是假分數嗎？

首先，教材給出帶分數的定義是非常簡單的，“像1■，1■……這樣的分數叫帶分數。”接下去的內容就是把假分數化成整數或者帶分數，并沒有強調帶分數與假分數的關系。學生在對分數進行分類時，如果只將分數分成真分數和假分數，很多學生就會質疑是否將帶分數歸為假分數這一類。因為很少學生會從帶分數其實是假分數的另外一種書寫形式出發考慮。因此他們將分數歸為真分數、假分數、帶分數這三類，其實是忽略了帶分數和假分數之間的密切關系。所以教師在教學時應該補充帶分數與假分數的關系：它們猶如長方體和正方體之間的聯系，正方體是特殊的長方體，帶分數是假分數的另外一種形式，它隸屬于假分數，也就是說帶分數是特殊的假分數。但如果說帶分數是特殊的假分數，那么整數也可以化成假分數，是否可以說整數也是特殊的假分數，而對于這些問題，教材似乎又回避了。在面對一些求知欲強烈的學生，個人覺得教材應該給個嚴謹的定義，以便滿足學生好學的心理，更加讓學生建立數學是門嚴謹的學科的觀念，而不是有漏洞的，不夠完整的。

【疑惑三】“20以內2的倍數”包括20嗎？

20以內，到底是否包括20？碰到過許多類似的問題，例如《統計》里問“喜歡兩類書本以上的人占總人數的幾分之幾？”每當遇到這些問題，學生總會質疑到底臨界點算不算。也碰到過一些題表述比較嚴謹，兩類以上會加上括號說明是含兩類的，這樣學生就能比較明確題意。但是碰到那些不加括號說明的題，學生很自然地就會思考：“20以內是否包括20？”學生會思考：“沒有加括號是否說明20以內不包括20？”而翻閱教材，無論是新授課還是練習中，都沒有特別說明，于是學生的腦海里一片混亂。

查閱了一些資料，有認為：教材里，10以內數的認識包括10，萬以內數的認識也包括10000，現行教材1～10各數的認識時也包含10。這就明確了，其實我們在說10以內的數時，已經約定俗成包含了10。而大學《數論》中也有這方面的介紹，10以內包括10，屬于概念的內涵和外延的范疇。另外，在其他領域，刑法上稱以上、以下、以內也都是包括本數，但需要補充的是所稱的“不滿”、“以外”，又不包括本數。

至此，不得不感嘆中華文字的博大精深，但是在嚴謹的數學面前，我覺得教材應該在第一次涉及“以內”這一內容時有統一的規定，在學生第一次碰到時就印象深刻，也就不會在后續學習中出現混亂。

數學問題是人們在生活實踐中發現和產生的。不可否認人教版新教材的確在很多地方都值得贊頌，但是它確實也存在著一些避重就輕的問題。數學知識有時確實不需要教材說得很詳細，但是對于那些會引起學生疑惑的問題，教材有必要通過各種呈現方式給出一個正確的定義，這樣才能有利于教師把握方向，更能體現教材的地位與作用。

（責編 金 鈴）endprint