夯實思維過程 提升解題能力

張凌云

波利亞有句名言：“掌握數學就意味著善于解題。”培養小學生解決問題的能力，發展數學思維，是課程標準的重要目標。但是，“審題不仔細”、“分析不深入”、“策略不優化”等問題，在小學生中仍有一定的普遍性。如何轉變這些不良傾向，提升小學生解題能力，筆者進行了初步的探索與嘗試。

一、直觀表征，正確把握題意

表征是影響問題解決的一個重要因素，正確表征往往有助于問題的解決；反之，問題表征不精確或不完全，就會造成問題解決的困難。

1.畫圖明意，圖表直觀

有些數學問題信息較多，數量關系比較復雜，給學生正確把握題意增添了困難。對于這類問題，教師可以引導學生利用圖表直觀表征，將抽象復雜的關系變為簡明直觀的視覺形象。

例1：小貓、小狗和小熊去釣魚，小貓比小狗多釣6條，小貓釣的魚是小熊的，小熊比小狗多釣22條。它們各釣了多少條魚？

通過線段圖，我們可以清楚地看出，小貓比小狗多釣6條，小熊比小狗多釣22條，因此可知，小熊比小貓多釣22-6=16（條）。又根據小貓釣的魚是小熊的，所以得到小熊釣的魚是16÷（1-）=32（條），小狗釣的魚是32-22=10（條），小貓釣的魚是10+6=16（條）。

2.動態演示，情境再現

小學生的思維正處于直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，一些抽象的概念會影響他們對題意的理解。如果能通過做一做、演一演，再現題目中的情境，對學生正確理解題意會有很大的幫助。

例2：甲、乙兩人從相距66千米兩地同時出發，相向而行。甲每小時行12千米，乙每小時行10千米。幾小時后他們相距11千米？

“他們相距11千米”可分兩種情況，一種是在相遇前兩人還相距11千米；另一種是兩人相遇后繼續前行相距11千米。教師可以讓學生用左右手模擬兩人的運動過程，理解“他們相距11千米”兩種情形的正確意義。

3.推敲語言，感悟內涵

數學語言具有高度的抽象性和概括性，教師要引導學生在審題時推敲關鍵字詞，對生活用語和數學語言進行聯系溝通，更好地感悟數學語言的內涵。

例3：某服裝店賣出了兩件衣服，每件100元，第一件賺了20%，第二件虧了20%。服裝店是賺了還是虧了？

有的學生簡單地把“賺了20%”、“虧了20%”相抵消，認為結果是不賺也不虧。實際上，“賺了20%”、“虧了20%”是與各自的成本相比較而言的，對應的標準并不相同。因此，只有當學生正確理解了這兩個20%的內涵，才能把問題轉化為有關百分數應用題來解答。

二、積極聯想，突破思維障礙

所有數學問題都由給定條件和要求的問題構成，但條件和問題之間存在著障礙。為此，教師要鼓勵學生積極展開聯想，通過一定的方式深入分析，突破思維障礙，逐步接近要求的問題。

1.觀察特征，引發猜想

在心理學中，觀察被看做是一種主動的、對思維起積極作用的感知活動。觀察數學問題的特征是深入分析的前提，在觀察的同時，還常常伴有推理和猜測。

例4：已知AB=50厘米，求圖中各圓的周長總和。

求圖中各圓的周長總和，可以先算出各個圓的周長再相加求和，但各圓的直徑未知，不能算。經過觀察發現，AB的長度正好是各圓直徑之和，因此引發了猜想：各圓的周長總和是不是就等于直徑50厘米的大圓周長？經過進一步分析推理，證明猜想正確，問題就迎刃而解了。

2.類比模擬，萌生構想

類比模擬是分析階段的一個重要手段，它通過聯想有關知識，從類似事物中得到啟發，溝通知識、方法與問題間的聯系，把陌生問題構造成熟悉的問題加以解決。

例5：張老師帶的錢可以買15本語文書或24本數學書。張老師買了10本語文書后，剩下的錢全部買數學書，還可以買幾本數學書？

這道題初看與我們所學的知識掛不上鉤，但仔細一想，如果把總錢數理解為總工作量，把帶的錢可買15本語文書或24本數學書理解成甲、乙兩人單獨完成總工作量各需15天、24天，那么就把這道題類比成工程問題了，可以用解工程問題的方法解決。

3.嘗試抉擇，大膽暢想

通過對數學問題進行觀察、聯想，我們已經從整體上把握住問題，形成初步的解題意向。嘗試就是將初步意向付諸實施，試探是否可行，選擇最容易接近目標的方向入手等等。

例6：已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長為10厘米，那么圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？

嘗試一：根據面積公式算出各圖形的面積，條件不充分，嘗試失敗。

嘗試二：通過“剪、拼、移”的方法計算陰影部分面積的大小，不僅困難而且繁瑣，嘗試再次失敗 。

嘗試三：連接FC，則四邊形BCFD為梯形。觀察發現，陰影部分處在兩平行線之間，根據平行線間高處處相等，可把陰影部分轉化為其他圖形，尋求巧解。

……

三、運用策略，靈活化歸解答

在大多數情況下，數學題并不是標準的模式化問題，而是需要創造性思維才能解決的，這就注定在數學解題活動中必然有策略問題。

1.溝通轉化，變難為易

波利亞認為解題就是把問題轉化為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問題。在解決非模式化問題時，可以引導學生運用轉化的策略，將題中的條件或問題，轉化成與其等價的另一種表達形式，從而豐富解題方法，提高解題能力。

例7：甲和乙從相距1200米的兩地相向而行，甲每分鐘走55米，乙每分鐘走65米。甲出發時帶一只狗，狗以每分鐘240米的速度向乙跑去，遇到乙后立即返回向甲跑，遇到甲后又立即返回向乙跑……甲乙相遇時，狗一共跑了多少米？

這道題所敘述的情況相當復雜，因為不能求出狗先向乙跑了幾米，再向甲跑了幾米，又向乙跑了幾米……經過分析發現，狗是與甲一同出發，甲乙相遇時它也停下來，這樣狗跑的時間就是甲乙相遇的時間。運用轉化的策略將原題變換成兩個小問題“甲乙兩人經過幾分鐘相遇？在這段時間里，狗一共跑了幾米？”就能輕而易舉地求出狗跑的路程。

2.數形結合，優勢互補

“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”運用數形結合，能將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種語言的優勢互補。

例8：計算++++=

這道題可以采用通分再加的方法，也可以利用拆分法，把拆成1-，把拆分成-，以此類推，然后正負相互抵消，得到答案。如果利用數形結合的策略，將題目賦以幾何意義（如下圖所示），那么此題就變得非常簡單：用單位“1”減去空白部分1-，就得到結果。

3.正難則反，殊途同歸

從正面入手有困難，就從反面入手，直接解決不容易，就考慮間接解決。“正難則反”策略巧妙地運用逆反轉換來解決問題，常常使人茅塞頓開，突破思維定式，實現殊途同歸。

例9：有一籃李子，甲拿了一半多1個，乙拿了剩下的一半多1個，丙拿了剩下的一半多3個，李子正好分完，請問這籃李子原來有幾個？

此題從正面入手不太簡便，采用倒推法，口算就能得出結果。因為丙拿了剩下的一半多3個，李子正好分完，則丙拿之前有3×2=6（個）。往上推，乙拿了剩下的一半多1個，還剩下6個，則乙拿之前有（6+1）×2=14（個）。同樣，甲拿之前有（14+1）×2=30（個）。

解題的過程是思維的過程，解題的價值也不在答案本身。通過解決問題，讓學生學會在錯綜復雜的情境中做出有條理的分析與預測，進行創造性的思考，發展數學思維，才是我們最終的目標。

（責編 羅 艷）endprint

波利亞有句名言：“掌握數學就意味著善于解題。”培養小學生解決問題的能力，發展數學思維，是課程標準的重要目標。但是，“審題不仔細”、“分析不深入”、“策略不優化”等問題，在小學生中仍有一定的普遍性。如何轉變這些不良傾向，提升小學生解題能力，筆者進行了初步的探索與嘗試。

一、直觀表征，正確把握題意

表征是影響問題解決的一個重要因素，正確表征往往有助于問題的解決；反之，問題表征不精確或不完全，就會造成問題解決的困難。

1.畫圖明意，圖表直觀

有些數學問題信息較多，數量關系比較復雜，給學生正確把握題意增添了困難。對于這類問題，教師可以引導學生利用圖表直觀表征，將抽象復雜的關系變為簡明直觀的視覺形象。

例1：小貓、小狗和小熊去釣魚，小貓比小狗多釣6條，小貓釣的魚是小熊的，小熊比小狗多釣22條。它們各釣了多少條魚？

通過線段圖，我們可以清楚地看出，小貓比小狗多釣6條，小熊比小狗多釣22條，因此可知，小熊比小貓多釣22-6=16（條）。又根據小貓釣的魚是小熊的，所以得到小熊釣的魚是16÷（1-）=32（條），小狗釣的魚是32-22=10（條），小貓釣的魚是10+6=16（條）。

2.動態演示，情境再現

小學生的思維正處于直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，一些抽象的概念會影響他們對題意的理解。如果能通過做一做、演一演，再現題目中的情境，對學生正確理解題意會有很大的幫助。

例2：甲、乙兩人從相距66千米兩地同時出發，相向而行。甲每小時行12千米，乙每小時行10千米。幾小時后他們相距11千米？

“他們相距11千米”可分兩種情況，一種是在相遇前兩人還相距11千米；另一種是兩人相遇后繼續前行相距11千米。教師可以讓學生用左右手模擬兩人的運動過程，理解“他們相距11千米”兩種情形的正確意義。

3.推敲語言，感悟內涵

數學語言具有高度的抽象性和概括性，教師要引導學生在審題時推敲關鍵字詞，對生活用語和數學語言進行聯系溝通，更好地感悟數學語言的內涵。

例3：某服裝店賣出了兩件衣服，每件100元，第一件賺了20%，第二件虧了20%。服裝店是賺了還是虧了？

有的學生簡單地把“賺了20%”、“虧了20%”相抵消，認為結果是不賺也不虧。實際上，“賺了20%”、“虧了20%”是與各自的成本相比較而言的，對應的標準并不相同。因此，只有當學生正確理解了這兩個20%的內涵，才能把問題轉化為有關百分數應用題來解答。

二、積極聯想，突破思維障礙

所有數學問題都由給定條件和要求的問題構成，但條件和問題之間存在著障礙。為此，教師要鼓勵學生積極展開聯想，通過一定的方式深入分析，突破思維障礙，逐步接近要求的問題。

1.觀察特征，引發猜想

在心理學中，觀察被看做是一種主動的、對思維起積極作用的感知活動。觀察數學問題的特征是深入分析的前提，在觀察的同時，還常常伴有推理和猜測。

例4：已知AB=50厘米，求圖中各圓的周長總和。

求圖中各圓的周長總和，可以先算出各個圓的周長再相加求和，但各圓的直徑未知，不能算。經過觀察發現，AB的長度正好是各圓直徑之和，因此引發了猜想：各圓的周長總和是不是就等于直徑50厘米的大圓周長？經過進一步分析推理，證明猜想正確，問題就迎刃而解了。

2.類比模擬，萌生構想

類比模擬是分析階段的一個重要手段，它通過聯想有關知識，從類似事物中得到啟發，溝通知識、方法與問題間的聯系，把陌生問題構造成熟悉的問題加以解決。

例5：張老師帶的錢可以買15本語文書或24本數學書。張老師買了10本語文書后，剩下的錢全部買數學書，還可以買幾本數學書？

這道題初看與我們所學的知識掛不上鉤，但仔細一想，如果把總錢數理解為總工作量，把帶的錢可買15本語文書或24本數學書理解成甲、乙兩人單獨完成總工作量各需15天、24天，那么就把這道題類比成工程問題了，可以用解工程問題的方法解決。

3.嘗試抉擇，大膽暢想

通過對數學問題進行觀察、聯想，我們已經從整體上把握住問題，形成初步的解題意向。嘗試就是將初步意向付諸實施，試探是否可行，選擇最容易接近目標的方向入手等等。

例6：已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長為10厘米，那么圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？

嘗試一：根據面積公式算出各圖形的面積，條件不充分，嘗試失敗。

嘗試二：通過“剪、拼、移”的方法計算陰影部分面積的大小，不僅困難而且繁瑣，嘗試再次失敗 。

嘗試三：連接FC，則四邊形BCFD為梯形。觀察發現，陰影部分處在兩平行線之間，根據平行線間高處處相等，可把陰影部分轉化為其他圖形，尋求巧解。

……

三、運用策略，靈活化歸解答

在大多數情況下，數學題并不是標準的模式化問題，而是需要創造性思維才能解決的，這就注定在數學解題活動中必然有策略問題。

1.溝通轉化，變難為易

波利亞認為解題就是把問題轉化為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問題。在解決非模式化問題時，可以引導學生運用轉化的策略，將題中的條件或問題，轉化成與其等價的另一種表達形式，從而豐富解題方法，提高解題能力。

例7：甲和乙從相距1200米的兩地相向而行，甲每分鐘走55米，乙每分鐘走65米。甲出發時帶一只狗，狗以每分鐘240米的速度向乙跑去，遇到乙后立即返回向甲跑，遇到甲后又立即返回向乙跑……甲乙相遇時，狗一共跑了多少米？

這道題所敘述的情況相當復雜，因為不能求出狗先向乙跑了幾米，再向甲跑了幾米，又向乙跑了幾米……經過分析發現，狗是與甲一同出發，甲乙相遇時它也停下來，這樣狗跑的時間就是甲乙相遇的時間。運用轉化的策略將原題變換成兩個小問題“甲乙兩人經過幾分鐘相遇？在這段時間里，狗一共跑了幾米？”就能輕而易舉地求出狗跑的路程。

2.數形結合，優勢互補

“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”運用數形結合，能將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種語言的優勢互補。

例8：計算++++=

這道題可以采用通分再加的方法，也可以利用拆分法，把拆成1-，把拆分成-，以此類推，然后正負相互抵消，得到答案。如果利用數形結合的策略，將題目賦以幾何意義（如下圖所示），那么此題就變得非常簡單：用單位“1”減去空白部分1-，就得到結果。

3.正難則反，殊途同歸

從正面入手有困難，就從反面入手，直接解決不容易，就考慮間接解決。“正難則反”策略巧妙地運用逆反轉換來解決問題，常常使人茅塞頓開，突破思維定式，實現殊途同歸。

例9：有一籃李子，甲拿了一半多1個，乙拿了剩下的一半多1個，丙拿了剩下的一半多3個，李子正好分完，請問這籃李子原來有幾個？

此題從正面入手不太簡便，采用倒推法，口算就能得出結果。因為丙拿了剩下的一半多3個，李子正好分完，則丙拿之前有3×2=6（個）。往上推，乙拿了剩下的一半多1個，還剩下6個，則乙拿之前有（6+1）×2=14（個）。同樣，甲拿之前有（14+1）×2=30（個）。

解題的過程是思維的過程，解題的價值也不在答案本身。通過解決問題，讓學生學會在錯綜復雜的情境中做出有條理的分析與預測，進行創造性的思考，發展數學思維，才是我們最終的目標。

（責編 羅 艷）endprint

波利亞有句名言：“掌握數學就意味著善于解題。”培養小學生解決問題的能力，發展數學思維，是課程標準的重要目標。但是，“審題不仔細”、“分析不深入”、“策略不優化”等問題，在小學生中仍有一定的普遍性。如何轉變這些不良傾向，提升小學生解題能力，筆者進行了初步的探索與嘗試。

一、直觀表征，正確把握題意

表征是影響問題解決的一個重要因素，正確表征往往有助于問題的解決；反之，問題表征不精確或不完全，就會造成問題解決的困難。

1.畫圖明意，圖表直觀

有些數學問題信息較多，數量關系比較復雜，給學生正確把握題意增添了困難。對于這類問題，教師可以引導學生利用圖表直觀表征，將抽象復雜的關系變為簡明直觀的視覺形象。

例1：小貓、小狗和小熊去釣魚，小貓比小狗多釣6條，小貓釣的魚是小熊的，小熊比小狗多釣22條。它們各釣了多少條魚？

通過線段圖，我們可以清楚地看出，小貓比小狗多釣6條，小熊比小狗多釣22條，因此可知，小熊比小貓多釣22-6=16（條）。又根據小貓釣的魚是小熊的，所以得到小熊釣的魚是16÷（1-）=32（條），小狗釣的魚是32-22=10（條），小貓釣的魚是10+6=16（條）。

2.動態演示，情境再現

小學生的思維正處于直觀形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，一些抽象的概念會影響他們對題意的理解。如果能通過做一做、演一演，再現題目中的情境，對學生正確理解題意會有很大的幫助。

例2：甲、乙兩人從相距66千米兩地同時出發，相向而行。甲每小時行12千米，乙每小時行10千米。幾小時后他們相距11千米？

“他們相距11千米”可分兩種情況，一種是在相遇前兩人還相距11千米；另一種是兩人相遇后繼續前行相距11千米。教師可以讓學生用左右手模擬兩人的運動過程，理解“他們相距11千米”兩種情形的正確意義。

3.推敲語言，感悟內涵

數學語言具有高度的抽象性和概括性，教師要引導學生在審題時推敲關鍵字詞，對生活用語和數學語言進行聯系溝通，更好地感悟數學語言的內涵。

例3：某服裝店賣出了兩件衣服，每件100元，第一件賺了20%，第二件虧了20%。服裝店是賺了還是虧了？

有的學生簡單地把“賺了20%”、“虧了20%”相抵消，認為結果是不賺也不虧。實際上，“賺了20%”、“虧了20%”是與各自的成本相比較而言的，對應的標準并不相同。因此，只有當學生正確理解了這兩個20%的內涵，才能把問題轉化為有關百分數應用題來解答。

二、積極聯想，突破思維障礙

所有數學問題都由給定條件和要求的問題構成，但條件和問題之間存在著障礙。為此，教師要鼓勵學生積極展開聯想，通過一定的方式深入分析，突破思維障礙，逐步接近要求的問題。

1.觀察特征，引發猜想

在心理學中，觀察被看做是一種主動的、對思維起積極作用的感知活動。觀察數學問題的特征是深入分析的前提，在觀察的同時，還常常伴有推理和猜測。

例4：已知AB=50厘米，求圖中各圓的周長總和。

求圖中各圓的周長總和，可以先算出各個圓的周長再相加求和，但各圓的直徑未知，不能算。經過觀察發現，AB的長度正好是各圓直徑之和，因此引發了猜想：各圓的周長總和是不是就等于直徑50厘米的大圓周長？經過進一步分析推理，證明猜想正確，問題就迎刃而解了。

2.類比模擬，萌生構想

類比模擬是分析階段的一個重要手段，它通過聯想有關知識，從類似事物中得到啟發，溝通知識、方法與問題間的聯系，把陌生問題構造成熟悉的問題加以解決。

例5：張老師帶的錢可以買15本語文書或24本數學書。張老師買了10本語文書后，剩下的錢全部買數學書，還可以買幾本數學書？

這道題初看與我們所學的知識掛不上鉤，但仔細一想，如果把總錢數理解為總工作量，把帶的錢可買15本語文書或24本數學書理解成甲、乙兩人單獨完成總工作量各需15天、24天，那么就把這道題類比成工程問題了，可以用解工程問題的方法解決。

3.嘗試抉擇，大膽暢想

通過對數學問題進行觀察、聯想，我們已經從整體上把握住問題，形成初步的解題意向。嘗試就是將初步意向付諸實施，試探是否可行，選擇最容易接近目標的方向入手等等。

例6：已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長為10厘米，那么圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？

嘗試一：根據面積公式算出各圖形的面積，條件不充分，嘗試失敗。

嘗試二：通過“剪、拼、移”的方法計算陰影部分面積的大小，不僅困難而且繁瑣，嘗試再次失敗 。

嘗試三：連接FC，則四邊形BCFD為梯形。觀察發現，陰影部分處在兩平行線之間，根據平行線間高處處相等，可把陰影部分轉化為其他圖形，尋求巧解。

……

三、運用策略，靈活化歸解答

在大多數情況下，數學題并不是標準的模式化問題，而是需要創造性思維才能解決的，這就注定在數學解題活動中必然有策略問題。

1.溝通轉化，變難為易

波利亞認為解題就是把問題轉化為一個等價的問題，把原問題化歸為一個已解決的問題。在解決非模式化問題時，可以引導學生運用轉化的策略，將題中的條件或問題，轉化成與其等價的另一種表達形式，從而豐富解題方法，提高解題能力。

例7：甲和乙從相距1200米的兩地相向而行，甲每分鐘走55米，乙每分鐘走65米。甲出發時帶一只狗，狗以每分鐘240米的速度向乙跑去，遇到乙后立即返回向甲跑，遇到甲后又立即返回向乙跑……甲乙相遇時，狗一共跑了多少米？

這道題所敘述的情況相當復雜，因為不能求出狗先向乙跑了幾米，再向甲跑了幾米，又向乙跑了幾米……經過分析發現，狗是與甲一同出發，甲乙相遇時它也停下來，這樣狗跑的時間就是甲乙相遇的時間。運用轉化的策略將原題變換成兩個小問題“甲乙兩人經過幾分鐘相遇？在這段時間里，狗一共跑了幾米？”就能輕而易舉地求出狗跑的路程。

2.數形結合，優勢互補

“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”運用數形結合，能將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種語言的優勢互補。

例8：計算++++=

這道題可以采用通分再加的方法，也可以利用拆分法，把拆成1-，把拆分成-，以此類推，然后正負相互抵消，得到答案。如果利用數形結合的策略，將題目賦以幾何意義（如下圖所示），那么此題就變得非常簡單：用單位“1”減去空白部分1-，就得到結果。

3.正難則反，殊途同歸

從正面入手有困難，就從反面入手，直接解決不容易，就考慮間接解決。“正難則反”策略巧妙地運用逆反轉換來解決問題，常常使人茅塞頓開，突破思維定式，實現殊途同歸。

例9：有一籃李子，甲拿了一半多1個，乙拿了剩下的一半多1個，丙拿了剩下的一半多3個，李子正好分完，請問這籃李子原來有幾個？

此題從正面入手不太簡便，采用倒推法，口算就能得出結果。因為丙拿了剩下的一半多3個，李子正好分完，則丙拿之前有3×2=6（個）。往上推，乙拿了剩下的一半多1個，還剩下6個，則乙拿之前有（6+1）×2=14（個）。同樣，甲拿之前有（14+1）×2=30（個）。

解題的過程是思維的過程，解題的價值也不在答案本身。通過解決問題，讓學生學會在錯綜復雜的情境中做出有條理的分析與預測，進行創造性的思考，發展數學思維，才是我們最終的目標。

（責編 羅 艷）endprint