半線性隨機變延遲微分方程數值解的收斂性

劉國清，張 玲

（大慶師范學院數學科學學院，黑龍江大慶 163712）

半線性隨機變延遲微分方程數值解的收斂性

劉國清，張 玲

（大慶師范學院數學科學學院，黑龍江大慶 163712）

隨機變延遲微分方程；指數Euler方法；Lipschitz條件；It?公式；強收斂性

隨機模型在生物學、傳染病、經濟與金融等領域應用廣泛.大多數隨機微分方程都是非線性的，其解析解不能表達為顯式形式，因此，數值解的研究在實際應用中非常重要.隨機微分方程數值解的研究目前已有許多成果［1－5］，Higham等［3］給出了隨機微分方程數值解的幾乎處處與矩指數穩定性.文獻［6－11］研究了隨機延遲微分方程.曹婉蓉等［6］給出了隨機延遲微分方程Euler－Maruyama方法的均方穩定性；毛學榮［11］討論了隨機延遲微分方程Euler－Maruyama方法的指數穩定性.對于半線性隨機延遲微分方程指數Euler方法的收斂性和穩定性研究目前報道較少.文獻［6－7］首先把指數Euler方法應用到隨機微分方程上；文獻［12］給出了隨機微分方程指數Euler方法的穩定性和收斂性；文獻［13］應用Lyapunov方法給出了常延遲隨機微分方程指數Euler方法的收斂性和穩定性；文獻［14］用直接證明方法給出了兩類隨機延遲微分方程指數Euler方法的收斂性和指數穩定性.本文給出該隨機變延遲微分方程的指數Euler方法，得到了其數值解的收斂性.

1 預備知識及指數Euler方法

2 指數Euler方法數值解的收斂性

引理1如果線性增長條件（H2）成立，則存在常數C1＞0，使得方程（1）的精確解和連續指數Euler方法的近似解（5）滿足如下關系：

3 數值算例

表1 指數Euler方法數值解的全局誤差Table 1 Global error of numerrical solutions by the exponential Euler method

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Convergence of Numerical Solutions for Semi－linear Stochastic Variable Delay Differential Equations

LIU Guoqing，ZHANG Ling
（SchoolofMathematicalSciences，DaqingNormalUniversity，Daqing163712，HeilongjiangProvince，China）

stochastic variable delay differential equation；exponential Euler method；Lipschitz condition；It?formula；strong convergence

O241.81

A

1671－5489（2014）03－0451－09

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.09

2013－11－22.

劉國清（1966—），男，漢族，碩士，教授，從事拓撲動力系統的研究，E－mail：lgq660609＠163.com.通信作者：張 玲（1978—），女，漢族，博士，講師，從事微分方程數值解和隨機過程的研究，E－mail：zl78521＠163.com.

黑龍江省教育廳科研項目（批準號：11553003）.

趙立芹）