行（列）反對稱矩陣的極分解及其擾動界

袁 暉 坪

（重慶工商大學電子商務及供應鏈系統重慶市重點實驗室，數學與統計學院，重慶 400067）

行（列）反對稱矩陣的極分解及其擾動界

袁 暉 坪

（重慶工商大學電子商務及供應鏈系統重慶市重點實驗室，數學與統計學院，重慶 400067）

考慮行（列）反對稱矩陣的極分解、廣義逆和擾動界，給出了行（列）反對稱矩陣的極分解和廣義逆的計算公式，并給出了行（列）反對稱矩陣極分解的系列擾動界.結果表明，所給方法既減少了計算量與存儲量，又不會降低數值精度.

行（列）反對稱矩陣；極分解；廣義逆；擾動界

0 引 言

矩陣的極分解在航空計算、最優化、矩陣逼近、因子分析和數理統計等領域應用廣泛［1－10］.矩陣的廣義逆在數值分析、測量學、經濟學、預測理論、病態（非）線性問題、回歸與Markov鏈等統計問題、隨機規劃問題、控制論和系統識別問題以及網絡問題等領域是不可缺少的重要工具［11］.很多實際問題的數學模型都可轉化成線性問題，進而利用矩陣解決.研究矩陣時一般都從主對角線方向考慮問題（如對角化、正定性等），而次對角線方向和行（列）對稱或反對稱的情形常被忽略.文獻［12－14］對行（列）對稱矩陣的QR分解和奇異值分解進行了深入研究，獲得了深刻而應用廣泛的結果.文獻［9］研究了行（列）反對稱矩陣的極分解與廣義逆，本文對該問題做進一步研究，獲得了一些新結果，給出了行（列）反對稱矩陣的極分解及Moore－Penrose逆的公式，極大減少了它們的計算量與存儲量，同時給出了行（列）反對稱矩陣極分解的一系列擾動界.本文用J n＝J表示次對角線元素全為1、其余元素全為0的n階方陣，I n＝I表n階單位矩陣，A H和A＋分別表示矩陣A的共軛轉置陣與Moore－Penrose逆，Cm×n表示m×n復矩陣集，表示秩為r的m×n復矩陣集，‖·‖F表示Frobenius范數，顯然J H＝J，J2＝I，J－1＝J.

定義1設A＝（aij）∈Cm×n，則稱

分別為矩陣A的行轉置矩陣與列轉置矩陣，并記為A R和A C.特別地，若A R＝A（A C＝A），則稱A為行（列）對稱矩陣.若A R＝－A（A C＝－A），則稱A為行（列）反對稱矩陣.

1 行（列）反對稱矩陣的極分解與廣義逆

引理1［15］設A∈Cm×n，則對任何酉矩陣U∈Cm×m，V∈Cn×n有UAV的Moore－Penrose逆：

2 行（列）反對稱矩陣極因子的擾動界

列反對稱陣（B－BJ），（BO－BJ）的極分解也有類似定理7和定理8的擾動界.

綜上，本文研究了行（列）反對稱矩陣的極分解、廣義逆與擾動界，給出了行（列）反對稱矩陣與母矩陣兩者的極分解、廣義逆與擾動界間的定量關系.結果表明，用母矩陣代替行（列）反對稱矩陣計算極分解、廣義逆與擾動界，既能減少計算量和儲存量，又不會喪失數值精度.

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Polar Factorization and Perturbation Bound for Row（Column）Skew Symmetric Matrix

YUAN Huiping
（ChongqingKeyLaboratoryofElectronicCommerce＆SupplyChainSystem，CollegeofMathematics andStatistics，ChongqingTechnologyandBusinessUniversity，Chongqing400067，China）

The author studied the polar factorization and generalized inverse and perturbation bound of row（column）skew symmetric matrix.In addition，the formula of the polar factorization and generalized inverse of row（column）skew symmetric matrix were given，which makes calculation easier.And some perturbation bounds of the polar factorization of row（column）skew symmetric matrix were also presented.

row（column）skew symmetric matrix；polar factorization；generalized inverse；perturbation bound

O151.21

A

1671－5489（2014）03－0475－07

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.13

2013－09－05.

袁暉坪（1958—），男，漢族，教授，從事矩陣論的研究，E－mail：yhp＠ctbu.edu.cn.

國家自然科學基金（批準號：11271388）和電子商務及供應鏈系統重慶市重點實驗室專項基金（批準號：2012ECSC0216）.

趙立芹）