高等數(shù)學課程中若干難點的教學策略——以微積分為例

段 玉，王敬童

(湖南商學院 數(shù)學統(tǒng)計學院，湖南 長沙410205)

高等數(shù)學是大學低年級普遍開設的基礎課。它對學生數(shù)學思維的訓練、數(shù)學方法的掌握和數(shù)學能力的提高都有著重要作用。學生對高等數(shù)學掌握的好壞還直接關系到對后續(xù)課程的學習和掌握。但在學習過程中，學生普遍感到上課能聽懂，教材能讀懂，就是不太會做習題。盡管教師、學生都下了不少功夫，但到期末考試時，掛科率較高的大多是高等數(shù)學，研究生考試落選的大多也是因為高等數(shù)學成績較低［1］。究其原因，除了高等數(shù)學本身較為抽象、學生對大學的學習還不適應等因素以外，還與教師的教學理念、教學態(tài)度、教學方法、對教材的理解、課堂運作能力、教學策略等因素有密切關系。教師必須結合高等數(shù)學本身的特點，從學生的實際出發(fā)，采用適當?shù)牟呗赃M行有效教學，才能達到良好的教學效果。

1 注重數(shù)學語言、數(shù)學符號的應用與訓練

任何一門數(shù)學課程都是一個特殊的符號系統(tǒng)，都有其相應的語言與符號，微積分也不例外。學會使用數(shù)學語言和數(shù)學符號，對培養(yǎng)學生數(shù)學素質非常必要。

一方面，熟練使用數(shù)學語言與數(shù)學符號，可以表達深刻的數(shù)學思想與操作性的數(shù)學方法。例如，微積分的基本公式:，這個公式表明，一個連續(xù)函數(shù)在［a，b］的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在［a，b］上的改變量。它不僅揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的聯(lián)系，也給定積分的計算提供了一個有效而簡便的方法。

另一方面，熟練使用數(shù)學語言與數(shù)學符號，不僅對學生理解概念的內涵與定理的作用大有幫助，而且在很大程度上決定了是否能順利地完成課后的作業(yè)。例如，不定積分的換元積分法，如果只按照教材講解，學生很難理解，更不知道如何將此法則與解題聯(lián)系起來。筆者在教學過程中根據(jù)換元積分法法則給出了一個清晰的用數(shù)學語言表達的計算程序:

第一類換元積分法:

第二類換元積分法:

通過例題分析，學生很快掌握了換元法的基本思想與方法。

2 注重數(shù)形結合在教學中的應用

所謂數(shù)形結合，就是把數(shù)量關系的準確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機地結合起來，從而充分揭示問題的條件與條件、條件與結論之間的內在聯(lián)系。數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質;另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便可迎刃而解。要注意培養(yǎng)學生這種思想意識，爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓學生思維的視野，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力。

例如，筆者在講解羅爾中值定理時，有意將此定理用幾何圖形進行解釋，將定理的條件與結論直觀地表述、展現(xiàn)在學生面前，并由此證明此定理。學生很快就掌握了此定理、定理的證明及定理的應用。同時特別提醒同學注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足，其結論可能不成立，定理的條件只是充分的。例如，以下三個函數(shù)［2］分別不滿足羅爾定理的三個條件:

圖1

圖2

(3)y=x，x∈［0，1］不滿足定理的第三個條件，其幾何圖形見圖3。

圖3

從以上三個函數(shù)的幾何圖形可以看到它們都不能在各自的定義域內找到ξ，使f′(ξ)= 0;

而對于函數(shù)

圖4

3 注重適時展現(xiàn)各知識模塊的聯(lián)系

微積分的知識模塊較多，由于受編排體系的限制，許多重要概念之間的關系僅是單向的，逆向的聯(lián)系并沒充分反映出來。教師應在教學過程中適當?shù)卣故靖拍町a(chǎn)生的實際背景，一個概念與另一個概念的聯(lián)系與區(qū)別，將知識點編織成網(wǎng)，以點帶面，融會貫通。教一個概念時復習多個概念，教一個定理時復習多個定理。

4 注重概念的聯(lián)想訓練

在教學中，筆者經(jīng)常讓學生進行關于某一概念的聯(lián)想，以加深對這一概念的理解。弄清這一概念與其它概念的聯(lián)系與區(qū)別，提高應用概念的靈活性。這樣做有助于從根本上解決不會做習題的問題。比如，“函數(shù)的極限”能聯(lián)想到的知識點就有:

5 注重教學方法的總結

微積分涉及的計算較多，其中一些計算應熟練掌握。教師在教學中應對此有所側重，更應注重引導學生掌握計算原則與計算方法。例如，不定積分的分部積分法，若僅根據(jù)教材講解(一般教材在這一部分只給了幾個簡單的例題)，學生只會知其然不知其所以然。筆者在教授不定積分的分部積分法時，通過例題引導學生總結:如何選擇u、v，將不易積的積分通過公式轉換成求積分。其原則:(1)v 要很容易求得;(2)轉換后的積分也要很容易求出，即直接利用基本的求導公式或者導數(shù)運算法則就可求得。其方法:(1)若被積函數(shù)為多項式×指數(shù)函數(shù)，則選u 為多項式;(2)若被積函數(shù)為多項式×弦函數(shù)(正弦或余弦)，則選u 為多項式;(3)若被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)×弦函數(shù)，則選u 為指數(shù)函數(shù)或弦函數(shù)均可，但必須貫穿一致性原則;(4)若被積函數(shù)為多項式×反函數(shù)(lnx，arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx)時，則選u 為反函數(shù);(5)若被積函數(shù)含有 lnf(x)，arcsinf(x)，arccosf(x)，arctanf(x)，arccotf(x)時，選u = lnf(x)等。這樣，學生較容易地理解了部分積分公式并用此公式解題。

實踐證明，只要在高等數(shù)學的教學過程中主動、適時采用上述策略，即注重數(shù)學語言、數(shù)學符號的應用與訓練，注重數(shù)形結合在教學中的應用，適時展現(xiàn)各知識模塊的聯(lián)系，經(jīng)常進行關于某一概念的聯(lián)想訓練，注重教學方法的總結，加之教師對專業(yè)的熱愛和對本職工作、對學生認真負責的態(tài)度，并不時地加入一點點風趣幽默的元素，就會使得學生在輕松和諧中度過一堂緊張的數(shù)學課，就會取得良好的教學效果。

［1］段 玉.關于財經(jīng)類專業(yè)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程體系改革探討［J］.教師，2009(3):15 －18.

［2］曹定華，李建平.微積分［M］.上海:復旦大學出版社，2011.