基于橢圓的漸開線齒輪齒根過渡曲線研究

楊 超，王寶超

（機械科學研究總院 中機生產力促進中心，北京100044）

0 引言

漸開線齒輪的主要失效形式為點蝕和彎曲折斷。隨著齒輪熱處理如滲碳淬火、高頻淬火和淡化處理等技術的發展，使齒面接觸強度得到顯著提高，但卻增加了發生彎曲疲勞破壞的可能，隨著齒輪向著高速重載與小型化的方向發展，也使齒輪的彎曲問題日益突出。所以齒根部位的應力分布狀況、最大應力值及部位、以及如何降低彎曲應力引起了人們興趣和注意[1～8]。

齒輪彎曲應力的計算方法主要有基于懸臂梁結構30°切線法和有限元法。文獻[4～7]以有限元為基礎對齒輪進行了精確建模和彎曲強度分析；文獻[9]基于懸臂梁結構的30°切線法研究了漸開線直齒輪齒根彎曲應力的求解。標準齒條刀具加工的過渡曲線為延伸漸開線的等距曲線，文獻[1～3]及[6]表明：該等距曲線并不能使齒根彎曲應力最小，并基于有限元法對齒根過渡曲線進行了優化研究。

本文根據文獻[6]采用橢圓曲線方程來描述齒根過渡曲線，采用30°切線法求出齒形系數和應力集中系數，與標準刀具加工的齒根曲線進行比較，結果表明采用橢圓過渡曲線可以使彎曲應力降低15%，文獻[6]采用有限元分析的結果為彎曲應力降低17%，兩者基本一致，說明采用橢圓作為齒根過渡曲線可以降低齒根彎曲應力。最后采用齒形法線法，反求出滾刀的刀頂曲線。

1 直齒圓柱齒輪參數描述及橢圓方程的求解

為了進行比較，選取的漸開線標準直齒圓柱齒輪的參數與文獻[6]完全一致，刀具圓角半徑為0.38m, 軸孔直徑d0=20mm，其余參數見表1。齒輪材料常數：彈性模量E=205Gpa，泊松比μ=0.3。

表1齒輪參數Tab.1gearparameter

如圖1 所示，漸開線標準直齒圓柱齒輪的齒廓由齒頂圓弧（L1 段）、兩側漸開線（L2 段）和兩側齒根過渡曲線（L3 段）組成。由文獻[6]建立如圖1 所示坐標系，L2 段漸開線齒廓的曲線方程為：

漸開線標準直齒圓柱齒輪的齒根過渡曲線（L3段）采用橢圓曲線來代替，建立如圖2 所示的局部坐標系wx-o-wy（wy 位于齒槽終點，轉角為Ψ），其橢圓方程設為：

圖1 標準齒廓坐標計算Fig.1 Calculation based on the standard profile coordinates

N 點為橢圓與齒根圓的切點，設其在x-o-y 坐標系中坐標為（x1，y1）。x-o-y 坐標系和wx-wo-wy 坐標系的坐標轉換關系為：

式中：（x0，y0）是wx-wo-wy 坐標系原點在x-o-y 坐標系中的坐標，其中y0=x0tan（Ψ）。由上述條件列出如下方程組：

其中 （wx1wy1），( wxM,wyM) 分別是 （x1,y1） 和點M（4.3852,46.7942）經坐標相互轉換的結果。求得：

2 采用30°切線法求齒形系數和應力修正系數

如圖2 所示，由30°切線法的直線斜率和橢圓切線斜率可知：

危險截面齒厚：

SF=2×4.938=9.876

由文獻 [9] 求得載荷作用于齒頂時彎曲力臂he=9.2173，載荷角δ=29.528°，進而求得齒形系數和應力修正系數分別為：

圖2 橢圓過渡曲線Fig.2 Elliptic curve

當采用標準刀具加工齒輪時，滾刀圓角半徑為r=0.38m，由上述公式或者查表GB-3480 ，求得YFao=28，

3 齒形法線法反求滾刀的刀頂曲線

如圖3 所示，P-X，Y 是固定坐標系 （P 點是固定坐標系的嚙合節點）；齒形與動坐標系ox1-y1固連在一起，o-x1-y1的初始位置與0-x0-y0重合；刀具與動坐標系o2-x2-y2固連在一起。為了使P' 點成為接觸點，齒廓在這一點的法線和齒輪瞬心線（標準齒輪與分度圓重合）的交點p" 要與嚙合節點p 重合。為此，必須使齒輪和齒廓由初始位置轉過φ1角，與此同時，刀具也要從初始位置平移一個距離l=r1φ1。

圖3 齒形法線法Fig 3 The tooth profile normal method

由文獻[10]可得如下計算方程：各參數的意義參考圖3，其余同前文所述。

可以求出一系列的離散點 （x2，y2），通過三次樣條曲線擬合，可以求得刀頂曲線的形狀如圖4 所示。

4 結束語

圖4 刀頂曲線Fig.4 The knife tip curve

用橢圓曲線代替延伸漸開線的等距曲線，并采用30°切線法進行應力的計算表明橢圓曲線可使齒根彎曲應力降低15%，又能保證齒廓的連續性和光滑性，但該方法僅適用于給定齒數和模數的齒輪。最后給出了采用齒形法線法反求滾刀刀頂曲線的計算過程，對實踐具有指導意義。

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