混凝土泵車臂架位姿方程建立及相關參數分析

高鳳陽，王 珊，張 亞

（沈陽建筑大學 交通與機械工程學院，遼寧 沈陽 110168）

0 引言

機電一體化與機器人技術已成為高性能工程機械的發展方向，混凝土泵車作為現代建筑業有效的工具，其施工操作自動化已逐漸受到人們的重視。為實現混凝土泵車操作自動化，我們需解決：當混凝土泵車臂架系統的關節角給定時，確定澆筑點的位置；當澆筑點的位置給定后，經逆運算反求出臂架系統的各個關節角的相應值。前者稱為混凝土泵車臂架系統關節角與末端位置的正解，后者稱為反解。另外，混凝土泵車臂架系統是一具有冗余自由度的空間機構，因此其反解不是唯一確定的解，需要采用某些方法使多節臂的臂架系統達到最優控制，且其解是唯一反解。這一理論分析為進一步實現混凝土泵車臂架系統的自動化和機器人化奠定了基礎，具有實際應用意義和理論研究價值。

1 混凝土泵車臂架系統位姿方程建立

混凝土泵車臂架系統基本是由底座、回轉機構、大臂、中臂（以2 個為例）、小臂和軟管等部分組成的串聯開鏈機構。利用D-H 法建立混凝土泵車臂架系統的機器人化簡圖如圖1 所示, 其中Zi軸與關節軸重合，Xi軸為沿著臂架的方向，Yi軸根據右手定則確定；角度θi為繞Zi軸，Xi軸到Xi-1軸轉過的角度，規定順時針為正，逆時針為負。

圖1 混凝土泵車臂架系統的機器人化簡圖Fig.1 A simplified robot graphic of concrete pump truck boom syste

根據所建的數學模型，可以得到混凝土泵車臂架系統末端的坐標系相對于基坐標系的位姿矩陣：

式中：s0=sinθ0；c0=cosθ0；s1234=sin（θ1+θ2+θ3+θ4）；

c1234=cos （θ1+θ2+θ3+θ4）；px=c0[c1234l4+c123l3+c12l2+l1c1]；

py=s0[c1234l4+c123l3+c12l2+l1c1]；pz=s1234l4+s123l3+s12l2+l1s1。

上述式（5）的位姿矩陣為混凝土泵車臂架系統運動學正解。

2 混凝土泵車臂架系統的運動學反解

假設混凝土泵車在工作時沒有障礙物，其臂架系統運動學反解是已知澆筑點位置，采用合理的解法，求解出臂架系統的各個關節角的相應值，并且保證解是唯一確定的，從而為混凝土泵車臂架系統的自動化奠定基礎。

根據混凝土泵車的實際工作特點和要求，本文提出兩種約束解決方案：其一、混凝土泵車在工作時，使四節臂的臂架整體近似呈弧形，這樣使得泵送混凝土過程中，混凝土流動基本連續，遇到的阻力最小，從而使得混凝土泵車有較小的能耗和較高的工作效率。其二、混凝土泵車在工作時，在臂架整體近似呈弧形的同時，使后兩節臂中的任意一節臂保持水平位置，這樣可以減弱泵管內混凝土自由落體造成的臂架振動，避免臂架過早疲勞斷裂。兩種方案在某一時刻不同的臂架狀態如圖2、圖3 所示。

對于兩種約束方案而 言，關 節 角θ0的 大小是唯一確定的，根據式 （5），顯然，可先求得θ0的唯一解：

圖2 臂架整體近似呈弧形Fig.2 All the booms are similar arc

圖3 前三節臂近似呈弧形，第四節臂水平Fig.3 The Former three booms are similar arc,the fourth one is level

約束方案一：確定唯一反解的策略為首先假設臂架轉動的最小分辨角度為2°，規定關節角之間的關系為90°-θ1=-θ2=-θ3=-θ4=θ，此為臂架整體近似呈弧形可能的條件，θ 的大小可由下面的公式求得：

這樣，先得到一組關節角的相應值θ1、θ2、θ3、θ4，為保證泵送過程中泵送順利，防止臂架振動，初步令θ1=70°，Δθ=（70°-θ）∕3，重新取θ20=θ30=θ40=-θ-Δθ，代入式（7），求得θ10的相應值。觀察上述求出的θ10的相應值是否滿足θ10∈[0，90°]，并且最接近70°，第一節臂架關節角θ1大一些，有利于操作。

其次，如果θ 無解，則說明此澆筑點無法到達；如果得出的θ10?[0，90°]，則令θ2n=θ3n=θ4n=θ2±2n°（n=0,1…），代入式（7），求解θ1的值，直到求得偏離70°最小的n值，如果出現θ10∈[0，90°]，偏離70°超過2°，則可根據θ2n=θ3n=θ4n=θ20±2n° （n=0,1…），代入式 （7），再次求解新的θ1n，直到求得偏離70°最近的n 值，即可得到相應的θ2n、θ3n、θ4n的值。在上述的約束條件下，根據所列出的方程，可得出：

根據這樣的算法，θ0、θ1、θ2、θ3、θ4已完全解出，混凝土泵車臂架系統的運動學反解結束。

約束方案二：由于θ0唯一確定，可不考慮底座θ0的旋轉，混凝土泵車的四節臂在同一平面內的運動方程：

由式（10）和（11）可知，px1、pz1為已知值，θ1、θ2、θ3、θ4為未知數，即兩個方程，四個未知數，所以機器人冗余自由度為2，因此關節角沒有唯一確定的解。

約束條件一：從大量事實來看，臂架的斷裂和應力裂縫一般都出現在第四節臂上，因為在施工時這節臂是受振幅最大、受力變化最頻繁和擺動最大的位置。因此假設混凝土泵車的最后一節臂水平。

此時，臂架末端的坐標系相對于機座處的基坐標系繞X 軸轉了90°，所以式（10）中有s1234=0，c1234=1，即

約束條件二：根據約束方案一，使混凝土泵車除了第四節臂以外的前三節臂仍近似呈弧形，規定：

則有：

關節角θ1、θ2、θ3的具體解法與約束方案一中的求解過程類似，這里不再贅述，而θ4根據式（12）得到。直到求得θ1偏離70°最近的值，即可得到相應的θ2、θ3、θ4的值。至此，θ0、θ1、θ2、θ3、θ4完全解出。混凝土泵車臂架系統的運動學反解結束。

3 混凝土泵車臂架系統的運動學反解算例

已知混凝土泵車臂架系統末端的位置：px=18.2m，py=10.5m，pz=16.6m，各個臂架的長度：l1=9.1m，l2=7.889m，l3=7.680m，l4=7.934m，求解各個關節角的相應值。兩種約束方案解答過程中的θ0、θ1、θ2、θ3、θ4如表1和表2 所示。根據式（6）可得：θ0=arctan（py，px）=30°。

表1約束方案一的反解過程Tab.1Thenegativesolutionsprocessofconstraintsplanone

表2約束方案二的反解過程Tab.2Thenegativesolutionsprocessofconstraintsplantwo

約束方案一和約束方案二的反解均符合混凝土泵車的工作特點和要求，也滿足反解的唯一確定性要求。

4 結束語

本文研究結果表明：根據D-H 法可以求解出滿足要求的混凝土泵車的正解和反解，并且兩種反解約束方案的算法均滿足混凝土泵車實際工作特點和要求以及反解的唯一性要求，容易在控制軟件中實現，提高了反解的運算速度，可以作為混凝土泵車臂架的智能化控制的理論基礎。

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