加強知識理解 滲透數學思想——以人教A版必修“1函數的概念及其性質”為例

☉江蘇省南通市天星湖中學 王 東

加強知識理解 滲透數學思想
——以人教A版必修“1函數的概念及其性質”為例

☉江蘇省南通市天星湖中學 王 東

一、重視以知識理解帶動數學思想教學的原因

數學思想是引領數學活動的基本動力，是數學的精髓.長期以來，我國數學教學，特別是高中數學教學十分重視數學思想的教學，把培養學生運用數學基本思想分析和解決問題的能力作為重要的教學目標之一，并取得了很大的成績.落實在日常教學活動中，常常可以概括為“一做二講三悟”.這就是：第一步，教師提供形式多樣的數學練習題，由學生自己先做這些練習題；第二步，教師進行精心的講解，對于其中的數學思想方法加以提煉和總結；第三步，學生自身的領悟，特別是，需要學生自己去弄清楚數學思想是怎樣在問題解決中發揮思維的引領作用的.其中，“悟”的重要性受到了特別的強調，認為“做”和“講”是“悟”的基礎，是為實現“悟”的效果服務的.

從知識分類的角度來看，數學思想屬于策略性知識.策略性知識的學習和掌握是一個以問題解決為載體的“行動+反思”的過程，學習者在不斷變換的問題情境中依托實踐的領悟十分重要.數學思想的教學，“一做二講三悟”有其合理性.

然而，在數學思想的“教”和“學”上，我們常常看到，盡管師生雙方付出了很大的努力，效果和效率卻不盡如人意.對于為數不少的學生，他們一般不難看懂一個數學問題的邏輯解法，卻無法真正領會其中的數學思想，不明白它們是怎么想出來和怎么運用的，覺得數學很神秘，數學思想難以把握.

上述現象的存在，除數學思想本身的抽象性特征外，筆者以為，存在于“教”的方面先天不足是一個重要原因.這就是過分強調了課堂內外的解題訓練和學生自身的領悟在理解和掌握數學思想中的作用，而對于數學思想的教學起點問題缺乏應有的重視和理性的認識.

事實上，對于學習者來說，數學思想的學習是一個漫長的過程，需要經歷“初步感知”、“逐漸領會”和“靈活運用”這樣三個階段.其中，“初步感知”是把握數學思想的心理基礎，也是我們開展數學思想教學的始發地.這一階段的教學具有不可缺失、不可替代和不可重復的特點，其重要意義不言而喻.那么，如何讓這一階段的教學成為自然的和深刻的呢？筆者以為，數學思想并非“天外之物”，知識是思維的載體，也是思想的載體.學生對數學思想的初步感知只能來自于數學新知識學習的階段.具體地說，要強化數學思想這一隱性知識與數學知識（包括數學概念、性質、公式和法則等）這一顯性知識的內在聯系的教學，為學生架設一條由知識通向思想的橋梁，走一條以數學知識的本質認識帶動數學思想理解的路子：首先，要引領學生深度剖析數學知識反映的空間形式和數量關系的內涵，使之成為理解數學思想的源頭活水；接著，借助于素樸典型的實例，從反思數學知識的應用過程入手，引導學生對數學知識的理解從字面意義的表層漸進到思維價值的深處，抽象概括出數學思考的一般化方法即數學思想，實現數學知識和數學思想的有機融合.

二、例說以知識理解帶動數學思想的教學

首先，帶動數學思想的教學要在學生對數學知識的字面意義有了充分把握的基礎上進行.數學思想是數學知識在高層次上的抽象和概括，學生對數學思想的理解過程是一個對數學知識深度解讀的過程，離開了知識的字面意義這一基礎，數學思想便成了“水中月，鏡中花”.教學中，要在學生對數學知識有了準確的字面理解，但還缺乏從思維價值的高度作出進一步分析的意識的時候，從學生的生活經驗和認知基礎出發，因勢利導，實現陳述性的數學知識向策略性的數學思考方式的提升和轉化.

其次，以知識理解帶動數學思想的教學應該在一個相對完整的時間段內進行，以避免教學的表面化.這是因為，從數學知識中析取數學思想是一個分析、抽象和思維概括的過程，不僅需要教師的啟發性講授，更離不開學生智力的全身心參與.學生的思維要在具體和一般、形象和抽象之間往返穿梭，并經歷批判性反思.

下面試以人教A版教材必修1“函數的概念及其性質”為例，談談如何以知識理解帶動數學思想的教學.

具體地說，這是一個“說內涵—設情境—引思想”的過程.“說內涵”就是圍繞“知識是什么”這一話題，分析知識的結構及其內在聯系，在此基礎上，提出“知識有什么用”的問題，引發學生思維價值方面的思索；“設情境”就是設置數學內外問題，師生合作思考和解決.這里的問題設置著眼于凸顯知識的思維價值，直接為數學思想的教學服務，因而其情境應該是簡明的，既不宜涉及太多的數學概念、公式和法則，也應該與教材中的相關素材緊密聯系；“引思想”就是和學生一道回顧解決問題的思維歷程，提煉出超越數學知識、能有效地指導數學思考的一般方法，也就是數學思想.

1.從“函數概念”到“函數思想”

第一步，說內涵.

師：函數是描述兩個變量的依賴關系的數學概念，這種依賴關系的數學表示就是對應關系f.那么，對應關系f能幫助我們做什么事呢？函數的定義和上節課的學習經驗都告訴我們，確定了對應關系f的涵義，那么對于定義域內的任意一個自變量的值，我們都能確定因變量的值.由此，同學們在上節課中寫出了一次函數、二次函數和反比例函數等我們熟悉的函數的值域.不難想象，確定了對應關系f和定義域，我們便可研究因變量的變化規律，獲得因變量的諸多性質.

第二步，設情境.

（教材第39頁習題B組第2題），動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是30m，那么每間熊貓居室的最大面積是多少？（有意省去了原題題設中的“設寬x（單位：m）”.師生共同解答略，下同）

第三步，引思想.

簡評：要使函數思想的教學來得親切和自然，就必須從學生熟悉的生活情境出發，從學生對函數概念的認知基礎出發，圍繞函數概念的要素，在啟發學生對概念意義的再理解上下工夫.以函數概念的理解帶動函數思想的教學，將促成學生對函數關系由不自覺建立向自覺建立的轉化，必在數學方法論方面對學生產生深遠的影響.

2.從“分段函數”到“分類討論思想”

第一步，說內涵.

第二步，設情境.

第三步，引思想.

師：從上題的分析和解答中我們看到，根據分段函數f（x）的涵義，在表示f（a+1）時需要區分a+1≥0和a+1<0這兩種情形，因而第（2）小題需要分別解這兩種情形下的一個一元二次方程，最后再把結果綜合起來，從而得到了原問題的解答.由此想開去，如果事先了解到一個事物在不同的階段呈現不同的性質或特點，而我們處理這個事物又需要涉及所有的階段，那么就需要對各個階段的情形分別考察才能得到完整和準確的結論，這種處理問題的策略就是數學中的“分類討論思想”.

簡評：分段函數是對立統一觀點在數學中的具體體現，是理解分類討論思想的良好載體.透過分段函數的學習和應用，一要引導學生認識事物的復雜性，二要從學生的認知經驗和生活經驗出發幫助學生領會分類討論思想的實質，這就是“各個擊破，分而治之”.

3.從“函數的單調性”到“數形結合思想”

第一步，說內涵.

師：函數研究的內容是描述自變量變化引起的函數值變化的特點和規律.前面的學習告訴我們，從“隨著自變量的增大，對應的函數值是否增大（減小）”這一角度反映的函數性質就是函數的單調性.函數單調性的形式化定義是抽象的，但它反映的圖象特征卻是直觀的：在某區間上是增函數對應于相應部分圖象（從左到右看）是上升的，在某區間上是減函數對應于相應部分圖象（從左到右看）是下降的.可見，了解了圖象的升降性也就等于把握了函數的單調性，為此我們需要經常作出函數的圖象.進一步想開去，作出函數的圖象還可以幫助我們獲得函數許多其他方面的信息.

第二步，設情境.

第三步，引思想.

師：上面的解答包括兩個步驟：作出函數f（x）的圖象，將“滿足f（x）=a的x的值有3個”這一要求轉化為“圖象上縱坐標等于a的點一共有3個”.其中，第一步“作出函數f（x）的圖象”是第二步實施轉化的基礎.總的來說，就是先將題目中抽象的符號表示轉化為直觀的圖形表示，將數量關系方面的要求轉化為點或線或圖形的位置關系方面的要求，然后通過觀察圖形的特征，獲得需要的數量關系.這樣一個將“數”轉化成“形”，再從“形”回歸到“數”的過程，可以有效地化解數學的抽象性，是數學中一種基本的思考方法，稱為“數形結合思想”.

簡評：作為一種重要的數學思想，數形結合反映了數學的基本特點，是數學對象的本來面目在數學方法論中的體現.這有助于提高學生運用數形結合思想看待和分析數學問題的自覺性，實現抽象思維和形象思維的協調發展，并形成對數學的更加完整和深刻的認識.

4.從“函數的奇偶性”到“化歸思想”

（分析過程與前面類似，略.）

三、結束語

以知識理解的教學帶動數學思想的教學，讓學生看到了數學知識背后生動活潑的數學思維，它不僅推進了學生對數學知識更加深刻的認識，同時開啟了學生運用數學思想思考的大門.

數學知識具有思維的特點.透過本質性的理解，看到數學知識形式化的符號表達背后豐富多彩的數學思想應該成為數學教師的專業本能.數學教學要成為“自然的”和“清楚的”，就必須在課堂上積極探尋數學知識背后的思維力量，讓數學思想教學和數學知識教學水乳交融，相伴同行，實現數學知識教學價值的最大化，這是數學教師創造性工作的重要組成部分.

∶

1.鄭毓信.數學方法論［M］.南寧：廣西教育出版社，1999.

2.人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學必修1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

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