演繹數學之美，彰顯文化價值——“高考與斐波那契數列”的教學與感悟

☉江蘇省天一中學 何志奇

演繹數學之美，彰顯文化價值
——“高考與斐波那契數列”的教學與感悟

☉江蘇省天一中學 何志奇

2013年11月18日，在江蘇省首屆“數學文化素質教育論壇暨數學文化節”上，筆者應邀開設了一節題為“高考與斐波那契數列”的數學文化探究課，授課的班級是江蘇省泰州中學高三理科班.在評課過程中，與會專家和教師對本節課表示了充分的肯定與高度的評價.現簡要地把自己的所思所想整理如下，拋磚引玉，以期同行不吝賜教.

一、本節課的設計理念

《普通高中數學課程標準（實驗）》中明確指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.”“體現數學的文化價值”是高中數學新課程的一個基本理念.《“普通高中數學課程標準”解讀》則提出了在高中數學教材中體現數學文化的兩條具體方案：一是在高中階段，要有選擇性地介紹一些數學家的曲折的人生故事和在數學的探索道路上不畏艱難、勇于進取的精神；二是在編寫高中數學教材時，將與教材相關的數學文化內容合情合理地展示在教材中.那么，數學課堂如何用好教材組織教學，合情合理滲透“數學文化”的內容，就成了教師迫切需要關注的問題.

二、精彩教學片段回放

片段1：師生共同探究斐波那契數列的通項公式

在學生觀察斐波那契數列特點的基礎上，筆者提出了如下的核心問題.

師：我們通過學習等差數列與等比數列，探求了它們的通項公式，是不是也可以來探求斐波那契數列的通項公式呢？（板書）已知數列{Fn}滿足：F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn，求數列{Fn}的通項公式.

學生這時候不知所以了，老師進一步提示：

這時，有同學說，這個數列很奇怪的，左邊是正整數，右邊是含有無理數的，應該在通項那里再加加減減一點東西，才能得出通項公式.

師：很好，（問學生）你覺得設什么形式為好？

生：不妨設Fn由兩個等比數列組合而成：

師：為何這里設“減號”？

生：想在兩個等比數列的系數里消去無理數.

師：這個式子對嗎？

學生自然認為還沒有完成，繼續驗證①式滿足

滿足條件②的數列是唯一確定的，用數學歸納法容易完成證明：

至此，問題獲得解決.希爾伯特關于數學問題的論述對我們的教學有一定的指導意義：“一個數學問題應該是困難的，但卻不應是完全不可解決而致使我們白費力氣.在通往那隱藏的真理的曲折的道路上，它應該是指引我們前進的一盞明燈，最終并以成功的喜悅作為對我們的報賞.”

片段2：斐波那契數列通項公式的應用

這個例題設計的核心原則是幫助學生的思維能力要得到進一步的發展，提出一個任何參考書上都沒有的問題，讓學生來解決它，從而達到反思升華.

這個題目的本意是要學生靈活掌握知識，而不是死算.

三、思考與感悟

1.高三不應成為數學文化探究課的“禁區”

《普通高中數學課程標準（實驗）》在“前言”、“課程目標”、“內容標準和實施建議”中的每一個部分都有對數學文化的闡述，要求在高中數學教學中滲透數學文化的觀念始終貫穿于整個課程標準.課程標準的實施已經多年，對于數學是人類文化的重要組成部分，在高中數學課程中要提倡體現數學的文化價值，我們的老師已經有了一定的認識，但由于受到“一切為了高考”的“功利主義”的影響，我們的高中數學老師對數學文化的認識僅僅停留在理論上，于是在實際教學中出現了如下的畸形現狀：片面突出數學文化中的科學價值而忽略人文價值的滲透.奮斗在教育教學一線的廣大教師可以利用工作在一線這個得天獨厚的條件，立足課堂和教學的實際，充分挖掘數學教學中的人文素材，提高學生的數學素養乃至科學素養和人文素養.

因此，完全有理由說：數學文化探究課完全可以在任何一個年級開設，當然也包括應試味濃厚的高三.這實際上也向我們提出了一個深刻的話題：要實施“素質教育”，一線教師應當如何深入實踐？對數學老師來說，這個話題變得更加實際、更為現實：在數學課堂里我們怎么進行素質教育？或者說，數學教育應如何去貫徹、落實“素質教育”這一總的教育方針呢？從本質上來說，數學素質教育的重要內涵就是要充分發揮數學的文化價值.

2.依托教材、活用教材，有效實施數學文化課程

必修5的數列學完后，在知識方面有個自然的延伸，那就是斐波那契數列.經過調查，筆者發現相當一部分學生沒有仔細地去學習教科書知識拓展的延伸部分，感覺非常遺憾.基于以上考慮，筆者以“高考與斐波那契數列”為題，從以下三個方面設計了課堂教學：一是“經典再現”側重介紹斐波那契數列的由來以及數學家斐波那契的典故；二是“好題賞析”主要是結合了等差、等比數列的知識，引導學生們推導探究斐波那契數列的通項公式，體現斐波那契數列在解題中的應用，從而有效地促進學生對知識體系的自主完善和建構；三是“數學應用”則重點展示生活中的斐波那契數列，從人類耳朵的黃金螺旋到“iphone”的圖標和太陽能電池樹，讓人不由驚嘆：原來斐波那契數列無時無刻不在我們的身邊??！

3.教師教會學生“生活數學”還是“僵尸數學”

對于片段2的例題當然也允許學生用計算器計算，因為筆者認為我們給學生設計的題型模式、反復訓練法實質是一種偷懶——助長了他們思想上的懶惰，學生只要記記題型就萬事大吉了.我們常常擔心計算數據“差之毫厘，謬以千里”，殊不知簡單、機械的學習方法和孤立、分裂的學習目標使學生對學習的認識所產生的“差之毫厘，謬以千里”才更可怕.這種“謬誤”使學生徹底割裂了數學與生活的聯系，使他們遠離了真正的數學精神，學到了一種幾乎無用的“僵尸數學”.一個人不會算數，只要頭腦清醒照樣可以生活；一個人只會算數，頭腦成了糨糊，恐怕就只能做當代“孔乙己”了.我們不要大量的應試高手，而要視野更開闊，思維要更靈活的學生.古人言“勤學善思”，多年來，我們卻是“勤”有余，“思”不足.

綜上所述，數學文化探究課可以讓學生理解數學的思想和精神，彰顯數學的文化價值；可以讓學生學會科學地提出問題、分析問題和解決問題，培養學生的創新意識；可以讓學生受到數學文化的熏陶，領悟數學的美學價值；可以培養學生的數學素養和文化素養，使學生終生受益.

·蘭州市高中數學謝立亞名師工作室·