一道環球城市數學競賽題的推廣

☉廣州大學計算機教育軟件研究所 劉鳳鳴 朱華偉

一道環球城市數學競賽題的推廣

☉廣州大學計算機教育軟件研究所 劉鳳鳴 朱華偉

1983環球城市數學競賽秋季賽第一題：

題目 考慮正方形ABCD中的一點M，證明：三角形ABM，BCM，CDM和DAM的中線交點構成一個正方形.

證明：如圖1，設E，F，G，H分別是△ABM，△BCM，△CDM和△DAM的重心，P，Q，R，S分別是AB，BC，CD，DA邊的中點，顯然，四邊形PQRS是正方形.

評注：通過觀察發現，當點M不在正方形ABCD內時，這個結論仍然成立，證明的方法同上.

下面我們來討論對于正三角形這一結論是否成立.如果成立的話，重心所構成的正三角形與原三角形是相似的，它們的面積比又等于多少呢？

命題1：已知正三角形ABC和平面上一點M（不與點A，B，C重合），那么三角形ABM，BCM和CAM的重心構成一個正三角形.

證明：如圖2，設點O，P，Q分別是三角形ABM，BCM和CAM的重心，點X，Y，Z分別是AB，BC和CA邊的中點.

我們不妨對原題進行推廣，看看其他正多邊形是否也有這種性質，并進一步思考：連接重心得到的正多邊形與原正多邊形的面積比為多少？

命題2：已知正n邊形A1A2…An和平面上一點P（不與點A1，A2，…，An重合）.求證：△PA1A2，△PA2A3，…，△PAnA1的重心也構成一個正n邊形.

證明：如圖3，設G1，G2，…，Gn為△PA1A2，△PA2A3，…，△PAnA1的重心，點M1，M2，…，Mn為A1A2，A2A3，…，AnA1的中點.

那么正n邊形G1G2…Gn與正n邊形A1A2…An的面積又有什么聯系呢？設正n邊形A1A2…An的面積為SA，正n邊形G1G2…Gn的面積為SG，正n邊形M1M2…Mn的面積為SM.

1.中國數學奧林匹克委員會.環球城市數學競賽問題與解答第1冊［M］.北京：開明出版社，2004.

2.包恩萍.正n邊形中關于面積的一個數列通項［J］.讀寫算（教育教學研究），2011（16）.