一道中考試題的解法探究與教學啟示

☉江蘇省江陰市第一初級中學 鐘珍玖

☉無錫市龐彥福名師工作室 戴倍琪

一道中考試題的解法探究與教學啟示

☉江蘇省江陰市第一初級中學 鐘珍玖

☉無錫市龐彥福名師工作室 戴倍琪

隨著全國各地中考命題研究的不斷深入，各地中考試卷中涌現出了不少好題，為了提高考試的區分度，真正考查學生的數學能力，中考試卷中除了壓軸題外，不少地區也用選擇題和填空題的最后一題來把關，雖然是一道小題，但是題目的難度和要求卻比較高，無錫市的數學中考試題近兩年都呈現出此趨勢.以下是筆者對2013年無錫市中考數學試題第18題的解析與思考，不當之處，請指正.

一、原題重現

題目 已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為_________.

二、解法探究

解法1：由C（a，-a）可知，點C在直線y=-x上.①當AB為平行四邊形的邊時，CD=AB=10；②當AB為平行四邊形的對角線時，過AB的中點P（4，3）作直線y=-x的垂線交直線y=-x于C點，如圖1，點C即為所求.

評析：本題以平面直角坐標系為背景，通過分類討論：當CD為平行四邊形的邊時，長度均為10；當CD為對角線時，AB也是對角線，利用平行四邊形的對角線互相平分，當CD最小時，CD的一半CP也最小.本題就轉化成在直線y=-x上，尋找點C，使它與AB的中點P的距離最小，運用垂線段最短的知識，即可找到符合條件的C點.本題主要考查了分類討論、轉化的數學思想；考查了垂直平分線的性質、平面直角坐標系下兩點間的距離等知識技能.

解法2：①當AB是平行四邊形的邊時，AB=CD=10；

②當AB是平行四邊形的對角線時，因為點C（a，-a），所以點C在直線y=-x上移動，過點D作DE⊥x軸，CF⊥y軸，延長BC交x軸于點G，如圖2.

圖2

所以∠BFC=∠DEA=90°.

因為點D與點A，B，C是一平行四邊形的四個頂點，

由勾股定理得CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8（a-0.5）2+98，所以當a=0.5時，CD的最小值為7.綜上所述，CD長的最小值為7.

評析：此解法以平行四邊形為背景構造了兩個三角形全等，利用全等三角形的對應邊相等，求出點D的坐標（用字母a來表示），再用勾股定理得到CD長關于a的二次函數，用二次函數的性質來求線段CD長的最小值，特別是構造兩個全等三角形是關鍵，要求較高.

解法3：①當AB為邊時，AB=CD=10.

②當AB是平行四邊形的對角線時，連接CD交AB于點G，過點G作GH⊥OA，交OA于點H.

因為點D與點A，B，C是一平行四邊形的四個頂點，

所以AG=BG，CG=DG.

由GH⊥OA，易得△AGH∽△ABO，

所以G（4，3）.

由勾股定理得CG2=（4-a）2+（3+a）2，

所以CD2=（2CG）2=4CG2=8a2-8a+100.以下解法同解法2.

評析：解法3是筆者認為較為簡潔的，對思維水平和解題策略要求較高的一種解法.它避開了求點D的坐標，利用平行四邊形對角線互相平分的性質，只需求出兩條對角線交點G的坐標，而點G的坐標是比較容易求得，求出了線段CG的平方，就間接地求出了CD的平方，體現了直接求解困難就間接求解的解題策略.此解法的基礎在于抓住變化過程中的不變量，不論C、D的位置如何變化，CD與AB的交點G的坐標是始終不變的，體現了在變化中尋求不變量的解題策略和技巧.

三、解題后的思考

就試題本身而言，這是一道難度較大的填空題，雖然題目敘述比較簡潔，但是真正要去解決卻不容易入手，求線段的最值問題，學生在平時的學習中也能遇到，題目改變了以往熟悉的考查方式，求兩條線段和與差的最值或者三條線段和的最值問題，求一條線段的最小值，要求構造函數，運用代數的知識來解決問題.試題比較新穎，有一定的創新性，能夠較好地考查學生靈活運用所學知識解決問題的能力，并且起到了較好的區分作用.

就試題對教學的啟示和導向作用而言，筆者認為，此題對教師的平時教學有較好的導向作用，如果在平時教學中搞“題海戰術”，做了大量的訓練，但不善于總結、歸納、舉一反三，把真正的落腳點放在提高學生的思維能力上，仍然不能解決問題.從上述幾種解法來看，大多數方法都運用了解題的通法，求線段的最值最為常見的做法是運用幾何圖形的直觀性來解決，或者構造函數，利用函數的有關性質來解決，所以在教學中要注重解題通性通法，但也要關注解題技巧，正如筆者前文所述，在3種解法中，解法1比較簡潔，計算量小，而是通過和點D密切關聯的CD中點來直接找到點C.而解法3，它避開直接求點D的坐標，間接得出CD關于a的函數關系式，體現了間接解決問題的解題策略.另外本題的解法中比較簡潔的是解法1和解法3，都抓住了變化中的不變量，也就是當AB是平行四邊形的對角線時，不論C、D兩點位置如何，它們的中點也是不變的，即線段AB的中點，抓住這個不變量來解決問題就很簡單易行.所以教師在平時教學中，通性通法要作為解題教學的重點，但解題的策略和技巧也不容忽視，要把對學生數學思想方法的熏陶放在非常重要的位置，畢竟數學是一門思維型很強的學科，培養和提升學生的思維能力是數學教學永恒的話題，數學教學，任重道遠，值得教者思索.

但是任何事情都是機遇和挑戰并在的，創新性很強的事物就面臨風險，像這樣含參數的雙動點問題，如果出現在高考的試題中，你是否感到意外呢？作為中考的填空題，這樣的試題難度是否有點大，值得思考.

1.龐彥福，等.從一道檢測題審視數學試題的命制［J］.中學數學（下），2014（2）.FH