艙段截?cái)鄷r(shí)邊界條件的選取方法

丁 宏，陳美霞，魏建輝，謝 坤

(華中科技大學(xué)，湖北 武漢 430074)

0 引 言

工程中對(duì)船舶等結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析時(shí)，如果對(duì)全船進(jìn)行分析，結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，計(jì)算量十分龐大，還有許多并不關(guān)心的特性會(huì)影響分析結(jié)果。因此如果只關(guān)心某個(gè)艙段的響應(yīng)特性，為了建模和分析方便，不需建立整船的有限元模型。對(duì)所關(guān)心艙段進(jìn)行計(jì)算分析，單個(gè)的艙段模型能否代替多艙段，卻研究不多。

Yoshikawa[1]等分析表明，對(duì)于簡(jiǎn)單殼體，在一定頻率以上，艙段的振動(dòng)特性與無(wú)限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性比較接近，也就是說(shuō)結(jié)構(gòu)的截?cái)鄬?duì)振動(dòng)的影響不是很大。對(duì)于潛艇等較為復(fù)雜的系統(tǒng)，殷學(xué)文[2]等認(rèn)為，在低于艇體艙段第一階彈性頻率的頻段上，用單艙段來(lái)模擬整個(gè)艇體，殼體表面振速誤差較大，不能用單艙段模擬整艇來(lái)進(jìn)行定量分析。李鵬[3]等對(duì)散貨船全船三艙段與獨(dú)立三艙段進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)全船采用慣性釋放方法，比較了與獨(dú)立三艙段的相當(dāng)應(yīng)力，表明獨(dú)立三艙段的結(jié)果偏高，與實(shí)際相差較大。沈順根[4]等研究認(rèn)為，在低于艇體第一階彈性頻率的頻段內(nèi)，單艙段模型不能反映艇體的總振動(dòng)。

根據(jù)瑞利約束定理[5]，加約束使固有頻率提高，且新的固有頻率出現(xiàn)在原來(lái)的2個(gè)固有頻率之間。根據(jù)這個(gè)理論，可以調(diào)整結(jié)構(gòu)的邊界條件來(lái)對(duì)固有頻率等動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行一定的控制。蔡青[6]利用三向約束的方法分析單艙段的諧響應(yīng)特性，但并沒有與全船模型進(jìn)行比較來(lái)分析約束的影響。邊界條件應(yīng)該如何設(shè)置才能使單艙段的動(dòng)態(tài)響應(yīng)比較接近于在全船中的響應(yīng)，或者說(shuō)結(jié)構(gòu)的截?cái)鄷r(shí)邊界條件如何選取，在工程中具有實(shí)際意義。

1 結(jié)構(gòu)連續(xù)的邊界條件

描述圓柱殼的理論有多種，采用Flügge殼體理論[7]來(lái)描述圓柱殼的振動(dòng)在頻率不太高時(shí)具有較高的精確度，該理論將環(huán)肋結(jié)構(gòu)均視為作用在圓柱殼上的動(dòng)反力，圓柱殼的振動(dòng)方程如下所示：

[l][uvw]T+D([F]+[fr]+[fs])=0。

(1)

圖1 圓柱殼和艙壁的位移及內(nèi)力示意圖Fig.1 Displacements and forces of cylindrical shells and bulkhead

艙段之間通過艙壁等結(jié)構(gòu)隔開，分為一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的結(jié)構(gòu)。對(duì)于圓柱殼艙段，艙壁和端板的作用也需要考慮。

對(duì)于直接相鄰的結(jié)構(gòu)，在連接處需要滿足一定的連續(xù)性條件。記全船模型各艙段圓柱殼的編號(hào)為q(q=1～5)，艙壁(含端板)編號(hào)為p(p=0～5)。圓柱殼的軸向、周向和徑向的位移分別記為wq，vq和uq，艙壁和端板的軸向、軸向和徑向分別記為up、vp和wp。為了簡(jiǎn)化分析，只考慮艙段一端的邊界條件，因此取艙段1。在艙壁1處(p=1，q=1～2)，滿足以下條件：

Nφ,1=0,

2 數(shù)值算例

采用有限元軟件Ansys建模，計(jì)算由5個(gè)艙段構(gòu)成的全船模型與不同邊界條件的單艙段模型在模態(tài)和諧響應(yīng)方面的異同，以選取一種邊界條件，使單艙段的振動(dòng)特性比較接近于該艙段在全船中的特性。

2.1 模型介紹與邊界條件

各模型的結(jié)構(gòu)材料為鋼材，具體的物理參數(shù)為：密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3。

采用的全船模型尺寸為：總長(zhǎng)L=5.25 m，半徑R=0.425 m，肋距l(xiāng)=0.075 m，肋骨尺寸0.004 m×0.033 m，殼體厚t=0.004 m，每隔1.05 m設(shè)置一道艙壁，艙壁厚0.012 m，兩端板結(jié)構(gòu)與艙壁相同，如圖2(a)所示。單艙段模型長(zhǎng)度l=1.05 m，其他尺寸與整體模型一致，結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示。

圖2 算例模型(半剖)Fig.2 Geometry of analysis models

為了便于比較，分析邊界條件影響時(shí)，取全船模型最右端的第I艙段(以下簡(jiǎn)稱全船模型)與單艙段模型比較，這樣只需要對(duì)單艙段模型的一端賦予一定的邊界條件，包括三向位移約束、Z向(軸向)位移約束、X向和Y向簡(jiǎn)支約束以及不約束等狀態(tài)。

2.2 模態(tài)分析

先重點(diǎn)分析全船模型的模態(tài)，該模型兩端均為自由狀態(tài)。整體模型的模態(tài)可分為船體梁模態(tài)、艙段模態(tài)和艙壁模態(tài)等。從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，在第一階艙段頻率(414 Hz)以下，主要是船體梁模態(tài)和艙壁模態(tài)。在第一階艙段模態(tài)出現(xiàn)時(shí)，艙壁位置成為圓柱殼艙段振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)，在此位置，不僅位移連續(xù)，轉(zhuǎn)角也連續(xù)。

圖3 全船模型的船體梁模態(tài)與艙段模態(tài)Fig.3 Ship girder mode and cabin mode of the whole ship model

由于全船模型由5個(gè)相同艙段組成，各艙除邊界條件外結(jié)構(gòu)完全一樣，因此在同一個(gè)頻率附近往往出現(xiàn)多個(gè)相似模態(tài)。在第一階艙段頻率之上，隨著頻率增加，艙壁等局部模態(tài)很多，這里只考慮I艙的艙段模態(tài)。

從全船模型和單艙段模型的模態(tài)分析結(jié)果中，可以找到一些整體模型的I艙段與單艙段模型相對(duì)應(yīng)的模態(tài)。各模型的模態(tài)云圖具有較高的相似度，固有頻率則有一定差別。

對(duì)照模態(tài)云圖，可以將單艙段圓柱殼對(duì)應(yīng)模態(tài)的固有頻率列出來(lái)，與全船模型的I艙段進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

表1 各模型相同模態(tài)下的固有頻率/Hz

注①：指的是各單艙段模型與全船模型對(duì)應(yīng)振型的固有頻率相差的百分比。

從上面的模態(tài)分析可知，全船模型模態(tài)比較豐富，許多全船結(jié)構(gòu)的艙段模態(tài)在單艙段模型中沒有出現(xiàn)，這是因?yàn)檫@些模態(tài)并不是I艙的固有模態(tài)，而是船體其他艙段的固有模態(tài)，或者艙段之間的耦合模態(tài)。

比較艙段圓柱殼模態(tài)的固有頻率可知，三向約束單艙段的固有頻率偏大，有些模態(tài)的固有頻率比全船模型高1%左右，但有些模態(tài)，比如呼吸模態(tài)(n=0)，固有頻率相差達(dá)到10.8%，已經(jīng)超出工程應(yīng)用允許的范圍；Z向約束單艙段的固有頻率與全船模型差別在0.1%～5%之間；自由條件下，艙段的固有頻率偏低，與全船模型相差最大的約為2.9%左右。X向和Y向簡(jiǎn)支約束單艙段模型比全船模型相同模態(tài)固有頻率略低，差別在0.02%～1.26%之間，是各種約束方法中差別最小的。

比較固有頻率可知，完全自由艙段<約束X，Y向艙段<約束三向艙段，約束越強(qiáng)，固有頻率越高。從固有頻率而言，將艙段截?cái)嗵幚頌榧s束X向和Y向的位移比較合理。

2.3 諧響應(yīng)分析

本文同時(shí)比較不同邊界條件對(duì)諧響應(yīng)的影響，模型及邊界條件與模態(tài)分析時(shí)一致。激勵(lì)為點(diǎn)作用力，位置在分析艙段中央的底部，方向垂直于圓柱殼表面。由于作用力的具體大小并不影響各模型響應(yīng)的相對(duì)大小關(guān)系，這里簡(jiǎn)單地取為單位力。計(jì)算頻率取0～800 Hz，間隔1 Hz。

圖4 激勵(lì)點(diǎn)處的速度響應(yīng)對(duì)比Fig.4 Velocity response comparison of the excited point

圖5 圓柱殼響應(yīng)均方根速度對(duì)比Fig.5 Mean square velocity comparison of the cylindrical shells

從諧響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果曲線對(duì)比可以看出：X向和Y向簡(jiǎn)支約束艙段與全船模型最為接近，在一階艙段頻率(414 Hz)以上時(shí)與全船模型基本吻合。采用三向約束或軸向位移約束的單艙段模型相對(duì)與全船模型相比，固有頻率較高，響應(yīng)曲線向右移動(dòng)，特別是在0.6倍環(huán)頻率(600 Hz)以下的頻段；全自由單艙段模型相對(duì)于全船模型固有頻率較低，響應(yīng)曲線則向左移動(dòng)。在0.6倍環(huán)頻率以上時(shí)，不同的邊界條件對(duì)響應(yīng)的影響較小，說(shuō)明頻率較高時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)邊界條件的變化不敏感，可以比較隨意地選擇一種邊界條件來(lái)模擬全船模型的連續(xù)性條件。

XY雙向簡(jiǎn)支約束的單艙段模型響應(yīng)曲線的峰值均處在一組全船模型I艙段的響應(yīng)峰當(dāng)中，而其他約束條件下的單艙段模型則與全船模型的響應(yīng)峰谷頻率有一定的偏差。也就是說(shuō)，XY雙向簡(jiǎn)支約束的單艙段模型能較好地代表全船模型I艙段的主要模態(tài)。

采用XY向簡(jiǎn)支約束能較好地模擬全船結(jié)構(gòu)，原因可能是艙壁在XY面內(nèi)的剛度、相鄰艙段的彎曲剛度對(duì)本艙段圓柱殼在艙壁平面內(nèi)具有較強(qiáng)的約束作用。這種約束作用與對(duì)圓柱殼的XY向進(jìn)行簡(jiǎn)支的效果比較相似，因而這2個(gè)模型的響應(yīng)結(jié)果比較類似。

具體到響應(yīng)曲線的每一個(gè)峰谷位置，在模態(tài)分析中均能找到對(duì)應(yīng)的固有模態(tài)。其中，當(dāng)軸向半波數(shù)為奇數(shù)(m=1，3…)時(shí)，激勵(lì)點(diǎn)處于波腹位置，此時(shí)輸入功率較大，艙段的均方振速較大，響應(yīng)曲線出現(xiàn)峰值；當(dāng)軸向半波數(shù)為偶數(shù)時(shí)，激勵(lì)點(diǎn)處于波節(jié)位置，此時(shí)外力不能激起對(duì)應(yīng)模態(tài)，輸入功率較小，結(jié)構(gòu)的均方振速出現(xiàn)極小值。除艙段模態(tài)會(huì)引起響應(yīng)曲線的波動(dòng)之外，艙壁處的模態(tài)等也會(huì)引起響應(yīng)的變化。

全船模型I艙段在分析頻帶內(nèi)的峰谷較多，這是因?yàn)槿Ｐ陀?個(gè)相同的艙段，作用在I艙的激勵(lì)力也會(huì)激起其他艙段的模態(tài)，因此單艙段模型出現(xiàn)的模態(tài)在全船模型中可能出現(xiàn)多次；如果再考慮耦合模態(tài)和空間的對(duì)稱性，則在相近頻帶里，全船模型還會(huì)出現(xiàn)更多的固有模態(tài)，因此采用單艙段和一定的邊界約束條件并不能完全代替全船結(jié)構(gòu)的連續(xù)性條件。

全船模型的響應(yīng)曲線在112 Hz、522 Hz處出現(xiàn)峰值，而其他單艙段模型并沒有出現(xiàn)。通過模態(tài)分析可知，這對(duì)應(yīng)的是全船模型的整體模態(tài)，單艙段模型并沒有這些固有模態(tài)。112 Hz對(duì)應(yīng)的是艙段在X方向上的一階船體梁模態(tài)，其模態(tài)云圖如圖6(a)所示。抽取全船外殼側(cè)面一條直線上的節(jié)點(diǎn)，其X方向上的節(jié)點(diǎn)位移隨軸向位置的變化如圖6(b)所示，這條曲線基本上可以代表船體梁的模態(tài)。在522 Hz附近時(shí)，艙段之間發(fā)生方向相反的錯(cuò)動(dòng)，其模態(tài)云圖和模態(tài)曲線如圖7所示。

圖6 全船模型在112 Hz附近的一個(gè)模態(tài)Fig.6 Mode shapes around 112 Hz of the whole ship model

圖7 全船模型在522 Hz附近的一個(gè)模態(tài)Fig.7 Mode shapes around 522 Hz of the whole ship model

3 結(jié) 語(yǔ)

本文分析了加環(huán)肋圓柱殼的運(yùn)動(dòng)，艙壁處的位移、內(nèi)力和彎矩的連續(xù)性邊界條件。對(duì)單艙段一端分別施加自由、周向徑向簡(jiǎn)支約束、軸向約束以及三向約束等不同的邊界條件，從模態(tài)的固有頻率和頻響曲線兩方面與全船模型的I艙段進(jìn)行比較，結(jié)果表明，在艙段頻率以上，將艙段截?cái)嗵幚頌橹芟驈较蚝?jiǎn)支約束比較合理。用單艙段來(lái)代替全船模型，可以反映全船模型中的主要艙段模態(tài)，但不能反映船體梁模態(tài)。

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