基于9/11小波與EZW算法的電能質量諧波信號二維數據壓縮

崔 旭，尹為民

(海軍工程大學 電氣與信息工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

隨著電力系統的發展，由于自然災害、設備老化及眾多人為因素，發生電力系統故障不可避免，電力系統故障對人類的生產、生活及國民經濟等都會造成巨大的影響和損失，實現對電能質量實時分析和監控的要求也日益迫切。但隨著電能質量監測系統不斷提升導致其采樣數據量非常大，數據向控制中心上傳時，會增加傳輸時間，降低數據傳輸的可靠性。這使電能質量信號的存儲和傳輸面臨巨大的挑戰。數據壓縮作為解決海量信息存儲和傳輸的支撐技術受到人們的極大關注。

實際電力采樣數據的壓縮方法可分為無損壓縮；有損壓縮以及無損有損相結合三大類。無損壓縮算法主要有Huffman 編碼、LZ77和LZSS壓縮算法、LZ78和LZW壓縮算法、算術編碼算法以及游程編碼等。有損壓縮主要有預測編碼、脈沖編碼以及變換域編碼算法，如傅立葉變換編碼算法、離散余弦編碼算法、小波和小波包編碼算法等。目前基于小波變換的數據壓縮方法有:多分辨率分析方法、小波(包)變換、最優小波包基、提升小波變換、多小波、小波神經網絡方法等[6]。

基于小波變換的圖像壓縮編碼模型一般包含3個部分。首先，利用二維Mallat分解算法對原始圖像進行分解，假設分解成M層，則得到3M個高頻子圖與一個低頻子圖。其次，由于小波變換系數在幅度上還是連續的，需要對小波變換系數進行量化，其被量化以后產生符號流的每一個符號是對應特定量化階層的標記，信息的損失一般發生在量化級；最后，由熵編碼把量化得到的符號流表示為比特流，以達到壓縮數據的目的。

1 小波的雙正交分解方法及EZW編碼

1.1 雙正交多分辨分析

(1)

上式也稱為雙正交條件。

在雙正交的多分辨分析下，雙尺度方程表示為

(2)

(5)

1.2 EZW算法

EZW[2]的全稱是“embedded coding using zerotrees of wavelet coefficients”(用小波系數的零樹進行嵌入式編碼)。對圖像進行二維小波變換之后，各子帶之間的數據可以看成是一個樹狀結構。實驗表明：如果在粗尺度下(即圖像分解的高層)小波系數相對于給定閾值T來說不顯著，則在較細尺度(即圖像分解的較低層)下的同一個空間位置上，相同方向的所有小波系數相對于T來說都很可能不顯著。EZW算法通過多遍掃描編碼圖像，其中每遍掃描都包含以下的處理步驟：1)選擇閾值；2)小波系數與閾值Ti-1進行比較確定重要系數；3)對重要系數進行量化；4)重新排序；5)輸出編碼信號。多次循環掃描后完成算法。

2 實驗數據分析

電能質量信號是一種周期信號，其波形呈現某種相似性，因而是一種冗余度較大、而信息熵較小的信號，從理論上來講，應該具有較大的壓縮比。以往的一維數據壓縮方法大都沒有考慮到這種周期間冗余特性，因而壓縮比受到很大的限制，而使用二維壓縮方法可以消除周期之間的空間冗余[3]。本文算法的核心思想是將電能質量信號按基頻周期分段組成二維矩陣，用電能質量信號幅度值表示為圖像的灰度值，利用小波變換對信號進行分解，再利用小波系數的零樹進行嵌入式編碼，最終達到理想的壓縮比。

以電壓信號X(n)=Acos(100nTs)+0.03Acos(300nTs)+0.05Acos(500nTs)+0.03Acos(700nTs)為例，其中A=222,信號中含有3，5，7次諧波，每個周期采樣256個點，圖2為采樣8個周期的圖像。每組信號長度為256 個周期，以每個周期256 個采樣點作為二維矩陣的一行即可構成一個 256×256的二維矩陣。通常可用二進制數字有限的精度來代表實數，即所有的實數都可以用一串二進制數字來表示，二進制數字表達式的右端每添加一位長，都會取得更好的精度。這樣，在允許的精度誤差內，可以取有限的位長來表示信號的幅值。由此為了驗證方便，本文實驗中將原始數據統一保存為無壓縮的16位灰度位圖格式，如圖2所示(16位/樣本)。

圖1 實驗信號波形Fig.1 Experimental signal waveform

圖2 實驗數據轉換為二維灰度圖Fig.2 The two-dimensional gray scaleconverted by power quality data

3 小波性質對電能質量數據壓縮的影響

S.Mallat曾指出，在數據壓縮、信號去噪及快速計算等大多數小波應用中，主要利用小波基可以用較少非零小波系數去有效逼近實際函數的能力，選擇小波基應該是以最大量的產生接近于0的小波系數為最優[4]。小波基的這種能力主要依賴于其數學特性：消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性等。下面就這5個方面討論其對數據壓縮的影響。

1)正交性、緊支性、對稱性

這3個性能可以放在一起進行討論。因為大部分正交小波基無限支集,與此相聯系的濾波器也是無限沖擊相應(非緊支)，但自從Daubechies構造了緊支集的正交小波基,便可以用濾波器分解圖像。若用小波來表示圖像,除了正交性的要求之外,還希望小波光滑,因為圖像大部分是光滑的(除少數邊緣外)。而且要求小波對應的濾波器的長度應盡可能短,以便加快運算速度。但較短的濾波器對應的光滑度就小,二者互相矛盾。同時,希望濾波器是線性的,這樣它在形成錐形數據時不需要相位補償就能精確重建原圖。為了解決正交性和對稱性的矛盾,Cohenet等人把雙正交小波引進了信號處理,即它有2個小波,Ψ和它的對偶小波Ψ。雙正交小波降低了正交性的要求,保留了正交小波的一部分正交性,使之可達到相位保持及較短濾波器的要求。

2)正則性

指時間連續的小波Ψ(x)至少是連續的,是一階或二階連續可微。如果一個濾波器組正交,且收斂于具有緊支集的連續函數Ψ(x),我們說這些濾波器正則(regular)。離散小波變換與一般的子帶分解的區別除外觀上和解釋說明不一樣外,重要區別就在于小波濾波器必須正則。對小波濾波器,極限函數Ψ(x)的正則性越好,收斂于該極限就越快。

3)消失矩

其大小決定了用小波逼近光滑函數時的收斂率。當圖像光滑時,越大的消失矩將導致越小的小波系數,壓縮比就有可能提高;而對不光滑的圖像,將會有更多大的小波系數。因為一維電能質量信號變換出的二維矩陣，其圖像相當光滑，所以消失距才是提高電能質量數據的壓縮比的主要影響因素。

消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性對數據壓縮的具體影響如圖3所示。

圖3 消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性對數據壓縮的影響Fig.3 The impact of the vanishing moment,the regularity properties, the compact support,the symmetry and the orthogonally to the data compressed

4 實驗小波的構造

參照上面幾點,現設計分解端消失矩為6, 而重構端消失矩為4的小波[5], 在雙正交的多分辨分析下，雙尺度方程表示為

(6)

(8)

求得它們的解是:

(9)

根據雙正交情形的濾波器設計的算法，濾波器對構成的極小矩陣(Minimal Matirx)的階數是18。于是構造一個18階的2-循環矩陣，可以獲得一個方程組如下：

(10)

以上方程組是一個非線性方程組，可以使用Matlab得到如下2組解。

abtuvwx06360469-0337150810417948-04887598-00770234-001124030056126003826386-0242786318766971-06674903-051447120167490300761226

所以可以得到兩組9/11(這里指對應的濾波器的長度)濾波器。

0±1±2±3±4±5hi1-1327025-047198703637860118434-0053827h i1054113303433520061156000028000218310009922hi207366600345605-005446400079480039687h i208995060476803-0093505-0136706-00026950013457

上面第2組9/11小波的圖像如圖4所示。通過圖形可以看出, 第2組的數學性質更好, 其壓縮效果也更好。

5 仿真結果

5.1 評價的標準

開發和實現有損圖像壓縮要有一種標準度量，用來衡量與原始圖像相比較的重建圖像的質量。采用均方誤差(MSE)、峰值信噪比(PSNR)、壓縮比(CR)、像素位數(BPP)作為壓縮性能的度量，其中像素位數指的是編碼一個像素點所需要的比特位(Bit-Per-Pixel)。設圖像和重建圖像的像素分別表示為f(j,k)和f^(j,k)(其中1≤i≤n)其他3個指標定義如下：

均方誤差

峰值信噪比

壓縮比

CR=ScompressedSoriginal。

式中：Scompressed為壓縮后信號數據大小；Soriginal為原始數據大小。

5.2 不同小波壓縮性能的比較

利用9/11小波與EZW算法相結合，對前文所述的諧波信號進行壓縮仿真，即先進行小波分解，再將分解系數矩陣通過EZW進行熵編碼。影響實驗結果的有3個因素：1)小波的選擇，2)小波分解的層數，3)EZW算法的循環次數。而在實際應用中，需要考慮在盡可能提高壓縮比率的情況下，盡量滿足實時性。在使用相同小波的情況下，小波分解層數的大小影響最終壓縮比，EZW算法的循環次數影響編碼重建圖像的質量。目前，DSP 的運算速度已達百兆以上，經過測試對256×256的二維矩陣進行5層小波分解計算，消耗時間在468～524 ms之間，因此從數量級的角度來看5層小波分解完全能夠滿足對電能質量監測網的實時性要求，同理分析將EZW算法的循環次數選為6次。表1列出了相應的仿真結果。

表1采用不同小波基的數據壓縮結果

Tab.1 The data compression results using different wavelet

MSEMaxErrorPSNRBPPCR/%9/1121562447900252032Haar201634250900508063Db428114336400254032Sym3490914312200228029Bior33456512315400235029

由表1可以看出，雖然Sym3與Bior3.3小波可以達到最低的壓縮比，但是綜合考慮重建數據準確率的情況下，其性能不夠優秀。現對MSE差距最大的2個小波9/11小波與Haar小波進行簡要分析。圖5為采用Haar小波進行二維小波變換后的圖像，圖6為其對應的直方圖。圖7為采用9/11小波進行二維小波變換后的圖像，圖8為其對應的直方圖。

圖5 二維電能質量信號經過haar小波分解后的圖像(5層)Fig.5 The haar wavelet decomposition of the image of the two-dimensional power quality signal(5layer)

圖6 二維電能質量信號Haar小波分解后的圖像的直方圖(5層)Fig.6 The haar wavelet decomposition of the histogram of the two-dimensional power quality signal(5layer)

圖7 二維電能質量信號經過9/11小波分解后的圖像(5層)Fig.7 The 9/11 wavelet decomposition of the image of the two-dimensional power quality signal(5layer)

圖8 二維電能質量信號9/11小波5層分解后的圖像的直方圖(5層)Fig.8 The 9/11 wavelet decomposition of the histogram of the two-dimensional power quality signal(5layer)

由圖5～圖8可以看出，2種小波對二維電能質量信號進行小波變換后圖像的直方圖有很大差異，采用9/11小波的直方圖更集中，而采用haar小波的直方圖存在相對比較的非零點。因為小波變換后系數的零點越多，越能達到更高的壓縮比，這也是消失距這一屬性對壓縮性能影響的很好體現。圖9顯示了相應小波還原后圖像與原圖像的對比。

圖9 重建圖像與原始圖像對比Fig.9 Reconstruction of the image with the original image contrast

5.3 實驗結果誤差分析

經過以上實驗可知，二維電能質量諧波信號采用9/11雙正交小波分解與EZW算法相結合的壓縮方法可以達到0.32%的壓縮率(小波分解層數為5，EZW算法循環層數為6)。圖10和圖11就解壓信號與原信號的相對誤差進行了分析，因為信號是多周期的采樣數據，所以只需觀測第1周期的相對誤差。

圖10 二維相對誤差Fig.10 Two-dimensional relative error

圖11 壓縮信號與原信號的相對誤差(第1周期)Fig.11 Relative error of the compressed signal and the original signal(first cycle)

圖12 原始信號與解壓信號對比圖(第1周期)Fig.12 The original signal and the decompressed signal contrast(first cycle)

從圖中可以看到，經過壓縮還原的信號的精度完全滿足要求。圖12為還原信號與原始信號的對比圖。

6 結 語

在分析現有電能質量擾動數據壓縮算法的基礎上，為了充分利用二維矩陣數據間的相關性，采用二維電能質量數據與EZW編碼方法相結合的壓縮轉換方案。在分析了小波的數學特性(消失距、正則性、緊支性、對稱性和正交性)各方面對數據壓縮的影響后，將9/11小波用于電能質量數據的壓縮試驗，在對數據進行5層二維小波分解并且EZW編碼算法循環次數為6的條件下，在滿足誤差精度的前提下，達到了0.32%的壓縮比。仿真證明此種方法可以有效壓縮電能質量的諧波數據，并且滿足實時性要求。此外，因為二維數據壓縮可以極大壓縮周期間數據的冗余度，所以如果加長采樣周期，如每個周期采樣256點，采樣512個周期組成256×512的矩陣，通過這種方式可以進一步提高壓縮比。

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