基于BIBD的多進(jìn)制準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼構(gòu)造

劉 冰，吳東偉，崔 潔，張用宇

(中國(guó)人民解放軍91469部隊(duì)，北京 100841)

0 引 言

多進(jìn)制低密度奇偶校驗(yàn)碼(low-density parity-check，LDPC)及其迭代譯碼算法(q-ary sum-product algorithm，QSPA)由Davey和Mackay于1998年首次提出[1]，相比于二進(jìn)制LDPC碼，其具有更好的差錯(cuò)性能優(yōu)勢(shì)，但這卻是以更高的譯碼復(fù)雜度為代價(jià)換取來的，正是這種譯碼的高復(fù)雜度制約了多進(jìn)制LDPC碼構(gòu)造的發(fā)展。基于FFT的QSPA譯碼算法(FFT-QSPA)的提出[2]有效解決了多進(jìn)制LDPC碼譯碼高復(fù)雜度的弊端，同時(shí)也促進(jìn)了多進(jìn)制LDPC碼構(gòu)造方法的研究。

多進(jìn)制LDPC碼的性能與校驗(yàn)矩陣H的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。對(duì)于構(gòu)造H方法，大體可以分為基于計(jì)算機(jī)搜尋的隨機(jī)構(gòu)造法[3]和基于代數(shù)和幾何的結(jié)構(gòu)化方法[4-7]兩大類。構(gòu)造多進(jìn)制LDPC碼的校驗(yàn)矩陣時(shí)，需要確定2個(gè)重要的參數(shù)，即非零值的位置和非零值的取值。只有當(dāng)構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣中非零值的位置和取值都具有一定結(jié)構(gòu)時(shí)，其矩陣才認(rèn)為具有結(jié)構(gòu)化的特性。一般而言，對(duì)二進(jìn)制隨機(jī)構(gòu)造的LDPC長(zhǎng)碼比等長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)化LDPC碼性能更好，然而也正因?yàn)槠湫ｒ?yàn)矩陣的隨機(jī)性，使得人們難以找到簡(jiǎn)單的編碼方法；相反，結(jié)構(gòu)化LDPC碼在碼的構(gòu)造、編譯碼復(fù)雜度以及存儲(chǔ)空間等方面較隨機(jī)LDPC碼有明顯優(yōu)勢(shì)。而多進(jìn)制LDPC碼在短幀時(shí)具有接近Shannon限的能力，表現(xiàn)出了其在短碼和中長(zhǎng)碼上所具有的優(yōu)勢(shì)，并且多進(jìn)制LDPC碼具有很好的糾錯(cuò)能力和較強(qiáng)的抗突發(fā)錯(cuò)誤能力。因此，如同構(gòu)造BCH碼和RS碼那樣，尋找系統(tǒng)的、綜合性能較好的多進(jìn)制LDPC碼的構(gòu)造方法成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

準(zhǔn)循環(huán)(qusic-cyclic，QC)作為一類非常重要的結(jié)構(gòu)化LDPC碼結(jié)構(gòu)，其特殊的循環(huán)結(jié)構(gòu)使得編碼可以采用移位寄存器在線性時(shí)間內(nèi)完成，譯碼可以采用計(jì)數(shù)器尋址，并且可以并行實(shí)現(xiàn)。Yu Kou[8]基于有限幾何理論首次提出了一種代數(shù)的、系統(tǒng)的二進(jìn)制LDPC碼構(gòu)造方法。L.Zeng[4-5]在二進(jìn)制QC構(gòu)造的基礎(chǔ)上首次提出了基于有限幾何和有限域的多進(jìn)制準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼的系統(tǒng)化構(gòu)造方法。相比于RS碼而言，其構(gòu)造的碼字在加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise，AWGN)信道下可以取得很大的編碼增益。上述方法都是準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼的經(jīng)典構(gòu)造。組合設(shè)計(jì)是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問題，其中一種特殊的組合設(shè)計(jì)被稱為均衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)(balanced incomplete block design，BIBD)[9-10]。Bassem Ammar[9]將BIBD的一種特殊子類首次運(yùn)用于二進(jìn)制LDPC碼的設(shè)計(jì)中，而目前尚無將BIBD法應(yīng)用于構(gòu)造多進(jìn)制LDPC碼的相關(guān)文獻(xiàn)。

本文在BIBD構(gòu)造和廣義二維擴(kuò)展的基礎(chǔ)上提出三類基于BIBD的多進(jìn)制QC LDPC碼的構(gòu)造方法，該方法可以取得girth至少為6的規(guī)則多進(jìn)制QC-BIBD-LDPC碼。由于基于BIBD構(gòu)造多進(jìn)制校驗(yàn)矩陣時(shí)，其所構(gòu)造的伽羅華域值q是素?cái)?shù)或是素?cái)?shù)的冪，而采用低復(fù)雜度的FFT-QSPA譯碼時(shí)，只能對(duì)2的冪次域階數(shù)構(gòu)造的碼字進(jìn)行譯碼，因此在考慮到譯碼復(fù)雜度的前提下，采用BIBD構(gòu)造多進(jìn)制LDPC碼時(shí)會(huì)涉及到2個(gè)不同的高階域，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚怼?/p>

1 BIBD多進(jìn)制準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼

1.1 基本概念及構(gòu)造方法

令GF(q)為具有q個(gè)元素的有限域。多進(jìn)制規(guī)則LDPC碼C由多進(jìn)制稀疏校驗(yàn)矩陣H的零空間所定義，其具有以下結(jié)構(gòu)化性質(zhì)：

1)每行的重量為dc；

2)每列的重量為dv。無論是二進(jìn)制還是多進(jìn)制，LDPC碼的構(gòu)造都還需要增加一條性質(zhì)；

3)任何2行(或2列)之間位置相同的非零值的個(gè)數(shù)不大于1。

這樣構(gòu)造出來的校驗(yàn)矩陣規(guī)則，由其零空間給出的碼C稱為(dv,dc)規(guī)則LDPC碼。性質(zhì)3稱為RC約束，其保證了H的零空間給出的LDPC碼C的Tanner圖girth至少為6。如果H的行與(或)列具有不同的重量，那么H的零空間將給出一個(gè)非規(guī)則LDPC碼。

令G={x(1),x(2),…,x(q)}是具有q個(gè)元素的Abelian群。G的一個(gè)BIBD是指G的n個(gè)dv子集，記為B1,B2,…,Bn，稱為區(qū)組(Blocks)，它們滿足如下條件：

1)每個(gè)元素恰好在n個(gè)區(qū)組中的dc個(gè)出現(xiàn)；

2)任一元素對(duì)恰好在n個(gè)區(qū)組中的λ個(gè)出現(xiàn)；

3)每個(gè)區(qū)組中元素的個(gè)數(shù)dv與X中的元素總數(shù)q相比非常小。

1)其行對(duì)應(yīng)X的q個(gè)元素；

2)其列對(duì)應(yīng)該設(shè)計(jì)的n個(gè)區(qū)組；

3)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趇個(gè)元素xi屬于第j個(gè)區(qū)組Bj時(shí)，hij≠0且hij∈GF(q)，否則，hij=0。 這個(gè)矩陣被稱為基于GF(q)域設(shè)計(jì)的關(guān)聯(lián)矩陣H，H的列重和行重分別是dv和dc。

根據(jù)BIBD的第2個(gè)條件，H的2個(gè)行向量具有λ個(gè)公共的1分量。如果λ=1，H就滿足了LDPC碼所有定義的結(jié)構(gòu)化性質(zhì)，于是H的零空間給出了一個(gè)長(zhǎng)度為n的(dv,dc)規(guī)則LDPC碼，其Tanner圖中沒有長(zhǎng)度為4的環(huán)，這是基于BIBD最直接構(gòu)造LDPC碼的方法。

1)在s個(gè)區(qū)組中的sdv個(gè)元素中，dc個(gè)元素屬于q組中的一組；

2)s個(gè)區(qū)組中元素的差對(duì)稱重復(fù)，且每一個(gè)出現(xiàn)λ次。通過將G中每個(gè)元素逐個(gè)加到每一個(gè)區(qū)組B1,B2,…,Bs上，可以得到一個(gè)具有參數(shù)M=kq，N=sq，dc，dv和λ的BIBD。

由于采用BIBD構(gòu)造校驗(yàn)矩陣中的循環(huán)陣大小都是素?cái)?shù)的冪pm，將BIBD構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣擴(kuò)展到多進(jìn)制上，可直接在GF(pm)域上進(jìn)行，即在BIBD決定的位置上隨機(jī)或有規(guī)律地填入GF(pm)域中的非零值。但這種方法構(gòu)造出的多進(jìn)制LDPC碼只能采用QSPA算法或其衍生算法來譯碼，而不能采用低復(fù)雜度的FFT-QSPA譯碼算法，采用QSPA算法存在的缺陷是復(fù)雜度較高，不利于工程實(shí)現(xiàn)。應(yīng)用FFT-QSPA的前提是域的階數(shù)必須為2的冪次，因此，構(gòu)造基于BIBD多進(jìn)制LDPC碼時(shí)需要綜合考慮編譯碼復(fù)雜度等實(shí)際情況。此時(shí)會(huì)涉及到GF(pm)和GF(2l)兩個(gè)域，多進(jìn)制LDPC碼校驗(yàn)矩陣非零值的位置由GF(pm)域上的BIBD設(shè)計(jì)決定，而非零值的取值由GF(2l)域決定。這2個(gè)域的具體關(guān)系如下：(2l-1)·(rt-1)

其中[·]表示向上取整。

令β是GF(2l)域的本原元。將BIBD區(qū)組的多進(jìn)制位置向量定義為z(Bi)=(z0,z1,…,zpm-1)， 其向量取值對(duì)應(yīng)的是GF(2l)域中的pm個(gè)元素，其中zi=βimod(2l-1)，i∈Bi，其他所有分量為0。Bi中的元素稱為位置數(shù)，決定著校驗(yàn)矩陣中非零值的位置。因此，z(Bi)是GF(2l)域上的pm重向量，其重量為區(qū)組Bi中所包含元素的個(gè)數(shù)。

多進(jìn)制位置向量z(Bi+1)定義為位置向量z(Bi)向右循環(huán)移一位，第1列至第pm-1列的元素右移后乘以β得到第2列至第pm列的元素，而最后1列元素右移后乘以βrt(2l-1)-(pm-1)后得到第1列元素。多進(jìn)制位置向量z(Bi+j)定義為區(qū)組Bi中元素依次加非零值j∈GF(pm)后得到取值在GF(2l)域的多進(jìn)制位置向量。這樣，在GF(2l)域上可形成以Bi，Bi+1，…，Bi+pm-1的位置向量為行的多進(jìn)制pm×pm大小的循環(huán)陣Q。所以，Q是根據(jù)區(qū)組Bi的廣義二維pm重?cái)U(kuò)展：

(2)

根據(jù)上述基本概念和提出的規(guī)則，可以由基本區(qū)組Bi進(jìn)行廣義二維pm重?cái)U(kuò)展得到多進(jìn)制準(zhǔn)循環(huán)矩陣。由于多進(jìn)制校驗(yàn)矩陣非零值的位置和數(shù)值的選取分別是建立在GF(pm)和GF(2l)兩個(gè)不同域上，元素的位置由GF(pm)域來確定，而元素的數(shù)值在GF(2l)域內(nèi)選取。因而構(gòu)造出的二維pm重矩陣Q在GF(2l)域上一般具有域元素分布不均的特性。上述廣義二維擴(kuò)展方法充分考慮了編碼和譯碼的復(fù)雜度，從工程的角度出發(fā)更有利于實(shí)際應(yīng)用。

1.2 I類QC-BIBD-LDPC碼

1)I-A類設(shè)計(jì)

令t是滿足12t+1=pm的1個(gè)正整數(shù)，其中p是1個(gè)素?cái)?shù)，m是1個(gè)正整數(shù)。假設(shè)GF(pm)域有1個(gè)本原元α滿足α4t-1=αc，其中c是一個(gè)小于pm的正奇數(shù)。于是，對(duì)于具有kq=12t+1個(gè)元素的集合X，存在一個(gè)BIBD，它有N=t(12t+1)個(gè)區(qū)組，每個(gè)區(qū)組由dv=4個(gè)元素組成，每個(gè)元素恰好在dc=4t個(gè)區(qū)組中出現(xiàn)，每個(gè)元素對(duì)恰好在λ=1個(gè)區(qū)組中出現(xiàn)。用GF(pm)域的元素α-∞=0,α0=1,α,α2,…,α12t-1來表示集合X的12t+1=pm個(gè)元素。于是，X的BIBD可由下述t個(gè)基本區(qū)組完全確定：

Bi={0,α2i,α2i+4t,α2i+8t}。

(3)

其中0≤i

H=[Q0,Q1,…,Qt-1]。

(4)

由于λ=1，并且H具有廣義循環(huán)形式，因此，H的零空間給出了一個(gè)長(zhǎng)度為N=t(12t+1)的QC-BIBD-LDPC碼，其girth至少為6。對(duì)于1≤v≤t，可以靈活地選擇v個(gè)循環(huán)陣Q0，Q1，…，Qv-1來構(gòu)造如下矩陣：

(5)

表1在素域GF(12t+1)中本原元α滿足α4t-1=αc時(shí)參數(shù)的取值

Tab.1 A list parameters that the prime field CF(12t+1) has a primitive elementαsuch that the conditionα4t-1=αcholds

t12t+1(α，c)113(2，1)673(5，33)897(5，27)

2)I-B類設(shè)計(jì)

與I-A類設(shè)計(jì)相似，令t是滿足20t+1=pm的1個(gè)正整數(shù)，其中p是1個(gè)素?cái)?shù)。假設(shè)GF(pm)域有1個(gè)本原元α滿足α4t+1=αc，其中c是1個(gè)小于pm的正奇數(shù)。X的BIBD由下述t個(gè)基本區(qū)組完全確定：

Bi={α2i,α2i+4t,α2i+8t,α2i+12t,α2i+16t}。

(6)

表2在素域GF(20t+1)中本原元α滿足α4t+1=αc時(shí)參數(shù)的取值

Tab.2 A list of parameters that the prime field GF(20t+1)has a primitive elementαsuch that the conditionα4t+1=αcholds

t20t+1(α，c)241(6，3)361(2，23)12241(7，179)14281(3，173)21421(2，227)

1.3 Ⅱ類QC-BIBD-LDPC碼

令t是滿足4t+1=pm的1個(gè)正整數(shù)，即4t+1是1個(gè)素?cái)?shù)的冪。令k=3，GF(pm)域中的每個(gè)元素重復(fù)3次，可得到具有kq=3(4t+1)個(gè)元素的集合X。 假設(shè)GF(pm)域有一個(gè)本原元α滿足(αc+1)/(αc-1)=αd， 其中c和d是2個(gè)正奇數(shù)。于是，對(duì)于具有kq=3(4t+1)個(gè)元素的集合X， 存在1個(gè)BIBD，它的參數(shù)如下：M=3(4t+1)，N=3t(4t+1)，dv=4，dc=4t，λ=1。 于是，X的BIBD由下述基本區(qū)組完全確定：

其中0≤i

Ⅱ類BIBD設(shè)計(jì)的廣義多進(jìn)制循環(huán)矩陣H具有如下形式：

(8)

其中，

M=[M1,M2,…,Mt]，

(9)

C=[C1,C2,…,Ct]。

(10)

式中：Mi和Ci為(4t+1)×(4t+1)的廣義循環(huán)矩陣；O為一個(gè)(4t+1)×t(4t+1)零矩陣；循環(huán)陣Mi和Ci分別是通過將GF(pm)域中的每個(gè)元素逐個(gè)加到第i個(gè)基本區(qū)組Bi中的前2個(gè)元素和后2個(gè)元素上而得到部分塊的廣義二維pm重?cái)U(kuò)展。Mi和Ci的行重和列重都為2。

表3 在素域GF(4t+1)中本原元α滿足(αc+1)/(αc-1)=αd時(shí)參數(shù)的取值

對(duì)于2≤v≤t，可以分別刪除矩陣M，C和O中的后t-v個(gè)循環(huán)陣，這樣可以得到3個(gè)新的矩陣去替代原來的M，C和O，其形式如式(8)所示。H(2)的零空間給出的是II類多進(jìn)制QC-BIBD-LDPC碼，碼長(zhǎng)為N=v(4t+1)， 最小距離至少為5。表3給出了部分t， 4t+1，α和c的取值表，以使在素域GF(4t+1)中存在滿足(αc+1)/(αc-1)=αd的本原元α。

1.4 Ⅲ類QC-BIBD-LDPC碼

令t是滿足4t+1=pm的1個(gè)正整數(shù)，其中p是1個(gè)素?cái)?shù)。令k=5，GF(pm)域中的每個(gè)元素重復(fù)5次，可得到具有kq=5(4t+1)個(gè)元素的集合X。 假設(shè)GF(pm)域有一個(gè)本原元α滿足(αc+1)/(αc-1)=αd， 其中c和d是2個(gè)正奇數(shù)。于是，對(duì)于具有kq=5(4t+1)個(gè)元素的集合X， 存在一個(gè)BIBD，它的參數(shù)如下：M=5(4t+1)，N=5t(4t+1)，dv=5，dc=5t，λ=1，X的BIBD由下述基本區(qū)組完全確定：

(11)

其中，0≤i

Ⅲ類BIBD設(shè)計(jì)的廣義多進(jìn)制循環(huán)矩陣H具有如下形式：

其中M和C如式(9)和式(10)所示，D=[D1,D2,…,Dt]， 具有與M和C相同的形式。循環(huán)陣Mi，Ci，Di分別是通過將GF(pm)中的每個(gè)元素逐個(gè)加到第i個(gè)基本區(qū)組Bi中的前2個(gè)元素、接著的中間2個(gè)元素、最后1個(gè)元素0上而得到部分塊的廣義二維pm重?cái)U(kuò)展。通過刪除后t-v個(gè)循環(huán)陣得到H(3)，其零空間給出的是Ⅲ類多進(jìn)制QC-BIBD-LDPC碼，碼長(zhǎng)為N=5v(4t+1)，最小距離至少為6。

2 仿真結(jié)果及性能分析

本節(jié)給出上述由BIBD構(gòu)造出的多進(jìn)制QC-BIBD-LDPC碼采用FFT-QSPA譯碼時(shí)的性能，并與相同比特長(zhǎng)度的RS碼進(jìn)行比較。所有仿真中的信號(hào)均采用BPSK調(diào)制，且在雙邊功率譜密度為N0/2的AWGN信道中傳輸。譯碼采用FFT-QSPA算法且最大迭代次數(shù)設(shè)置為50。

圖1 采用FFT-QSPA譯碼的128-ary (146,74) QC- BIBD-LDPC碼和采用BM算法GF(28)域上的 (128,64) RS碼的誤碼和收斂性能Fig.1 Error performances and rate of decoding convergence of the 128-ary(146,74)QC-BIBD-LDPC code decoded with the FFT-QSPA and the(128,64)RS code over GF(28) decoded with the BM algorithm

對(duì)于Ⅱ類多進(jìn)制QC-BIBD-LDPC碼，取t=9，v=9，rt=13，可設(shè)計(jì)出1個(gè)111×999的多進(jìn)制校驗(yàn)矩陣H(2)， 其列重和行重分別是4和8。H(2)的零空間給出1個(gè)碼率為0.8919的4-ary (999,891) QC-BIBD-LDPC碼。為了與其他方法構(gòu)造的多進(jìn)制和二進(jìn)制LDPC碼比較，給出了同比特長(zhǎng)度的4-ary (999,888) Mackay LDPC碼、二進(jìn)制(1998,1776) Mackay LDPC碼以及GF(28)域上(250,222)RS碼的誤碼和迭代性能比較。可以看出,相比于二進(jìn)制LDPC碼來說構(gòu)造出的多進(jìn)制LDPC碼在誤碼和迭代性能上所具有的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于不同構(gòu)造方法相同參數(shù)的多進(jìn)制LDPC碼，采用FFT-QSPA譯碼復(fù)雜度是相同的(復(fù)雜度為O(qlog2q))，且低于QSPA譯碼算法(復(fù)雜度為O(q2))，高于二進(jìn)制信度傳播(belief propagation，BP)譯碼算法(復(fù)雜度為O(1))。對(duì)于Ⅲ類多進(jìn)制QC-BIBD-LDPC碼，取t=3，v=2，rt=1， 可設(shè)計(jì)出碼率為0.5的16-ary (130,65) QC-BIBD-LDPC碼。這類LDPC碼的FFT-QSPA和RS碼BM算法的誤碼性能和迭代性能如圖3所示，可以得出與Ⅰ類和Ⅱ類多進(jìn)制BIBD-LDPC碼相似的結(jié)論。

圖2 4-ary (999,891) QC-BIBD-LDPC碼、4-ary (999,888) Mackay LDPC碼和GF(28)域上的 (250,222)縮短RS碼的誤碼和迭代性能比較Fig.2 Error performances and average numbers of iterations for the 4-ary(999,891)QC-BIBD-LDPC code,4-ary(999,888) Mackay LDPC code and the(250,222)shortened RS code over GF(28)

圖3 采用FFT-QSPA譯碼的16-ary (130,65) QC- BIBD-LDPC碼和采用BM算法GF(27)域上的 (74,38)縮短RS碼的誤碼和迭代性能Fig.3 Error performances and average numbers of iterations of the 16-ary(130,65)QC-BIBD-LDPC code,decoded with the FFT-QSPA and the(74,38)shortened RS code over GF (27)decoded with the BM algorithm

3 結(jié) 語(yǔ)

在應(yīng)對(duì)突發(fā)噪聲和混合類型噪聲上，多進(jìn)制碼比二進(jìn)制碼更為有效。對(duì)于隨機(jī)噪聲以及突發(fā)噪聲和干擾同時(shí)存在的通信系統(tǒng)或數(shù)據(jù)存儲(chǔ)系統(tǒng)來說，多進(jìn)制LDPC碼是一種現(xiàn)代高效糾錯(cuò)碼。本文提出的基于BIBD的多進(jìn)制LDPC碼的構(gòu)造方法，首先在素域GF(pm)上構(gòu)造出基本區(qū)組，然后對(duì)這些區(qū)組在GF(2l)域進(jìn)行廣義二維pm重?cái)U(kuò)展得到相應(yīng)的多進(jìn)制校驗(yàn)矩陣。在提出規(guī)則的框架下構(gòu)造出的多進(jìn)制LDPC碼具有廣義QC特性，編碼和譯碼復(fù)雜度低，其Tanner圖沒有長(zhǎng)度為4的環(huán)路，采用低復(fù)雜度FFT-QSPA譯碼時(shí)具有很好的性能。仿真結(jié)果表明，構(gòu)造出的多進(jìn)制QC-BIBD-LDPC碼具有快速收斂的特性，在性能上相比于同比特長(zhǎng)度的RS來說具有明顯的編碼增益。所以，在通信和存儲(chǔ)應(yīng)用領(lǐng)域本文提出的多進(jìn)制LDPC碼具有替代RS碼的潛能。

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