利用剪切效應原理計算雙模量材料的性能參數解

吳曉，楊立軍，黃志剛

（湖南文理學院 土木建筑工程學院，湖南 常德，415000）

利用剪切效應原理計算雙模量材料的性能參數解

吳曉，楊立軍，黃志剛

（湖南文理學院 土木建筑工程學院，湖南 常德，415000）

采用材料力學原理證明作用在雙模量梁上的橫向載荷對中性軸位置沒有影響。在考慮剪切效應的基礎上，建立雙模量梁彎曲的微分方程，推導出雙模量梁的撓曲線表達式。研究結果表明：利用三點彎曲法及四點彎曲法可方便地求出雙模量材料的性能參數；該測定雙模量材料的性能參數的試驗方法簡便可行而且精度較高，可同時測出雙模量梁的彎曲剛度及剪切剛度，且能夠保證彎曲剛度與剪切剛度具有相同的實驗精度；該試驗方法不但可以測定雙模量材料的性能參數，而且可以測定復合材料的性能參數和各向同性材料的性能參數，具有較強的通用性。

剪切效應；雙模量；材料；彎曲

在工程實際中，許多材料都具有拉壓彈性模量不同的雙模量特性。文獻[1?4]分析了雙模量材料板的變形；文獻[5?7]分析了雙模量材料板、圓柱殼的動力特性；文獻[8]對一種在多工況載荷下的雙模材料進行了優化設計；文獻[9]采用細觀力學研究了雙模量泡沫材料等效彈性模量；文獻[10?11]研究了雙模量材料的本構關系；文獻[12?15]對雙模量材料結構彎曲及扭轉變形進行了計算分析，而對雙模量材料進行計算分析的前提條件是要先確定雙模量材料的彈性模量等性能參數?？梢?，對雙模量材料結構進行計算設計，測定雙模量材料的彈性模量等性能參數是非常必要的。文獻[16]采用單軸拉伸及壓縮試驗測定了有機玻璃的拉伸及壓縮彈性模量，然后，利用應變公式推算出了有機玻璃的剪切彈性模量。文獻[17]利用三點彎曲法、四點彎曲法測定了復合材料的彎曲模量，利用平面剪切試驗測定了剪切彈性模量。GB/T 5166—1998（《燒結金屬材料和硬質合金彈性模量測定》）[18]規定對試樣超聲波縱向振動進行激發，然后測定其固有的共振頻率，以此來推算試樣的彈性模量。文獻[19]研究了WC-Co超細硬質合金的超聲波無損檢測；文獻[20]綜述了WC-Co 硬質合金的彈性性能。超聲波縱向振動法雖然是無損測試，但成本比較高，在生產實際中不便于推廣使用。為此，本文作者在考慮剪切效應的基礎上，利用三點彎曲法及四點彎曲法測定有機玻璃外伸簡支梁的中點及端點的撓度，并根據測定的中點及端點的撓度計算剪切剛度。同時，為了說明本文方法在測定各向同性材料中性能參數的應用，還測定了硬質合金彈性模量和剪切彈性模量。

1 中性軸位置的確定

雙模量梁在橫向載荷作用下彎曲時，會形成彈性模量不同的拉伸區和壓縮區，由彈性理論可知雙模量梁彎曲時的應力和應變關系為

式中：E1和E2分別為雙模量梁受拉、受壓彈性模量；ρ為雙模量梁彎曲曲率；σ1和σ2分別為雙模量梁拉應力和壓應力；y為雙模量梁橫截面內與中性軸垂直的軸的坐標。

圖1 載荷作用下雙模量梁Fig. 1 Bimodulous beam under loads

假設圖1所示雙模量簡支梁在任意載荷作用下發生彎曲變形，以A點為力矩支點可知：式中：RB為簡支梁在支座B的支反力；P，m和q（x）分別為作用在簡支梁上的任意集中荷載、力矩和分布荷載；l為簡支梁跨度；b為集中荷載作用點的坐標；c和d分別分布荷載始、末點坐標。

由式（2）可以求得簡支梁的支反力RA和RB為

簡支梁的支座約束反力確定后，即可方便寫出簡支梁任意截面的彎矩表達式M（x）。

由彈性理論可知雙模量梁彎曲時橫截面內力應滿足以下關系：

雖然雙模量梁在任意載荷作用下其橫截面彎矩在不同梁段是不相同的，但其曲率是軸向坐標的函數且與梁高無關，將式（1）代入式（4）得：

式中：h1為拉伸區高度；h2為壓縮區高度；h=h1+h2；

由以上推導可知：雙模量梁中性軸的位置與作用在其梁上的橫向載荷無關。

2 雙模量梁撓曲線表達式

考慮剪切效應的影響時，可知雙模量梁的撓度為彎曲撓度wb與剪切撓度wc之和，即

式中：αs為剪切系數；G為剪切彈性模量；A為橫截面積；Q為剪力。

由式（7）可知剪切效應產生的曲率為

對式（9）連續進行積分可得：

式中：A0和A1為積分常數，可利用梁邊界條件確定。以三點彎曲法、四點彎曲法為例，可知雙模量簡支梁的邊界條件為

以圖1所示的雙模量簡支梁為例，當梁中點僅有集中載荷P作用時，由式（10）和（11）可求得梁中點撓度為

3 雙模量性能參數的計算原理

對于圖2所示雙模量外伸簡支梁，由Betti-Rayleigh互等定理可知有下式成立：

式中：wOT為T力分別作用在梁端A和D點時梁中點的撓度；wAP和wDP分別為P力作用在梁中點時A和D點的撓度。

圖2 雙模量外伸簡支梁Fig. 2 Bimodulous overhang

從圖2（a）可知：w=w=H。 所以，當T=時，

APDP式（13）可化為

當T力作用在圖2（b）所示的A和D點時，梁BC段為純彎曲，因此，梁BC段內彎曲曲率處處相等，由材料力學理論可求得：

由式（14）和（15）可知雙模量外伸簡支梁的彎曲剛度為

將式（16）代入式（12）可得：

當a=l/3時，式（17）可化為

式（18）表明：當a=l/3，即圖2（b）所示雙模量外伸簡支梁四點彎曲時，其中點撓度恰好與圖2（a）所示的雙模量外伸簡支梁三點彎曲時的中點撓度的彎曲撓度相等，所以，當wOP經試驗確定為已知時，即可確定雙模量梁的剪切剛度為

4 雙模量性能參數的實驗結果

由于有機玻璃是典型的雙模量材料，因此，以有機玻璃為例作為本文實驗方法的應用示例。文獻[16]測定出的有機玻璃彈性模量E1=1.72×105MPa，E2=2.95×105MPa，然后，根據實驗測定出的彈性模量計算出的剪切彈性模量G=0.798 8×105MPa。本文實驗有機玻璃試件的寬度b=10 mm，加載載荷P= 2 kN。根據以上計算原理，設計本文實驗方案見圖3，實驗測定出的有機玻璃梁A和D點的撓度H及中點撓度wOP的實驗結果見表1和表2。

將表1有機玻璃梁A和D點的撓度H的實驗結果及表2中有機玻璃梁的中點撓度wOP代入式（16）和（19），可計算出有機玻璃梁的彎曲剛度D及剪切剛度C，具體結果可表3和表4。

圖3 實驗方案Fig. 3 Experimental program

表1 h=5 mm時有機玻璃梁A和D點的撓度H實驗結果Table 1 Experimental results of point A and D deflection H of perspex beam mm

表2 h=5 mm時有機玻璃梁的中點撓度wOP的實驗結果Table 2 Experimental results of midpoint deflection wOP of perspex beam when h is 5 mm mm

將文獻[16]中測定出的有機玻璃彈性模量代入式（5）可知D=23.042 4 N·m2，而表3所示有機玻璃的彎曲剛度實驗結果平均值D=23.024 0 N·m2，兩者相對誤差為0.08%。將表4中的有機玻璃梁的剪切剛度實驗結果代入式（19），可知有機玻璃剪切彈性模量平均值G=0.812 5×105MPa，文獻[16]根據實驗測定出的彈性模量計算出的剪切彈性模量G=0.798 8×105MPa，兩者相對誤差為1.72%。由以上實驗結果及計算結果可以看出：本文實驗結果與文獻[16]中的實驗結果較吻合，這說明本文測定雙模量材料性能參數的實驗方法簡便可行，精度較高，而且可以同時測出有機玻璃梁的彎曲剛度及剪切剛度，能夠保證彎曲剛度與剪切剛度具有相同的實驗精度。

為了進一步證明本文方法的可靠性且在測定各向同性材料中性能參數的應用效果，下面以廈門金鷺特種合金股份有限公司生產的硬質合金精磨圓棒作為試樣，硬質合金試樣直徑d=3 mm。圖3所示的外伸簡支梁跨距l=30 mm，外伸長a=10 mm。本試驗在CMT5305電子萬能試驗機上進行，試驗壓力示值誤差在±0.5%以內，撓度分辨率為0.015 μm，儀器精密度等級為0.5級。對試樣與支承之間進行潤滑，在梁中點用壓頭施加壓力使梁發生彎曲產生撓度。當壓力為0～100 N時，壓頭加載速度為0.5 mm/min；當壓力大于100 N時，加載速度為0.25 mm/min，加載載荷P=500 N。硬質合金試樣的具體牌號見表5，合金中Co質量分數以RTP配料中Co質量分數代替。由于第1次測試的撓度結果通常誤差較大，所以，試驗只采用第2～5 次測試的撓度試驗結果，并計算測試的撓度平均值。試驗測試的撓度平均值見表6和表7。將表6中測試梁上A和D點撓度wAP和wDP平均值代入式（16）即可算得硬質合金的彈性模量E，見表8。同理，將表7中測試梁上O點撓度wOP平均值代入式（19）即可算得硬質合金的剪切彈性模量G，見表9。

分析表5～9可以看出：隨著硬質合金中Co質量分數的增大，硬質合金外伸簡支梁的中點撓度逐漸增大，而硬質合金彈性模量和剪切彈性模量逐漸減小，即硬質合金彈性模量剪切彈性模量隨著Co質量分數的增大而減小。表9中的試驗結果與文獻[21]中硬質合金等效彈性性能預測方法計算結果變化趨勢基本一致，但文獻[22]中的預測方法是利用數學模型進行理論計算得出，顯然其得到的結果是近似的。表9中的試驗結果與文獻[22]中的結果較吻合，這說明本文利用三點彎曲法測定硬質合金材料性能參數得到的試驗結果是可靠的。

表3 h=5 mm時有機玻璃梁的彎曲剛度D實驗結果Table 3 Experimental results of shear stiffness D of perspex beam when h is 5 mm N·m2

表4 h=5 mm時有機玻璃梁的剪切彈性模量實驗結果Table 4 Experimental results of shear modulus of perspex beam when h is 5 mm

表5 試樣的硬質合金牌號、WC 平均晶粒度和硬質合金中Co的名義質量分數Table 5 Trade-name, average WC granularity and nominal cobalt mass fraction of cemented carbides

表6 試樣的硬質合金的A和D點撓度H的測量結果Table 6 Experimental results of point A and D deflection H of cemented carbides mm

表7 試樣的硬質合金的中點撓度wOP的測量結果Table 7 Experimental results of midpoint deflection wOP of cemented carbides mm

表8 試樣的硬質合金彈性模量E 計算結果Table 8 Calculation results of elastic modulus E of cemented carbides GPa

表9 試樣的硬質合金的剪切彈性模量G的計算結果Table 9 Calculation results of shear modulus G of cemented carbides GPa

以上試驗結果表明：本文測定雙模量、各向同性材料的性能參數的實驗方法簡便可行而且精度較高，可同時測出雙模量、各向同性材料梁的彎曲剛度及剪切剛度，且能夠保證彎曲剛度與剪切剛度具有相同的實驗精度。該實驗方法不但可以測定雙模量、各向同性材料的性能參數，而且可以測定復合材料的性能參數，所以，該實驗方法具有較強的通用性，完全可以在實際工程中推廣使用。

5 結論

（1） 采用材料力學原理證明了作用在雙模量梁上的橫向載荷對中性軸位置無影響。

（2） 在考慮剪切效應的基礎上，建立了雙模量梁彎曲的微分方程，推導出雙模量梁的撓曲線表達式。利用三點彎曲法及四點彎曲法，即可方便地求出雙模量材料、各向同性材料的性能參數。

（3） 本文測定雙模量、各向同性材料的性能參數試驗方法不但簡便可行，精度較高，而且可以同時測出雙模量、各向同性材料彈性模量、剪切彈性模量，能夠保證雙模量、各向同性材料彈性模量、剪切彈性模量具有相同試驗精度。本文的試驗方法具有較強的通用性，可以在實際工程中推廣使用。

（4） 本文利用三點彎曲法及四點彎曲法的實驗方法不但可以測定雙模量材料、各向同性材料的性能參數，而且可以測定復合材料的性能參數。

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（編輯 陳燦華）

Calculating performance parameters of bimodulous material with shear effect principle

WU Xiao, YANG Lijun, HUANG Zhigang
（College of Architecture & Civil Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China）

It was proved that lateral loads acting on bimodulous beam have no effect on the position of the neutral axis. Considering the shear effect, the differential equation of bimodulous beam bending was established, and the deflection expression of bimodulous beam was deduced. The results show that performance parameters of bimodulous material can be easily obtained with three-point bending method and four-point bending method. The experimental method for the determination of bimodular materials performance parameters is simple and feasible and has high precision, which can simultaneously measure the bending mode of the beam stiffness and shear stiffness, and can ensure the bending stiffness and shear stiffness of the same precision. The performance parameters of the experimental method can not only determine bimodular materials performance parameters, but also measure composite material performance parameters and isotropic material, which shows this method has strong universality.

shear effect; bimodulous; material; bending

O341

A

1672?7207（2014）02?0609?06

2013?04?10；

2013?06?27

湖南省科技計劃項目（湘財企指[2011]65號）；湖南省“十二五”重點建設學科資助項目（湘教發2011[76]）

楊立軍（1976?），男，湖南邵陽人，副教授，從事結構振動理論研究；電話：15873665127；E-mail：yanglj9601@163.com