基于魯棒性的船體中橫剖面多目標優化

彭清風，王德禹，王紅霞

上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

0 引 言

魯棒性，是指目標函數對于解的設計參數或環境參數微小變化的不敏感性，即當解的設計參數或環境參數有較小的變化時，變化后的點仍屬于可行解，且相應的目標函數值的變化量未超出許可范圍。自1978年日本的田口博士提出魯棒設計思想以來，魯棒性設計在鋼鐵、汽車和控制等工程領域得到了廣泛應用，產生了巨大的經濟效益。

雖然魯棒性思想已被廣泛應用于許多領域，但其在船舶領域內的應用卻并不多。周繼勝和張圣坤［1］將自適應步長搜索法與魯棒設計相結合，以客船為研究對象，以甲板縱桁屈曲和中內龍骨屈曲失效模式對材料彈性模量與板厚的變異系數為目標函數對結構進行了魯棒性優化設計；于利磊等［2-3］提出了基于理想點法的雙目標魯棒設計；程遠勝等［4-6］針對不確定量，對不符合概率性分布的情況做了大量研究；駱偉等［7］以主甲板處的最小剖面模數對主甲板的厚度的偏導數最小為目標函數，對浮式生產儲油船的中橫剖面進行了基于魯棒性的優化設計；Diez 和Peri［8］提出了一種基于不可控變量的散貨船魯棒優化的概念設計，給出了魯棒設計的一般數學表達式，約束采用最壞情況分析法，最后將其與粒子群算法相結合。

但是，作為大型復雜結構，船體結構特性和載荷響應若采用經驗公式則過于簡單，無法精確考慮結構各部分之間的相互影響和局部特性，因此，有必要采用有限元方法進行船體結構分析，精確分析其結構特性和結構響應，并將其作為船舶結構優化中的目標函數或約束特性值。本文擬將魯棒優化的思想與有限元分析相結合，提出一種基于高精度近似模型的多目標粒子群優化算法，利用多目標優化中的Pareto 思想，將魯棒性優化問題轉化為兩個子目標優化問題，即優化問題的最優性和魯棒性。并以一艘多用途船為優化對象，選取多用途船的橫剖面尺寸作為離散設計變量進行魯棒性優化，然后將結果與傳統的確定性優化結果進行對比，以驗證所提方法的有效性。

1 結構魯棒性優化設計原理

魯棒性優化的一般描述如定義1。

定義1：魯棒性優化問題。

魯棒性優化的目的就是尋找X'，以使式（1）達到最優。式中：X=(x1，x2，x3，…，xn)，為決策向量，其中Ω ∈Rn， Ω為可行空間 ；δ=(δ1，δ2，δ3，…，δn)，為擾動向量，其中n 為決策向量的維數。

定義2：魯棒最優解。

魯棒性優化的魯棒最優解包含兩方面的含義：魯棒性（Robustness）和最優性（Optimality），

因此，魯棒性優化問題實際上是多目標優化問題。 它可以描述為：

式中：f（X）為解的最優性；fR（X）為解的魯棒性；X，XU和XL分別為設計變量及其上、下界；gj（X）為m 個約束中的第j個約束。

解的魯棒性通常可以采用蒙特卡羅積分在解的附近進行抽樣，用樣本的平均值近似表示出魯棒性函數。具體表示如下［9］：

式中：ξj為第j 個樣本；N 為樣本的規模。

在實際生產中，受各種因素的影響，板厚和梁截面尺寸等結構參數均呈概率分布，因此對基于魯棒性的船舶結構中剖面結構優化而言，決策向量即為結構的縱向板材板厚和梁截面尺寸等結構參數。而魯棒性優化設計的目標則為在魯棒性最佳與解最優之間尋求折中的結構性能函數，例如，結構重量或在一定載荷下的應力等。

2 優化算法的基本原理

2.1 粒子群優化算法

粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是一種新的全局優化進化算法，最早被應用到設計變量為連續型的優化問題中。其位置和速度更新公式為：

式中：xi為第i 個粒子的位置；vi為第i 個粒子的速度；k 為迭代次數為粒子i 直至第k 次迭代的歷史最優位置；pk，g為所有粒子直至第k 次迭代的歷史最優位置；w 為慣性權重；r1，r2為介于［0，1］之間的隨機數；c1，c2為學習因子。

受工程制造的標準化等方面的限制，船舶的板厚等結構參數均取離散值，因而中剖面結構優化從本質上來說就是一種離散變量優化問題。對離散設計變量優化問題而言，其算法需要在每次迭代之后對位置取整［10］，即其速度更新公式與式（5）相同，位置更新公式修改為下式：

2.2 支持向量機概念

支持向量機（Support Vector Machine，SVM）是由Vapnik 等［11-12］首先提出的一種新型機器學習方法。支持向量機最初應用于模式識別工作，后來引入“不敏感損失函數”，發展出用于函數估計的支持向量回歸（Support Vector Regression）方法。下面，將簡要介紹支持向量回歸方法的基本原理。

給定樣本集D={(xi，yi)|i=1，2，···，l}，其中：xi∈Rn，為n 維輸入樣本；yi∈R，為輸出樣本。支持向量回歸的目的是通過訓練樣本，用回歸函數f(x)=wx+b 擬合輸入樣本與輸出樣本之間的關系，考慮允許擬合誤差，引入非負松弛因子ξi和將函數的擬合問題轉化為優化問題：

式中，C 和ε 為控制逼近函數VC 維的自由參數。

利用最優化方法的對偶原理，可以轉換得到對偶形式為：

式中，α 和α*為拉格朗日乘子。

由式（9）和式（10）可以得到支持向量機擬合函數為

非線性回歸使用非線性映射，將數據映射到高維特征空間進行線性回歸，在高維特征空間用核函數替代線性問題中的內積運算，即

最后得到的支持向量機擬合函數為

2.3 優化過程

將以上方法相結合，針對設計變量均為離散型的特點，本文基于MATLAB 軟件編寫了一種搜索魯棒最優解的多目標粒子群優化算法。其具體算法如下：

1）初始化粒子群，將初始位置作為每個粒子的歷史最佳pi。

2）計算每個粒子的目標函數值，并將目標函數值作為適應度值。本文采用蒙特卡羅積分原理，在每代中每個粒子的每一維的±5%區間進行均勻取樣，得到100 個樣本值，利用式（3）構造出了每個粒子的魯棒性函數fR(X)。

3）篩選粒子群中的非劣解放入精英群中。當迭代次數小于最大迭代次數時：

（1）按照式（5）和式（6）對速度和位置進行更新，若某一維超過了邊界，則重新對該維進行初始化；

（2）以一定的幾率對當前粒子的所有維進行變異處理，然后依據第2）條得出目標函數值及適應度值；

（3）篩選本次迭代結果中的非劣解集，并將其與之前的非劣解集合并；

（4）對合并得到的非劣解集進行篩選，得出新的非劣解集；

（5）從非劣解集中挑選出相對較優的非劣解放入精英集中。本文中，控制精英集的個體數不超過40。

4）從最終的精英集中挑選出符合實際需要的魯棒性最優解。

圖1 所示為粒子群優化算法的基本流程。

圖1 粒子群優化算法基本流程Fig.1 Basic process of PSO algorithm

3 多功能船的中剖面魯棒性優化

3.1 多功能船的主要參數

本文研究所建立的模型為618TEU 多用途船貨艙區域的一個艙段，此多用途船主要裝載集裝箱和礦石等散裝貨物，船總長132.9 m，型寬19.3 m，型深9.9 m，設計吃水7.4 m，航速12 kn，共3 個貨艙區域。艙段所受載荷及約束均根據船舶參數和載貨情況按照《中國船級社散貨船結構強度直接計算指南》確定。

圖2 設計變量分布圖Fig.2 Distribution of design variables

3.2 設計變量

考慮到船體板對船體強度和船體重量的影響較大，同時船體縱向骨材較多，為簡化問題，本文將主要探究船體板厚尺寸不確定性的影響。取中剖面中板的厚度為設計變量，每種板材以其原始厚度為中心，步長為1 mm，取5 種離散厚度作為設計變量的取值范圍，板厚設計變量共16 個，而骨材的尺寸和間距則作為已知量。設計變量的基本信息如表1 和圖2 所示。

3.3 約束條件

當約束條件為板的中面應力和梁的軸向力時，均需小于許用應力。依照規范選取，對板和梁分別按許用應力大小進行歸類，共得到6 個約束條件，同時，控制船體的總重量不得超過設定的值。令每次有限元計算所得的應力值與許用應力值之差為g(X)，與總重量和設定的總重量的值之差為m(X)，即要求

表1 設計變量信息表Tab.1 The information table of design variables

在程序中，對上述違反約束的情況將通過罰函數的形式表現出來。

3.4 目標函數

根據前期的分析，得出該艙段的最大應力非常大，且非常接近于許用應力，而由于生產誤差和腐蝕老化的影響，易導致板厚的尺寸偏離初始設計值，板厚尺寸的變化將直接影響艙段的最大應力值，甚至有可能會出現最大應力值變大超出許用應力的情況。為了降低最大應力對板厚尺寸變化的敏感性，選擇將最大應力值fσ(X)和與其對應的魯棒性函數fR(X)作為多目標優化的目標函數。即

3.5 支持向量機近似模型

在求解本次優化問題時，每次迭代都需要進行長時間的有限元分析，以獲得目標函數值和約束特性值。為了提高效率，可以建立結構的近似模型，以代替有限元分析進行優化設計。為了建立支持向量機近似模型，需要采用有限元分析獲取一定數目樣本的輸入—輸出關系。有限元分析由Isight 驅動MSC.Patran 修改模型，驅動MSC.Nastran 自動計算。采用拉丁方法收集2 100 個樣本點，前2 000 個樣本用來建立支持向量機近似模型，后100 個樣本用于檢驗近似模型的精度，計算檢驗樣本有限元分析值與支持向量機近似值的相對平均誤差（Relative Mean Error，RME）。近似模型的精度分析結果如表2 所示。

表2 近似模型精度分析Tab.2 Precision analysis of approximation model

從表2 中可以看出，近似模型的精度較高，可為下一步的優化提供良好基礎。

3.6 基于魯棒性的優化設計結果

本次優化基于支持向量機近似模型與多目標粒子群優化算法，設置迭代次數為50 次。其中，每代粒子數目取為50，采用慣性權重遞減的策略，初始慣性權重為0.9，最終慣性權重為0.4，變異的幾率設為5%。一共得到了40 個Pareto 最優解，Pareto 解用散點表示在圖3 中。通過分析，從以上非劣解前沿曲線中選擇5 組設計方案作為魯棒最優解，對應的目標函數以及設計變量的結果如表3 所示。最后，采用傳統的粒子群優化設計方法對船體結構分別進行以船體總重量和最大應力為目標的單目標確定性優化，其優化結果亦如表3 所示。其中，Mopt表示以船體總重量為目標函數的單目標優化結果，Sopt表示以最大應力為目標函數的單目標優化結果。

由表3 中的各優化方案可以看出，經過魯棒性優化設計后，中橫剖面的魯棒性能變得更好，艙段的最大應力對設計變量的敏感性均有較大程度的降低，特別是方案5 的魯棒性得到了極大的提高，同時，各個方案的最大應力相對于初始設計值也有所減小。另外，值得注意的是，經過以上5 種優化設計方案優化后，得到的船體總重量相對于初始設計的船體總重量也有少許的減小。然后，通過評估傳統單目標優化方法得出的優化結果可以知道，和前面的5 種設計方案相比，船體中剖面的魯棒性變得較差，艙段的最大應力對設計變量很敏感，容易發生最大應力超出許用應力的情況。總體而言，以上5 種方案的優化效果均較明顯，達到了優化目的。

圖3 Pareto 解集圖Fig.3 Pareto solution sets

表3 優化結果Tab.3 Optimization results

4 結 論

1）本文將有限元分析與魯棒性思想相結合，以有限元分析得出的結構響應值為基礎，采用支持向量機的方法建立了高精度的近似模型。利用近似模型，得出魯棒性優化中的目標函數值或約束特性值。同時，通過采用蒙特卡羅積分模擬魯棒性指標函數，采用編寫的粒子群多目標優化算法完成對船舶中橫剖面的魯棒性優化，得到了滿意的魯棒解，說明此方法可行。

2）常規優化解多處于可行域的邊界上，或者不具有足夠的魯棒性，設計變量發生微小的波動，目標函數即會發生變化，其優化解有可能不在可行域中，而變為非可行解。因此，傳統的優化中需要考慮設計方案的魯棒性問題。

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