基于奇異強度理論的疲勞特性評估方法

高嵩，徐麗，Nigel BARLTROP，王大政

1 交通運輸部水運科學研究院，北京100088

2 哈爾濱工業大學（威海）船舶與海洋工程學院，山東威海264209

3 斯特萊斯克萊德大學 船舶與海洋工程系，英國格拉斯哥G4 0LZ

0 引 言

各種類型的海洋工程結構在海上作業時，都會受到交變的波浪載荷作用，致使結構拐角節點處產生應力集中現象，萌生疲勞裂紋，最終造成疲勞破壞；因此，研究結構拐角節點處的應力集中至關重要。

考慮到應力集中程度取決于焊趾周邊的結構尺寸，其函數形式并不明確，疲勞強度與垂直于裂紋擴展方向的法向應力場有關，法向應力場又忽略了每個尺寸下的應力增長和焊接的影響，所以大部分船級社規范都應用了S-N 曲線方法。雖然S-N 曲線法結合利用應力集中系數求取的計算應力可估算結構的疲勞壽命，但無法給出裂紋擴展時間歷程。而基于斷裂力學法的Paris 裂紋擴展法則能針對任意時刻給出裂紋擴展情況。Yung等［1］對應力集中最顯著的結構（拐角過渡半徑為0）進行研究發現，為求取實際應力分布，需要考慮焊趾或焊根處拐角半徑尺寸的影響，否則，就要考慮應力奇異性（無窮大應力）。Maddox［2］和Gurney［3］為了在疲勞分析中考慮焊趾幾何形狀的影響，應用斷裂力學方法，結合應力強度因子（SIF）求解了裂紋擴展率，同時針對實時檢測缺陷和未被發現的假想裂紋缺陷問題，將疲勞應力應用于結構壽命評估。但是，由于微裂紋萌生時間較長、裂紋太小，因此，應用線彈性斷裂力學方法分析疲勞裂紋擴展受到限制。為此，學者們研究了不同于斷裂力學法和S-N 曲線的新方法，即切口應力強度因子理論（N-SIF）。

Williams［4］最早研究了裂紋尖端的應力場并得到了解析函數，此后，Gross 等［5］研究了N-SIF 理論并拓展了用來描述裂紋尖端應力場的SIF 定義，用其來描述V 型鋒利角處的應力場。Lazzarin等［6-7］對不同構件進行定量分析，得到了應力場與結構尺寸相關的函數并加以驗證，應用時，結果雖準確，但函數眾多，參數選取復雜，計算繁瑣。因此，高嵩和徐麗等基于N-SIF 理論，簡化了結構拐角處應力函數及參數的選取，定義了“奇異應力函數”［8］（見式（1）），引入了與結構尺寸相關聯的奇異強度as 概念，同時，分別針對薄板直角結構和135°拐角結構給出了與結構幾何尺寸的關系函數as=min（H/2，L/25）［9］和as=min［t（H/h）0.1/6，（2h+L）/8］［8］（式中：t 為受載板高，H 為非受載板高，L 為非受載板長，h 為肘板高，單位均為m，如圖1 所示）。

式中：q=3p-0.5，p 取決于拐角處角度［4］，其中，直角結構p=0.455，135°拐角結構p=0.326；x 為到拐角的距離；as 為表征奇異點特性的長度量（奇異強度）；σn為均布拉伸名義應力，進而可求得本文所研究的135°薄板拐角結構（圖1）中應力分析線上沿Y 方向的應力分布，并結合S-N 曲線進行疲勞特性分析。

圖1 受分析的結構邊緣Fig.1 The edge of structure for analyzing

本文擬在上述研究的基礎上，基于N-SIF 理論并結合S-N 曲線與線彈性斷裂力學方法，給出通過由結構尺寸決定的奇異強度as 直接計算應力集中系數SCF 的方法。該方法將簡化復雜參數的選取，并將考慮焊趾尺寸對拐角應力的影響，最終利用奇異強度即可直接計算SIF、應力集中系數SCF 及拐角處的節點應力，從而提供一種僅利用結構幾何尺寸的簡便方法。分析時，將采用ANSYS 數值模擬和MathCAD 數據擬合，最后得到本文“奇異強度理論”，希望能納入船舶相關規范中做參考。

1 奇異權函數法

基于線彈性斷裂力學，在結構拐角節點處萌生裂紋后，需確定臨界裂紋尺寸、裂紋擴展速率及疲勞壽命，并依據斷裂判據進行校核。因此，求解與其相關的SIF（單位：MPa·m1/2）至關重要。在應力場中，如果裂紋區域的權函數已知，那么裂紋擴展過程中的SIF 可見式（2）［10］：

式中：h(x，a)為取決于構件幾何形狀的權函數；σ(x)為無裂紋構件中沿預期裂紋擴展線的奇異應力分布，即式（1）；a 為計算裂紋尺寸；x 為擴展線上節點至裂紋尖端的距離。

因此，只要得到權函數就可積分求解SIF。針對圖1 所示的本文研究的135°薄板拐角結構，得到“奇異權函數”并以此計算SIF，此法命名為“奇異權函數法”。考慮到裂紋左邊與肘板相連，可近似為半無限裂紋［11］，裂紋右邊可近似為邊緣裂紋［12］，可得到在裂紋兩邊均受載情況下，半無限裂紋的權函數近似于式（3）［11］，邊緣裂紋的權函數近似于式（4）［12］，最終的奇異權函數利用上述兩個權函數的平均值近似估算，簡化后的結構如圖2 所示。

式中，D0和D1是基于無限小裂紋情況，利用Fett 權函數［12］進行取值，但考慮到結構的奇異性，在裂紋尺寸小于0.2 倍受載板高t（此例t=2 m）的條件下，需對式（4）進行修正（裂紋尺寸過大結構將失效），得到修正因子Q。分析發現，權函數式（4）是針對邊緣裂紋而言，而邊緣裂紋的形狀系數Y=1.12 已知，因此可以直接利用邊緣裂紋計算SIF 的一般公式擬合得到Q，結果見表1。

圖2 拐角處裂紋權函數的近似法Fig.2 Weight function approximation of cracks at the corners

表1 權函數法下的參數選取Tab.1 Parameter selection under the weight function method

式（4）可進一步簡化，舍去參數D0和D1，并直接修正得到式（5）：

對比式（4）與式（5）計算的SIF（圖3）發現，二者差別很小。

圖3 奇異權函數公式與邊緣裂紋的SIF 公式的結果比較Fig.3 Comparison of calculated SIFs by using singular weight function method and the edge crack SIF equation

最后，利用權函數式（3）與式（5）之和的平均值得到135°拐角處的權函數，見式（6）。

綜上，在已知拐角處的奇異應力分布式（1），和奇異權函數式（6）后，可利用式（2）來求解SIF。圖4 示出了用3 種不同的權函數計算的SIF，從圖中可以看出，用奇異權函數法得到的SIF 介于用Fett 和Paris & Sih 權函數計算的SIF 之間，這是由于奇異權函數綜合體現了裂紋上、下表面應力分布奇異性的結果。

圖4 各權函數計算的SIF 結果比較Fig.4 Comparison of SIF calculation results by using different weight functions

注意，如果以邊緣裂紋計算得到的SIF 公式替代Fett 權函數修正式計算得到的SIF（Fett 權函數是針對邊緣裂紋提出的），進而與Paris & Sih 權函數計算得到的SIF 求和取平均值，結果將出現較大誤差，如圖5 所示。這是由于本文奇異強度理論下的奇異權函數考慮了奇異強度影響下的奇異應力而進行積分計算，其表現了裂紋上、下表面應力分布的奇異性，但邊緣裂紋計算的SIF 在無裂紋時，無應力集中。而在圖1 所示的拐角節點處，即使裂紋不存在，仍舊存在應力集中現象，其應力就是本文的奇異應力，所以無法替代計算。

圖5 邊緣裂紋的SIF 公式替代結果比較Fig.5 Comparison of SIF alternative results for edge cracks

2 奇異等效裂紋法

圖6 回歸Y 值比較Fig.6 Comparison of regression Y values

考慮到135°拐角處的應力分布函數（∝1/r0.326）與裂紋尖端應力分布函數（∝1/r0.5）相近，且其他度數拐角結構與裂紋尖端也有相似性（∝1/rp）［4］，故將拐角近似成一等效裂紋長度ae，并以此為參量來做相應的分析。這樣，拐角處裂紋的計算長度a 為實際裂紋長度ac 與等效裂紋長度ae 之和，見式（7），同時應力強度計算見式（8）。

式中，σy可根據式（1）求得，通過回歸，發現Y 與ae 將隨著ac 而改變（表2），所以這樣的公式形式也不易確定。為使奇異等效裂紋與奇異強度理論相關聯，所以利用奇異強度as 來近似估算等效裂紋長度ae，并通過回歸估算出Y=1 時ae=0.35as，從而得到奇異等效裂紋初始公式

式中，D=0.35。

表2 Y 與ae 準確的擬合結果Tab.2 Accurate fitting results of Y and ae

圖7 顯示了利用式（9）計算的SIF。由圖中可看出，式（9）計算結果在一定范圍內與ANSYS 結果擬合較好，誤差小于5%，但越趨近于裂紋尖端差別越大，且ac=0時式（9）并未給出Kae=0。

圖7 等效裂紋初始公式下的SIFFig.7 SIFs of equivalent crack under the initial formula

鑒于此，定義式（9）的適用范圍（ac≥q·as），而對于小裂紋情況（ac＜q·as），則需修正初始公式以滿足ac=0 時Kae=0 的要求。因此，建立了實際裂紋y 軸與計算裂紋x 軸的關系曲線，并將實際裂紋用修正的as 替代進行分析，見圖8。同時考慮建立冪函數曲線式（10），并認為其反函數式（11）是所需計算裂紋尺寸a 的最終解。

圖8 裂紋關系分析Fig.8 Analysis of crack relationships

由圖8 可知，在x=(D+q)·as 處y=q·as，故

為保證修正曲線順利過渡到臨界值，得

這樣就確定了小裂紋（ac＜q·as）SIF 的修正函數式（15），及計算SIF 的奇異等效裂紋最終函數，即ac＜q·as時采用式（15），ac≥q·as時采用式（9）。

式中：q=0.2；D=0.35。其既滿足實際裂紋尺寸ac=0 時Kae=0 的要求，又保證了曲線過渡節點處數值相等且相切，如圖9 所示。

圖9 等效裂紋函數分析Fig.9 Analysis of equivalent crack functions

圖10 對應用不同方法計算出的SIF 進行了比較。結果顯示：對于二維135°拐角結構，ANSYS的數值計算結果與奇異權函數法及等效裂紋概念的簡化方法得出的結果擬合較好，遠端最大差別均不超過5%，考慮到裂紋尖端網格劃分的影響后，在無限趨近于裂尖處，差別均不超過10%，可見奇異權函數法和奇異等效裂紋法均可以保證一定的計算準確性，同時奇異等效裂紋法與奇異權函數計算的結果擬合度較高，進一步利用解析法驗證了結果的可靠性。

3 奇異強度疲勞特性評估

圖10 計算SIF 的方法比較Fig.10 Comparison among different SIF calculation methods

實際應用中，通常將有限元分析結果與S-N曲線相結合來進行疲勞評估，并存在不同的疲勞應力分析方法。在名義應力法中，是將結構幾何效應和焊接引起的應力集中都結合S-N 曲線進行分析，這樣應力計算簡便準確，但需要大量的試驗才能確定S-N 曲線，成本很高。目前大部分船級社采用的熱點應力法中，結構幾何效應引起的應力集中被放入應力計算中考慮，并通過有限元分析得到結果，焊接引起的應力集中則仍放入S-N曲線加以分析，這樣可減少試驗次數，降低成本，但如何將幾何效應和焊接引起的應力集中分離開較為復雜。而切口應力法中，結構幾何效應和焊接存在引起的應力集中都是通過應力計算分析，試驗最少并且只需得到材料的S-N 曲線。

這里的奇異強度as 是通過結構幾何尺寸定義的，進而得到奇異應力［8］，因此考慮了結構尺寸效應影響的應力集中，同時該理論也將結合S-N 曲線的試驗結果（基于BS 7608 規范［13］選取材料參數m 和C，考慮了焊接引起的應力集中），進而分析得到“奇異應力集中系數”SCFas，其與名義應力之積即為拐角節點應力，從而滿足了切口應力的定義。此外，由于Lazzarin 等［6-7］研究的N-SIF 理論針對的是切口應力，而這里的奇異強度理論是基于Lazzarin 等［6-7］的研究，同時對Williams［4］計算應力時復雜參數的選取進行了簡化，并以奇異強度as 取而代之，所以也可以說是切口應力。在求得切口應力后，即可通過臨界應力校核，或者繼續分析得到應力強度因子并與材料的斷裂韌性比較，分析是否滿足結構強度。

已知S-N 曲線中的E 曲線可用于外載垂直于焊縫的沒有結構奇異性的對接焊結構［13］；因此，本文選其作為基準S-N 曲線，對于任何結構都將采用此基準S-N 曲線進行疲勞壽命分析，其中不同結構形式以及不同應力成分的影響將通過下文定義的SCFas來體現。

為了得到該SCFas，首先基于Paris 裂紋擴展法則［11］的斷裂力學方法對結構進行疲勞分析，得到其疲勞壽命。然后，應用S-N 曲線中的E 曲線得到同樣的疲勞壽命，為此，必須將結構的名義應力乘以一個應力集中系數，這樣就可以確定不同尺寸拐角結構相應于此S-N 基準線（此處選取E 曲線）的應力集中系數，而不需要針對不同的結構形式選取不同的S-N 曲線。具體計算方法如下。

例如，圖1 中的結構，as=0.2 m（as 定量，由H，h，L，t 計算），σn=100 MPa，實際裂紋尺寸ac 變化（0.25～267.95 mm），裂紋擴展方向受載板高t=2 m。在上述條件下采用奇異等效裂紋法分析疲勞特性，步驟如下：

1）已知高強度鋼材料的斷裂韌性KC=104 MPa·m1/2，計算臨界裂紋尺寸aC=268 mm。

2）將應力幅值結合奇異等效裂紋法計算奇異應力強度因子幅值Δ Kas，由于Δ Kas=Kmax-Kmin，Kmax和Kmin是由疲勞循環過程中最大應力與最小應力計算得到，且脈動循環過程中最小應力習慣取0（無裂紋SIF 亦為0），所以ΔKas即Kmax，可利用奇異等效裂紋法計算，結果如圖11 所示。

3）基于BS 7910 規范［14］要求，針對奧氏體（室溫平衡基體組織）在內的鋼材，選擇暴露于空氣中且非腐蝕良性環境下的相應參數，即A=5.21×10-13，m=3，并由式（16）計算裂紋擴展率，結果如圖12所示。

4）由于ΔN=Δ a/（da/dN），因此可計算分析裂紋擴展到不同尺寸所需的循環次數（圖13），并得到結構達到臨界裂紋尺寸aC時結構的疲勞壽命Nae=323 433 次。

圖11 應力強度因子幅值Fig.11 Stress intensity factor range

圖12 裂紋擴展速率Fig.12 Crack growth rate

圖13 裂紋擴展所需的循環次數Fig.13 Number of cycles required for crack propagation

若利用奇異權函數法進行分析，圖14 給出采用了兩種方法計算的裂紋擴展速率與疲勞壽命的比較結果，發現奇異等效裂紋法的裂紋擴展率較小，疲勞壽命較大。如果以此為標準并結合S-N曲線，則選取應力結果偏小（S-N 曲線應力與疲勞壽命成反比）。若以此為設計應力，則更易達到規范要求，這里采用奇異等效裂紋法分析SCF。

圖14 等效裂紋法與權函數法疲勞特性結果比較Fig.14 Comparison of fatigue characteristics between equivalent crack method and weight function method

對于同一結構，如果應用S-N 曲線中的E 曲線來得到同樣的疲勞壽命，則應力必須乘以一集中系數，這里定義為“奇異應力集中系數”SCFas，見式（17）。式中：Nae為通過Paris 裂紋擴展法［11］求解得到的結構疲勞壽命；σn為名義應力；常數m=3，C=1.04×1012，基于BS 7608 規范［13］選取；SCFas可根據以上已知量進行計算，見式（18）。

圖15 給出了不同尺寸拐角結構（不同as 值）對應的E 曲線的SCFas。可以看出，SCFas與奇異強度成正比（奇異強度與結構尺寸相關）。這是因為結構尺寸較大時，奇異應力場高，應力區較大，裂紋擴展時間較長，擴展速度較快，結構的疲勞壽命變短，所以對應的E 曲線的SCFas就會變大。

圖15 E 曲線的SCFas與as的關系Fig.15 Relationship between SCFas and as with E curve

為了更容易地確定SCFas，這里回歸得到SCFas的計算式（19）。將計算結果與原始計算值進行比較（圖16），發現擬合較好，最大差別小于3%。

式中：A=0.841 27；B=3.476 55/mm-C；C=0.374 23；as的單位為mm，SCFas為無量綱參數。

圖16 擬合結果和原始計算所得SCFas的比較Fig.16 Comparison of SCFas between fitting results and initial calculations

這里介紹的SCFas是以S-N 曲線中的E 曲線為基準，即對任一具有奇異性的結構，如果知道as，即可應用圖15 或式（19）得到與E 曲線相對應的SCFas，進而得到切口應力并與E 曲線結合查得疲勞壽命。

此外，在名義應力定性的前提下，也可得到結構疲勞壽命與奇異強度as的關系（圖17）。

目前應用的S-N 曲線方法是基于結構的型式，結構的SCF 有時需要通過光彈性試驗來獲得。本文提及的SCFas既包含了結構奇異性的影響，也包含了不同結構型式的影響。通過與已知的S-N 曲線結果比較，直角結構估算的類似SCFas誤差在5%以內，見表3［15］，證明了該法的可行性。

圖17 疲勞壽命與奇異強度關系Fig.17 Relationship between fatigue life and singular strength

表3 直角結構估算的類似SCFas的對比Tab.3 Comparison of similar SCFas for cartesian structure

4 切口應力等效取值法

以切口應力強度因子理論為背景，對Lazzarin等［6］求解的切口區域的應力場函數進行簡化，得到奇異應力函數式（1）［8］，進而變換為式（20），并定義“切口等效應力集中系數”SCFσ，同時將上述SCFas值等價于SCFσ來計算，進而利用奇異應力函數計算拐角處的切口應力。

由式（1）和式（20）可知SCFσ滿足式（21）的關系，并可求得拐角處的切口應力（x=0）。但是，很明顯，當x=0 時式（21）無解，所以只能在x→0 的前提下，以節點到拐角距離的近似值來等效x=0 的情況。例如，CCS 給出的熱點應力外插法，就是采用0.5z 和1.5z（z 為板厚）的線性外插值作為拐角節點處的熱點應力進行疲勞壽命分析。同時在已知的結構中，as 已知，SCFas等價于SCFσ，因此，只需求得節點到拐角處的距離x 便可利用式（1）得到切口應力，為此，定義了“切口應力等效取值點”xas。

這里，基于上節奇異強度疲勞特性評估方法回歸得到取值點的位置xas，并利用最小二乘法擬合出切口應力等效取值點xas的分段函數式（22）。

式中：as和xas的單位為mm；A，B，C，D，E 見表4。

表4 切口應力等效取值點最小二乘法公式分段參數Tab.4 Segmentation parameters of squares formula for equivalent notch stress points

將式（22）得到的取值點位置與回歸的“準確”值比較，見圖18，發現取值點最大差別小于0.5%，擬合較好。同時將式（22）的結果代入式（21）計算SCFσ，并與SCFas回歸的“準確”值比較，發現最大差別小于0.2%，見圖18，結果較為準確。

圖18 切口應力等效取值點及應力集中系數的比較Fig.18 Comparisons of singular stress concentration factors and equivalent notch stress points

同時，繪制了等效取值點xas與奇異強度的關系曲線，見圖19。從圖中可以看出：當as 較小時（as＜1 m），等效取值點xas與板厚z 具有式（22）的關系，這是因為as 取決于結構幾何尺寸，當結構尺寸較小時，as 決定拐角尖端應力場的強弱；但隨著as 的增大，等效取值點收斂于0.4z（此系列板厚z=0.01 m），這是因為as 較大時，板厚相對于主體尺寸近似于無窮小并且對等效取值點的影響較大。所以，對本文奇異應力函數及奇異應力場集中系數SCFσ（式（21））而言，式（22）適用于as＜1 m的情況，當as≥1 m 時，xas=0.4z。

圖19 回歸得到的等效取值點Fig.19 Regression of equivalent points

值得注意的是，目前對于拐角處應力的近似，現有規范中常采用0.5z 和1.5z 的外插應力值作為拐角處的熱點應力，也有的采用0.5z 處的應力值作為拐角處的熱點應力，見圖20。本文通過比較裂紋擴展法則計算的疲勞壽命與S-N 曲線計算的疲勞壽命得到的應力取值點xas=0.4z可做參考。

圖20 拐角處應力分布及典型外插法的外插點位置Fig.20 Stress distribution of typical corners and extrapolation position

5 結 論

本文利用ANSYS 和MathCAD，基于切口應力強度因子理論對奇異強度理論進行了研究，通過對典型薄板結構拐角節點的應力集中、應力強度及結構的疲勞特性分析，得到以下結論：

1）利用權函數計算SIF 時，可將薄板結構拐角裂紋近似為半無限裂紋和邊緣裂紋，進而修正相應的權函數，并將上述權函數之和的平均值作為“奇異權函數”進行積分計算，得到SIF，命名為“奇異權函數法”。其結果經與ANSYS 結果比對，差別小于5%。

2）考慮到拐角處的應力分布函數（∝1/rp）與裂紋尖端應力分布（∝1/r0.5）相近，可將結構拐角近似成等效裂紋，并定義“奇異等效裂紋”來修正計算SIF 的裂紋尺寸，同時通過小裂紋函數的修正得到“奇異等效裂紋法”。其結果經與ANSYS結果比對，差別小于10%。

3）利用上述得到的SIF 進行了結構疲勞特性評估，計算了應力強度因子幅值、裂紋擴展速率與疲勞壽命，同時得到了計算切口應力的“奇異應力集中系數”的關系曲線與函數式，誤差小于3%，以便結合S-N 曲線進行疲勞評估。

4）基于切口應力強度理論，簡化奇異應力函數，得到了“切口等效應力集中系數”，用以計算拐角節點的切口應力，與回歸的“準確”值相比差別小于0.2%。同時，定義了“切口應力等效取值點”（xas=0.4z），與回歸的“準確”值相比差別小于0.5%。最終，提出“切口應力等效取值法”，可供基于有限元分析的應力集中分析做參考。

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