淺談初中數學中圖形的旋轉變換之解題應用

翁建輝

摘 要：圖形的旋轉是初中教學圖形變換的基本內容之一，通過旋轉改變位置后重新組合，然后作為全等變換，需要在新舊圖形之間找到其中的變量和不變量，從而在新圖形中分析出有關圖形間的關系，進而揭示條件與結論間的內在聯系，找到解題途徑。

關鍵字：圖形；旋轉變換；應用

圖形的旋轉這部分數學內容在教學過程中能讓學生“經歷圖形的抽象、分類、性質探索、運動、位置確定等過程”，更能使學生由感性認識向理性認識轉變去掌握“圖形與幾何的基礎知識和基本技能”。探索圖形之間的變換關系，靈活運用軸對稱、旋轉、平移進行圖形的變化，是近幾年中考中常見的題型。本文就圖形的旋轉知識淺談在解題中的應用。

一、利用圖形的旋轉變換巧妙構圖

運用圖形的旋轉變換解決實際問題，教師往往要根據問題的條件和結論，引導學生從圖形入手，分析題目的意圖，在結合旋轉變化過程中圖形的形狀不變（全等圖形）和旋轉變化的性質，鼓勵學生通過問題的條件和圖形，分析和觀察出圖形中的旋轉變換，達到解決問題的目的。這樣巧妙地運用圖形的旋轉變換，可以讓學生經歷圖形旋轉概念形成的過程，理解圖形旋轉的基本性質，深化對圖形旋轉概念的理解和運用。

例1.如圖1，四邊形ABCD是正方形，△ADE經順時針旋轉后與△ABF重合。

（1）旋轉中心是哪一點？

（2）旋轉了多少度？

（3）如果連接EF，那么圖1

△AEF是怎樣的三角形？

【分析】：（1）（2）小題，學生可直接經觀察寫出結果；對于（3）小題，先組織學生小組合作探究，利用已有的數學知識經驗：“經常判斷三角形的形狀有：等邊三角形、等腰三角形、直角三角形”，再根據圖形的旋轉性質，很容易讓學生發現連接EF，利用AE=AF，∠1=∠2，可得∠FAE=∠2+∠3=90°，進而得到△AEF是等腰直角三角形。

此題也可以拓展延伸，讓學有余力的學生思考，把題中的E點放在正方形內或外，再把△ADE繞A點按順時針方向旋轉90°，也可以判斷△AEF是等腰直角三角形。還可以引用：如廈門市06年的中考題目中的一題“如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補。（1）若BC>CD且AB=AD，請在圖5上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個正方形，并說明理由；（2）若CD=6，BC=8，S四邊形ABCD=49，求AB的值”，也可以結合上題的方法求解。

二、利用圖形的旋轉變換巧妙猜想

數學問題有了猜想，才會使問題充滿了魅力和活力。圖形的旋轉變換滲透在幾何變式問題之中，凸顯了數學猜想的重要作用。但數學猜想能力的培養要循序漸進，要通過不斷變式問題的訓練和學生觀察能力的培養，才能為猜想打下基礎，才能使學生養成從多個角度去分析問題、解決問題的習慣。這些能力的培養不僅有利于學生靈活掌握所學的圖形旋轉知識和相關正方形、等腰直角三角形的知識，也有助于培養學生良好的思維品質：觀察—類比—猜想—驗證。

例2.如圖3，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF，BD。（1）觀察圖形，猜想AF與BD有怎樣的關系，并證明你的猜想；（2）若將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題（1）中猜想的結論是否仍然成立？若成立，直接寫出結論，不必證明，若不成立，請說明理由。

【分析】：（1）小題可以通過小組合作探究、觀察，讓學生發現圖中隱含著旋轉變換，△ACF繞C點順時針旋轉90°，得到△BCD。從而猜想出AF=BD且AF⊥BD。這樣的猜想過程也為證明做好了鋪墊，很順利地使學生找到證明兩個三角形全等的條件，得到△ACF≌△BCD，推出AF=BD和∠AFC=∠BDC，再利用∠AFC+∠FGC=90°（AF與DC交點為G）得到AF⊥BD。（1）小題為（2）小題做好了鋪墊，學生就會按（1）小題的方法準確得出不同位置的正方形和等腰直角三角形的分類，通過學生的觀察、比較，猜想出結論：AF=BD且AF⊥BD。其中圖3（2）為CD邊在△ABC的內部時，圖3（3）為CF邊在△ABC的內部時。正方形CDEF繞點C旋轉時，使正方形CDEF的一邊落在△ABC內部，始終有AF=BD數量關系和AF⊥BD的位置關系。

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三、利用圖形的旋轉變換巧妙設計

圖形的旋轉變換如果和平移、軸對稱、中心對稱等相關知識結合在一起來設計問題，感覺很復雜，但若抓住圖形變換的規律，會發現第一種圖案的具體要求和變化，往往為下一步做好了鋪墊。下面這兩個例題，一是把分散的兩個圖形經旋轉集中到一個規則的圖形中，從而求解；二是考查學生的動手操作能力和靈活處理問題的能力，把不規則的圖形經旋轉、平移、軸對稱、中心對稱變為美麗、和諧、規律的圖形。解決這樣的問題會給學生帶來無窮的樂趣和遐想，也讓學生體會數學源于生活而又高于生活，感受到生活中許多問題可以用數學去審視它、研究它。

例3.如圖所示，四邊形ECFD為正方形，觀察圖形回答下列問題：

（1）請簡述由圖4（1）變換為圖4（2）的變換過程。

（2）若AD=4，BD=6，求S△ADE+S△BDF。

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【分析】：兩個小問題中，（1）題學生很容易發現，關鍵是（2）題要讓學生借助（1）題通過△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△A′DF的結論，讓學生從畫圖的過程中體會和發現分散求兩個三角形△ADE、△BDF的面積和的問題可轉化為求一個△A′DB的面積，從而得到結果。

例4.（2009.山西中考）已知每個網格中小正方形的邊長都是1，圖5（1）中的陰影圖案是由三段以格點為圓心，半徑分別為1和2的圓弧圍成。

（1）填空：圖5（1）中陰影部分的面積是____________（結果保留π）。

（2）請你以此圖為基本圖案，借助軸對稱、平移或旋轉設計一個完整的花邊圖案（要求至少含有兩種圖形變換）。

【分析】：本題（1）小題與上一題類似，學生通過觀察用例3的方法把圖中陰影的一部分經旋轉180°轉化為學生能夠直接求出弓形的面積。

（2）答案不唯一，如圖：

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四、利用圖形的旋轉變換巧妙轉化

在教學過程中，讓學生“動一動、做一做”，可讓學生感受到“概念是思維的細胞”，通過師生共同探究來解決下面這兩個題目的過程中，會讓學生深刻體會圖形旋轉變換的作用，感受到轉化的數學方法的靈活運用。從而使學生緊緊抓住旋轉變換后新圖形與原圖形所具備的性質，并結合正方形、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、特殊角的三角函數值，以動制靜，化繁為簡，幫助學生找到解題的途徑：“旋轉—轉化—證明（計算）”。

例5.如圖6，已知△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB上一點，求證：DB2+AD2=2CD2。

【分析】：解決旋轉問題主要抓住兩點：一是旋轉后的圖形與原圖形全等，二是利用好旋轉的角度。利用轉化的數學思想方法，將△ACD繞C點逆時針旋轉90°，再連接ED，將分散的線段DB、AD、CD化歸到兩個直角三角形△BDE、△CDE中，通過勾股定理得到ED2=DB2+BE2=DB2+AD2，進而得到ED2=CD2+CE2=2CD2。

例6.（2012萊蕪）如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點。將△ABC繞點A順時針旋轉α角（0°<α<180°），得到△AB′C′。

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（1）探究DB′與EC′的數量關系，并給予證明；

（2）當DB′∥AE時，試求旋轉角α的度數。

【分析】（1）小題由三角形中位線定理、旋轉的性質、AB=AC，可得△ADB′≌△AEC′，因此得DB′=EC′；（2）利用△ADB′≌△AEC′和DB′∥AE、∠BAC=90°可得∠B′DA=∠DAE=90°，從而∠C′EA=90°。把問題轉化到Rt△C′EA中，再應用銳角三角函數定義和特殊角的三角函數值就可容易求得旋轉角α的度數。

圖形的變化對培養學生的空間觀念和思維能力有著重要的、不可替代的作用，因此成為近年來中考命題的熱點之一。上述問題來源于教材，更多的來源于各地的中考試題，在解決這些問題時，關鍵要抓住圖形在旋轉過程中對應線段、對應角的大小不變、旋轉角度相等。這些不變量的性質和圖形旋轉過程中特殊的位置關系及特殊的圖形，使得上述題目在圖形旋轉過程中蘊含了豐富的數學知識點、數學的思維方法和圖形的美感。如例3、例4、例5幾個題目的圖形比較復雜，隱含著一些條件，這需要學生有一定的閱讀、理解、觀察、分析和操作的能力，才能發現圖形中隱含的類似條件“Rt△BDE”等，然后通過相關操作活動、概括和表達有關數學性質、推理與應用相關知識，才能達到解決問題的目的；例1是教材中的一個題目，在常規訓練過程中進行一些拓展，可以為今后學生遇到類似例2和例3這樣的題目做好鋪墊，大大地培養了學生的自信心，提高了學生的思維分析能力；例3、例4、例6這樣的題型背景多是來源于生活。從這里可以看出教師在教學過程中要重視學生已有的經驗，多以圖形的旋轉為中介尋求方法，體驗解決問題的過程。多創造問題情境，把三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等相關內容的知識通過圖形的旋轉有機地結合在一起，有計劃、有規律地讓學生多體驗從生活實際背景中提煉出數學問題、從復雜變化的圖形中通過圖形的旋轉來構建數學模型，達到解決問題、培養學生數學能力的目的。

？誗編輯 董慧紅