人造衛星的橢圓軌道和變軌問題探析

鄭禎惠

摘 要：隨著我國“神舟”系列宇宙飛船的成功發射和回收以及“神舟十號”與“天宮一號”的成功對接及我國實施的探月計劃，與航空航天有關的問題成為物理教學和高考的熱點。在中學階段，人造地球衛星問題主要是圓周運動問題，教師在教學中講得比較透徹，學生也比較容易理解，但在衛星沿橢圓軌道運行和變軌問題上，在教學實踐中，發現相當多的教師理解得不夠透徹甚至錯誤，更遑談學生能夠正確理解并掌握。先從數學角度簡單介紹橢圓的曲率半徑，再探究幾個常見的衛星沿橢圓軌道運行問題和衛星變軌問題。

關鍵詞：曲率；曲率半徑；橢圓軌道

天體的運行問題是高考的熱點問題，在橢圓軌道和變軌問題上，中學階段基本上都是做定性解釋，很少做定量計算，且在教學實踐中，一些學習優秀、善于思考的學生往往會在此類問題上提出更深層次的問題，如衛星在橢圓軌道的近、遠地點的向心加速度大小和不同軌道的向心加速度、速度大小怎么比較？在用Fn=m■、an=■求解時，在近、遠地點的“r”到底是哪個量？怎么求？雖然學生提出的問題有的已經超出中學生應當掌握的范圍，但是從激勵學生的探究需求出發，對一些優秀的學生在這些問題上可適當做些拓展，況且作為授業解惑的教師，也需要對這些問題有個清楚的認識。可是在教學實踐中發現一些教師由于在這些問題上認識不清甚至根本不知道，經常被學生問得手足無措而避而不談或者作出錯誤解釋，一些材料在這些問題上的解釋往往也是模棱兩可。若想對橢圓軌道的有關問題進行定量計算，首先必須對橢圓的曲率和曲率半徑等有關知識有清晰的認識。

一、橢圓的曲率半徑

1.曲線的曲率和曲率半徑

曲率是描述曲線彎曲的程度，曲線y=f（x）（設x=Φ（t），y=φ（t））的曲率的計算公式為k=■。如圖1所示，設k（k≠0）為曲線y=f（x）在點M處的曲率，圓C與曲線相切于M點，若CM=R=■，圓C稱為曲線在點M的曲率圓，圓C的半徑R則稱為曲線在點M的曲率半徑。故曲率半徑的計算公式為：

R=■=■———①（1）

2.橢圓的曲率半徑

如圖2，a是橢圓的半長軸，b是橢圓的半短軸，橢圓的參數方程為：x=acosθ，y=asinθ。把x′=-asinθ、x″=-acosθ、y′=bcosθ、y″=-bsinθ代入①式得：R=■，取不同的θ值可以求得橢圓不同位置的曲率半徑，比如把P（θ=0）和Q（θ=π）代入橢圓曲率半徑公式可得：P、Q兩點的曲率半徑均為■，A、B兩點的曲率半徑均為■。

二、有關橢圓軌道幾個問題的分析

1.橢圓軌道近、遠地點的速度大小的求解

例1.如圖3，某衛星繞地球沿橢圓軌道運行，地球所在的O點為橢圓的一個焦點，若a、b分別為地球中心到軌道近地點Q和遠地點P的距離。衛星在近地點的速率為vQ，求衛星在遠地點的速率vP？

錯解：衛星在近地點時有：G■=m■；衛星在遠地點時有：G■=m■

聯立上述兩式得：■=■，則vP=vQ■

產生上述錯誤解法的原因是沒有認識到開普勒行星運動定律與萬有引力定律的不同而盲目套用公式。a和b只是衛星在近、遠地點的引力半徑，而這兩點的曲率半徑都應該是■，所以產生錯解的更深層次的原因是把這兩種半徑混在了一起，那正確的解法又是怎樣的呢？

解法一：用橢圓的曲率半徑知識求解。

設P、Q兩點的曲率半徑為r

在近地點時有：G■=m■

在遠地點時有：G■=m■

聯立上述兩式得：vP=■vQ

解法二：用開普勒第二定律求解。

如圖4所示。設S1和S2分別為時間Δt內衛星與地心的連線在Q、P附近掃過的面積。當Δt很小時，S1、S2的面積也很小且兩個圖形近似是扇形，由扇形的面積公式可得：S1=■avQΔt，S2=■bvPΔt，根據開普勒第二定律S1=S2得：vP=■vQ。

例2.發射升空后的神舟飛船先在如圖5所示的橢圓軌道上運行，遠地點P距地球表面高度h1=347 km，近地點Q距地球表面高度為h2=200 km。vP、vQ分別是衛星在P點和Q點的速率，求vP、vQ的大小？（地球半徑R地=6370 km，地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2）。

解析：設r為P、Q兩點的曲率半徑，P點的引力半徑a=R地+h1=6717 km，Q點引力半徑b=R地+h2=6570 km。

則在P點：G■=m■①

在Q點：G■=m■②

在地球表面有：G■=mg③

P、Q兩點曲率半徑：r=■④

聯立①—④并代入數據得：vP=■■=7.65 km/s

vQ=■vP=7.82 km/s

上述解法用r=■求P、Q兩點曲率半徑，存在明顯錯誤，其實求得的是橢圓的半長軸，而不是橢圓在P、Q點的曲率半徑。從題目所給的已知條件，顯然無法求得P、Q兩點的曲率半徑，我們知道，當橢圓的長軸與短軸的大小非常接近時，可把橢圓近似看成圓，P、Q點的曲率半徑可用r=■近似求得，本題雖然屬于這種情形，但在解題時必須明確指出，否則就會產生誤導。

2.人造衛星變軌時的速度問題

例3.如圖6所示，在發射某同步衛星時，先讓衛星進入一個近地的圓軌道1，當衛星沿軌道1運行到P點點火，使衛星進入橢圓轉移軌道2，到達Q點時再次點火，使衛星進入指定的圓軌道3。圖中P、Q分別是橢圓軌道2的近、遠地點。1、2軌道相切于P點，2、3軌道相切于Q點。設衛星在軌道1上運行的速率為v1，在P點點火后的速率變為v2，使衛星進入軌道2運行，沿軌道2到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點瞬間加速后進入軌道3后的速率為v4，請比較v1、v2、v3、v4的大小。

在比較v1與v2、v3與v4的大小關系時，很多材料給出這樣的解釋：衛星要從軌道1變到軌道2上運行，就必須在P點瞬間加速，使得衛星所受萬有引力不足以提供向心力，衛星做離心運動到軌道2上，故v2>v1。同理，要想從軌道2上變到軌道3運行，就必須在Q點瞬間加速，故v4>v3。

在上面的解釋中，只是簡單地以“衛星所受萬有引力不足以提供向心力，衛星做離心運動”作為理由，在中學教學中做這樣的解釋也無可厚非，但這個解釋無法解開學生心中的疑惑，那應當怎樣分析才更具有說服力呢？P、Q兩點分別是衛星在橢圓軌道2的近、遠地點，如圖7所示。設衛星和地球的質量分別為M、m，P、Q到地心的距離（即引力半徑）分別為r1、r2，設r為軌道2的近、遠地點的曲率半徑，則FP=G■=m■，FQ=G■=m■（需要注意的是式中的r≠r1≠r2）。若衛星在圓軌道1上運行到P點不加速，就會在半徑為r1的圓軌道1上以速度r1一直運行下去。衛星在P點加速后，速度瞬間增大為r2，假設衛星還在原來的圓軌道1上運行，衛星軌道在P點的曲率半徑就沒有改變，還是r1，速度增大就會導致所需向心力增大，而萬有引力FP=G■在加速瞬間沒有改變，顯然已不足以提供向心力，衛星就會在P點做離心運動，最終會在在P點的曲率半徑為r（r>r1）的橢圓軌道2上運行。同理，衛星在Q點瞬間加速后，就會在Q點做離心運動，最終在在Q點的曲率半徑為r2（r2>r）的圓軌道3上運行。

3.橢圓軌道的向心加速度問題

例3.如圖8所示，橢圓為地球的某衛星繞地運行的軌道，其近地點A、遠地點B到地心的距離分別為c和d，求衛星在A、B兩點的向心加速度之比■。

解析：在A、B兩點，衛星所受引力提供向心力。則在A點：G■=maA，在B點：G■=maB，聯立上述兩式得：■=■。

其實，本題除了用以上方法求解外，也可以利用橢圓在A、B兩點的曲率半徑相等來求解，設A、B兩點的曲率半徑均為r、速率分別為vA∶vB，根據本文例1的結論可知：■=■，A點向心加速度aA=■，B點向心加速度aB=■，則■=■=■。這個解法不但驗證了上述解法，而且更具說服力。

參考文獻：

章棟恩，金元懷.高等數學[M].北京：中國標準出版社，1998-02.

？誗編輯 董慧紅