含參不等式恒成立問題解法漫談

焦海廷

摘 要：含參數不等式的恒成立求參數范圍問題常用解法：利用一次函數的性質去求參數；若二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0，x∈R）對一切實數恒成立，可由Δ<0與a=0，a>0，a<0結合求參數；若二次不等式在某一區間上恒成立，由二次不等式相應函數在這個區間上的最值求解，即f（x）≤a（或f（x）≥a）恒成立■ f（x）max≤a或f（x）min≥a是分離參數后，利用函數在這一區間上的最值求解；非二次不等式在某一區間上恒成立，由不等式分離參數后，利用函數在這一區間上的最值求解；某些不等式恒成立問題可轉換為求函數或不等式的最值問題，由此來求參數。

關鍵詞：含參不等式恒成立；分離參數；一次函數；二次函數；最值

“含參數不等式的恒成立”問題，是近幾年高考的熱點，涉及一次函數、二次函數的性質、圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種方法。

一、利用一次函數的性質去求參數。

例1.對于滿足p≤2的所有實數p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍。

解析：在不等式中出現了兩個字母：x及p，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關于p的一次函數大于0恒成立的問題。

不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0，設f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，則f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1.

∴x<-1或x>3.

二、若二次不等式f（x）=ax2+bx+c>0（a≠0，x∈R）對一切實數恒成立，可由Δ<0與a=0，a>0，a<0結合求參數。

例2.若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0。

（1）當m-1=0時，不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

（2）m-1≠0時，只需m-1>0Δ=（m-1）2-8（m-1）<0

所以，m∈[1，9）。

三、若二次不等式在某一區間上恒成立，由二次不等式相應函數在這個區間上的最值求解，即f（x）≤a（或f（x）≥a）恒成立■ f（x）max≤a或f（x）min≥a是分離參數后，利用函數在這一區間上的最值求解。

例3.（天津文10）設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x2，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是（ ）

A.[■，+∞） B.[2，+∞）

C.（0，2] D.[-■，-1]∪[■，0）

解析：∵f（x+t）≥2 f（x）即（x+t）2≥2 x2

即x2-2tx-t2≤0在x∈[t，t+2]上恒成立，

由對稱軸為x=t，令g（t）=x2-2tx-t2，

只需g（t）max≤0即g（t+2）≤0

∴t≥■

四、非二次不等式在某一區間上恒成立，由不等式分離參數后，利用函數在這一區間上的最值求解。

例4.求使不等式a>sinx-cosx，x∈[0，π]恒成立的實數a的范圍。

解析：由于a>sinx-cosx=■sin（x-■），x-■∈[-■，-■]，顯然函數有最大值■，∴ a≥■。

五、某些不等式恒成立問題可轉換為求函數或不等式的最值問題，由此來求參數。

例5.設實數x，y滿足x2+（y-1）2=1，當x+y+d≥0恒成立時，d的范圍是（ ）

解析：要使x+y+d≥0恒成立，只需d≥（-x-y）max，

∵（x，y）滿足方程x2+（y-1）2=1，則設

x=cosα，y=1+sinα

-x-y=-cosα-sinα-1

=-■sin（α+■）-1

其最大值為■-1 ∴d≥■-1

？誗編輯 董慧紅