高等數(shù)學(xué)中反例的若干構(gòu)造方法

陳文生

摘 要：高等數(shù)學(xué)中的概念、定理比較多，讓學(xué)生快速準(zhǔn)確地理解并掌握這些概念和定理并非易事，它需要正面的說明解釋，還需要從反面對(duì)比考證。著重對(duì)反例的構(gòu)造方法和在高等數(shù)學(xué)中的作用進(jìn)行了初步探討。

關(guān)鍵詞：反例；構(gòu)造方法；高等數(shù)學(xué)；概念；定理

反例是構(gòu)造法中的一種常見方法，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、化歸、猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納等思想，它以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采取的一種相應(yīng)的解決方法。反例教學(xué)是一種簡(jiǎn)潔、明晰的教學(xué)輔助方法，它對(duì)理解數(shù)學(xué)問題的概念與原理都有極其重要的作用。本文將從反例的構(gòu)造方法、反例的作用這兩個(gè)方面進(jìn)行探討。

一、反例的幾種構(gòu)造方法及其應(yīng)用

1.分析數(shù)量關(guān)系法

有些假命題，題設(shè)給定了某些數(shù)量關(guān)系或隱含了數(shù)量關(guān)系，當(dāng)題設(shè)滿足其中一部分?jǐn)?shù)量關(guān)系時(shí)，結(jié)論就成立；但滿足了另一部分?jǐn)?shù)量關(guān)系時(shí)，結(jié)論就不成立。此時(shí)，只要注意討論題設(shè)的數(shù)量關(guān)系，就容易找到反例。

2.分析題設(shè)導(dǎo)引法

對(duì)命題題設(shè)進(jìn)行分析、推理，找出題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系（充分條件、必要條件、充要條件），而在題設(shè)條件下這些命題有明顯的錯(cuò)誤。

例1.f（x）=1，0≤x≤12，1

3.構(gòu)造法

（1）特例構(gòu)造法

它是利用一些極端情況與典型反例來構(gòu)造所需的反例。極端情況如，分式的分母為零，三角形中的直角三角形、等腰三角形，兩直線平行或相互垂直等；典型反例如，處處不連續(xù)的狄里克雷函數(shù)等。有了這些特例，必要時(shí)靈活地運(yùn)用，就可構(gòu)造出所需的反例。

例2.函數(shù)y=f（x）在x=x0處連續(xù)，是否一定在x=x0的某一鄰域內(nèi)也連續(xù)？狄里克雷函數(shù)D（x）=1 x為有理數(shù)0 x為無理數(shù)，處處不連續(xù)，利用該例作f（x）=f（x-x0），D（x）=x-x0 x為有理數(shù)0 x為無理數(shù)，f（x）在x=x0處連續(xù)，但在x=x0的任何鄰域內(nèi)都不連續(xù)。

（2）性質(zhì)構(gòu)造法

性質(zhì)構(gòu)造法是根據(jù)反例本身的性質(zhì)與特點(diǎn)，按一定的技能進(jìn)行反例的構(gòu)造。康托曾構(gòu)造出一個(gè)連續(xù)單調(diào)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)幾乎處處為零的例子，即，康托函數(shù)。這種構(gòu)造的函數(shù)看起來人為因素強(qiáng)，卻符合數(shù)學(xué)現(xiàn)成的理論與規(guī)律。

例3.關(guān)于半偶數(shù)方陣不存在的猜想。傳說普魯士閱兵時(shí)，需從6個(gè)部隊(duì)中選派6個(gè)不同級(jí)別的軍官各一名，共36人組成方隊(duì)，但要求每一行每一列都有各部隊(duì)、各級(jí)別的代表，這就是“36名軍官問題。”歐拉當(dāng)時(shí)并沒有排出。但他猜想當(dāng)n=4m+2，m=0，1，2……（通常稱為半偶數(shù)）時(shí)，方陣不存在。歐拉以后，不少數(shù)學(xué)家把歐拉方陣作為兩個(gè)拉丁方陣來研究，若能證明n為半偶數(shù)時(shí)，不存在兩個(gè)正交拉丁方陣，就相當(dāng)于證明了歐拉猜想。一個(gè)多世紀(jì)以來，認(rèn)為歐拉猜想正確的思想一直占優(yōu)勢(shì)。1959年，印度數(shù)學(xué)家玻包和史里克漢德找到一個(gè)n=22的正交拉丁方陣，這個(gè)反例推翻了歐拉猜想。隨后，美國(guó)數(shù)學(xué)家派克又構(gòu)造了n=14，26的正交拉丁方。他們以出色的反例結(jié)束了論證170多年的猜想。

（3）比較構(gòu)造法

此類構(gòu)造從兩個(gè)不同角度看，有兩種不同形式。其一是根據(jù)已知反例的特點(diǎn)與思維方法，在新的范圍內(nèi)構(gòu)造出類似的反例。如，魏爾斯特、拉斯用級(jí)數(shù)的方法構(gòu)造出一個(gè)無處可微的連續(xù)函數(shù)，此法被廣泛應(yīng)用，構(gòu)造出許多無處可微的連續(xù)函數(shù)。另一種是將所給命題與相似的已知命題作比較，找出其不同之處，構(gòu)造反例。

（4）利用分類的方法

分類就是依據(jù)某一確定的特征，把滿足題設(shè)及所有情況分為若干個(gè)并列的類（若是概念，則對(duì)其外延進(jìn)行分類），然后逐步去考察，是否能得到題斷。必要時(shí)，還要對(duì)上述的類依據(jù)某種特征再次分類考察，直接構(gòu)造出反例來。最常見的是二分法，即，將題設(shè)的所有情況分為兩類，使一類具有某種屬性，而另一類不具有此種屬性。若前一類情況可設(shè)成立，則考察后一類情況。甚至可對(duì)后一類情況繼續(xù)施行二分法分類。

例4.試舉例說明下述命題是假的：若數(shù)f（x）在[a，b]上有界，則f（x）在[a，b]上的定積分存在。就有界函數(shù)而言，可分為連續(xù)和不連續(xù)兩類：在[a，b]上連續(xù)的函數(shù)（當(dāng)然有界），那么它的定積分必然存在。若f（x）在[a，b]上有界但不連續(xù)，則可又依據(jù)間斷點(diǎn)的情況分為兩類：有限個(gè)間斷點(diǎn)和無限個(gè)間斷點(diǎn)。若是第一類，f（x）也是可積的。若是第二類，則f（x）不一定可積。取f（x）=1 x為有理數(shù)0 x為無理數(shù)，考察其在[0，1]上的情況。顯然f（x）是有界的，但它有無限個(gè)間斷點(diǎn)。由定積分的定義可知，f（x）在[0，1]上是不可積的，這就說明了上述命題為假命題。

4.定義法

由定義、法則出發(fā)，對(duì)照分析，抓住容易疏忽的條件，創(chuàng)設(shè)反例。（如分母不為零等）

二、反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.用反例有利于命題結(jié)論的掌握

能使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念和正確掌握定理數(shù)學(xué)的知識(shí)體系是由概念和命題等內(nèi)容組成的，學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力、空間想象能力、分析運(yùn)算能力、解決問題能力都是以清晰、正確的概念為基礎(chǔ)的。因此，深刻理解高等數(shù)學(xué)中的基本概念，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的根本。而正確使用每一個(gè)數(shù)學(xué)定理則是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)一些定義、定理及有關(guān)命題的敘述，單純從理論上判斷是很抽象的，學(xué)生在應(yīng)用這些公式、定理、法則時(shí)常常忽視它們的前提條件，隨意超出定理的適用范圍去使用造成失誤，而反例不但會(huì)加深學(xué)生對(duì)概念、定理中的關(guān)鍵詞和本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)理解，使概念的內(nèi)涵和外延更加明確清晰，而且可把定理中的條件、結(jié)論之間的充分性、必要性指示得一清二楚，達(dá)到強(qiáng)化條件的目的。

2.反例可以澄清數(shù)學(xué)概念與定理，增加其確切性與清晰度

數(shù)學(xué)中的概念與定理有許多結(jié)構(gòu)復(fù)雜、條件結(jié)論犬牙交錯(cuò)，使人不容易理解。反例則可以使概念更加確切與清晰，將定理的條件、結(jié)論之間的關(guān)系解釋得一清二楚。如，討論周期函數(shù)及其最小正周期時(shí)，不少人以為周期函數(shù)必有最小正周期，可以舉出反例澄清這種看法：f（x）=1 x為有理數(shù)-1 x為無理數(shù)，這個(gè)函數(shù)以任何有理數(shù)T為周期，而有理數(shù)中，無最小正數(shù)，所以f（x）沒有最小正周期。

3.利用反例，可以加強(qiáng)對(duì)基本概念、定理和規(guī)則的理解

高等數(shù)學(xué)中有許多概念、定理和規(guī)則，接受起來有一定的困難，如果我們運(yùn)用反例，從另一個(gè)側(cè)面抓住概念，定理和公式的實(shí)質(zhì)，從而可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與辨析。

4.反例可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，進(jìn)而培養(yǎng)他們的科學(xué)研究能力

面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解答，運(yùn)用反例可以檢驗(yàn)答案是否正確。如果發(fā)現(xiàn)有誤，通過反例引導(dǎo)學(xué)生尋求錯(cuò)因。反例會(huì)把錯(cuò)誤的原因十分突出地襯托出來，使學(xué)生對(duì)比有關(guān)定義、定理和結(jié)論反思自己出現(xiàn)的錯(cuò)誤，加深對(duì)知識(shí)的理解，抑制知識(shí)的負(fù)遷移。正如數(shù)學(xué)家維奧拉所說：“通過反例，不僅可以檢驗(yàn)學(xué)生是否已經(jīng)正確而深入地了解了數(shù)學(xué)的真諦，還可以鍛煉學(xué)生的智力，并將學(xué)生的判斷和推理嚴(yán)格地約束在一種順序之中。”

三、反例法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重大意義

在數(shù)學(xué)史上，恰當(dāng)?shù)姆蠢ㄍ苿?dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。這樣的例子不勝枚舉，例如，鮑耶與羅巴切夫斯基提出了歐氏幾何平行公設(shè)的反例：通過已知直線外任意一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與已知直線平行。以其代替歐氏幾何平行公理，建立了新的幾何體系——羅氏幾何；另一非歐幾何的創(chuàng)立者黎曼則在球面上創(chuàng)立了歐氏幾何平行公設(shè)的另一反例：“過直線外任意一點(diǎn)沒有直線與之平行”，愛因斯坦的相對(duì)論就建立在黎曼幾何模型之上。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，很多理論的建立和完善都是在正面證明無法進(jìn)行的情況下，采用數(shù)學(xué)反例卻又柳暗花明，從而形成了新的理論和概念。

總之，數(shù)學(xué)反例既是對(duì)命題十分簡(jiǎn)明的否定，又是對(duì)命題有說服力的肯定，是證偽、糾錯(cuò)和發(fā)現(xiàn)正確認(rèn)識(shí)的極富說服力的思想方法。它以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、化歸、猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納等思想，是一項(xiàng)積極的創(chuàng)造性思維活動(dòng)。它往往能起到正例難以起到的作用，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)有效的教學(xué)輔助手段，但運(yùn)用數(shù)學(xué)反例須注意適時(shí)適當(dāng)，要在學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一定認(rèn)識(shí)和理解的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)掌握情況和接受性原則提出反例，所構(gòu)造的反例力求簡(jiǎn)單明了、能說明問題，切忌繁雜或說明問題不確切。

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？誗編輯 鄭 淼