插值方向的研究

陳智遠

摘 要：信號處理中常使用基于DFT的插值算法來進行頻率估計。而插值方向一般是由DFT變換后的譜線幅度來決定。但在低信噪比條件下，用a幅度判斷的插值方向常常出錯。文章提出一種新的判斷插值方向的方法來改進原算法，并且用仿真證明改進的算法能更可靠的判斷插值方向，并且能提高估計精度。

關鍵詞：插值；方向；研究

引言

在低信噪比的條件下的頻率估計被廣泛用于通信、雷達、聲納以及深空探測等領域。常用的方法是對輸入信號做DFT變換，并尋找變換后頻譜譜峰。這就是DFT算法。在對精度要求不高的時候，DFT算法是適用的。但是由于DFT本身存在因為“柵欄效應”所造成的頻譜泄漏，所以當對估計精度要求較高的時候，我們一般會在DFT的基礎上做插值來滿足要求。Rife算法是最常用的一種基于DFT的插值算法。

插值算法是通過計算一個插值量來提高估計精度的。在這個過程中，插值方向的判斷起到了十分重要的作用。插值方向錯誤將會導致估計精度降低。下文將分析Rife算法如何判斷插值方向，并且提出一種新的判斷插值方向的方法來改進Rife算法。最后通過仿真比較這兩種方法。

1 Rife算法

可以看出，Rife算法是通過比較譜峰兩側譜線的大小來確定插值方向的。這種方式實現簡單并且在高信噪比條件下有比較高的判斷正確率。但是當估計頻率非常接近真實頻率的時候，譜峰兩側的兩條譜線落在主瓣邊沿，此時這兩條譜線的幅度十分接近。在低信噪比條件下這就十分容易導致插值方向判斷錯誤。

2 新的插值方向確定方法

實際上，除了幅度外，譜線虛部也可以得到插值方向。在仿真中，有這樣的現象：當插值方向為正時，第k條譜線的虛部與第k+1條譜線的虛部的乘積小于0；當插值方向為負時，第k條譜線的虛部與第k-1條譜線的虛部的乘積小于0。上述現象可以總結為一個假設。

假設：FFT變換后，距離初始頻率位置最接近的兩條譜線的虛部之積總小于0。

下面我們來證明這個假設。

3 仿真實驗

通過上面的論證，譜線虛部的符號變化是可以判斷插值方向的。與幅度相比，用譜線的虛部來判斷有一個優點，當估計頻率非常接近真實頻率的時候，譜峰兩側的譜線幅度幾乎是一樣的，利用幅度就很難判斷插值方向；但是兩側譜線的虛部卻是一正一負。很明顯，此時譜線虛部符號的變化要比譜線幅度的變化明顯許多。所以譜線的虛部應該比譜線的幅度更適合判斷插值方向。實際上在對隨機初始頻率的信號做10000次仿真中，幅度判斷插值方向錯誤1297次，虛部判斷插值方向只錯誤597次。不難看出，利用虛部判斷插值方向更加可靠。

更準確的插值方向判斷自然會提高估計精度。我們在Rife方法基礎上做一些改進，利用新方法判斷插值方向，然后按照Rife算法的步驟計算插值量的大小，最終得到估計頻率。仿真條件如下：采樣率為200K，采樣時間為1秒的信號，信號的初始頻率是50K到100K范圍內隨機數，信噪比以1dB步長，由-35dB逐漸變化到-15dB，在每個信噪比下做500次仿真。得到改進的Rife算法與原本Rife算法比較改進的Rife算法與原本Rife算法的平均估計偏差和均方根誤差（RMSE）如下所示。可以看出，新算法雖然只是提高了插值方向判斷的準確性，但是也間接提高了算法的估計精度和穩定性。

圖1 改進Rife算法與原Rife算法平均估計偏差的比較

最后我們來看看這種改進算法的實現難度。新的算法只在插值方向判斷上做了改變。由于只是判斷譜線虛部的正負，所以不需要得到很準確的數值，知道符號即可。所以這種改進算法十分容易實現。

4 結束語

文章提出了一種新的判斷插值方向的方法，并且利用這種新方法對Rife算法進行了改進。從仿真結果來看，新的方法在低信噪比條件下，能夠更好的判斷插值方向，有更準確、穩定的估計結果，并且方便實現。