基于模態參預的激勵自由度有效性研究

張遠亮，張立民，唐啓東

（1 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；2 四川內江鴻強機床有限公司，四川成都641100）

重新將表達式（2）寫成如下形式：

留數矩陣為：

基于模態參預的激勵自由度有效性研究

張遠亮1，張立民1，唐啓東2

（1 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；2 四川內江鴻強機床有限公司，四川成都641100）

為研究模態試驗激勵自由度有效性問題，分3種工況改變激振器輸入力相位，對某城際動車組進行靜態臺架激振器試驗，得到輸入力及響應加速度信號。根據模態分析理論，利用Test.Lab軟件識別車體典型模態參數，并同時得到各階模態留數矩陣。根據模態參預的定義，得到不同工況下激振力對各階模態的模態參預。最后根據模態參預矩陣對激勵自由度有效性進行判定，同時給出車體1階垂直、彎曲及車體1階扭轉模態的最佳激勵方式，并依據模態參預對模態參數估計的準確性進行簡單說明。

激勵自由度；城際動車組；模態參預；最佳激勵方式

模態參預［1］（Modal Participation）是研究給定頻段上各模態的相對重要性以及所選擇的輸入自由度有效性的工具。模態參預可以提供選擇最有效激勵自由度的信息，同時有助于其他模態模型檢驗方法的正確性進行評估。如果測試過程中某階模態被較好的激勵，其模態參預值較大，對模態參數的估計就更準確。

文中分3種工況改變激振器輸入力相位，對某城際車組進行靜態臺架激振器試驗，得到輸入力及響應加速度信號。根據模態分析理論，利用模態分析軟件Test.Lab軟件識別車體典型模態參數，并同時得到各階模態留數矩陣。根據模態參預的定義，得到不同工況下激振力對各階模態的模態參預值。根據模態參預矩陣對激勵自由度有效性進行判定，同時給出車體1階垂彎及車體1階扭轉模態的最佳激勵方式，并依據模態參預對模態參數估計的準確性進行了簡單說明。

1 理 論

1.1 模態分析［1-3］

對應一個多自由度系統，其運動方程可表示為如下形式：

其中［M］，［C］，［K］，｛f（t）｝，｛x（t）｝分別為質量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣，力向量和響應向量。經拉式變換，并假定初始位移和初始速度為零，則得：

式中［Z（p）］是動剛度矩陣；｛X（p）｝是位移向量；｛F（p）｝為力向量。

傳遞函數為：

式中adj（［Z（p）］）為［Z（p）］的伴隨矩陣，|Z（p）|為［Z（p）］的行列式。

對于N自由度系統，方程有N對復共軛的特征根：

每個特征值對應一個特征向量：

這些向量使得系統方程式中的力向量｛F（p）｝等于零：

因為λr和λ*r（r＝1，2，…，N）是系統方程|Z（p）|的根，故將傳遞函數公式（2）改寫成如下形式：

其中E為常數。

進一步寫成留數形式：

其中［A］r和［A項表示留數。根據留數定理有：

將式（8）代入式（9），可得：

Pr是一個與極點有關的常數。因此式（9）成為：

重新將表達式（2）寫成如下形式：

因為λr是特征方程的一個根，所以有：

考慮adj（［Z（λr）］）的任意一列第i列，則有：

由［Z（λr）］［Φ］r＝［0］，認為｛adj（［Z（λr）］）｝i的任意列向量都與｛φ｝r成比例，得出矩陣adj（［Z（λr）］）的秩等于1，由此知道矩陣的各行也成比例。因此伴隨矩陣滿足下列條件：

根據Maxwell互易性，系統質量、剛度、阻尼矩陣是對稱的，因此［Z（p）］及其伴隨矩陣也是對稱的，即adj（［Z（λr）］）的各行均與第r階模態向量成比例：

Rr是與［Φ］r有關的一個常數。

將此式代入式（12），并記Qr＝PrRr，則得：

留數矩陣為：

1.2 模態參預

模態參預［1-3］是研究頻段上各模態的相對重要性及所選擇的輸入自由度有效性的一個工具。模態參預定義為各個輸入自由度激勵下各階頻響函數的留數模之和。即：

其中Aoir是輸出o、輸入i、模態r的留數。模態參預列表如下：

MPir表示為第r階模態在自由度i激勵所引起的響應中所占有的分量。對不同自由度i而言，比較MPir可以得到第r階模態是如何由各個激勵點相對地激勵出來。

表1中總模態這一行表示不同激勵自由度在總輸出中的分布估計。就不同模態比較MPir項，可以分析激勵點i對哪階模態激勵最好；總輸入這一列是各階模態在所有激勵所引起的總響應中所占有比例的估計。

根據模態參預，可以選擇最有效的激勵自由度。

2 工程實例分析

對某城際動車組進行靜態臺架激振器試驗，測試其模態參數，即模態固有頻率、模態振型等。將車體分為7個截面，分別是端部截面、空氣彈簧處截面，以及中部3個截面。每個截面布置4個傳感器［4］，分別測試車體垂向和橫向加速度。在車體4個對角位置安裝激振器，分不同激勵工況對車體進行正弦掃頻，激勵頻率范圍0～50 Hz。測點布置、現場試驗及試驗工況如圖1，圖2，表2所示。

在不同工況下，以各測點頻響函數FRF為原始數據，利用Test.Lab軟件中Poly MAX模塊［3，5］，選取32階計算模態階數，默認自動選取穩態點，識別車體50 Hz內典型模態參數。結果見表3～表5。

車體典型模態振型如圖3～圖6。

根據模態分析理論［1］，計算出各階模態固有頻率及模態振型向量，故可計算模態留數矩陣，根據公式（20）計算不同工況下所有激勵自由度的模態參預。計算結果已做歸一化處理。如表6～表8。

由表6可知，工況1中，總輸入在車體1階菱形的比例很小，在車體1階垂直、彎曲的比例很大，工況1很容易激發車體1階垂直、彎曲模態，對車體1階菱形模態激勵效果較差。根據車體1階菱形振型可知，車體端部振動變形較小，故工況1中F1、F2、F3和F4可能位于其模態節點上，才導致對車體1階菱形模態激勵較差；由總模態可以看出，工況1中F1、F4對車體模態激發較好，是有效的。

由表7可知，工況2中，總輸入在車體1階扭轉和2階菱形中比例相當，在車體1階菱形中很小，工況2較容易激發車體1階扭轉和2階菱形，不容易激發車體1階菱形。同工況1中一樣，F1、F2、F3和F4可能位于車體1階菱形模態節點上，才導致對車體1階菱形模態激勵較差；由總模態可以看出，工況2中F1和F3對車體模態激發較好，是有效的；同時，工況2中沒有激發出車體1階垂直、彎曲模態。

由表8可知，工況3中，總輸入在車體1階扭轉和2階菱形中比例相當。工況3較容易激發車體1階扭轉和2階菱形；由總模態可以看出，工況3中F1和F2對車體模態激發較好，是有效。

在總輸入一列中，工況1及工況2的車體1階菱形總輸入值很低，各個激勵點對車體1階菱形激勵效果都很差。根據車體1階菱形振型可知，車體端部振動變形較小，中部振動變形較大，各個激勵點可能位于車體1階菱形變形的模態節點上，因此相應的模態參數估計的精度可能很低。

根據對稱性，總模態一行大小應基本一致。但工況1及工況2中F2的模態參預值明顯小于其他3組。檢查F2力信號，發現是其激勵不良導致模態參預明顯偏小。F2時間歷程信號如圖7、圖8。

3 結 論

通過上述分析可得到如下結論：

（1）為激發出車體1階垂直、彎曲模態，可以選擇4點同向激勵，即采用工況1中的激勵方式。

（2）為激發出車體1階扭轉模態，可以選擇對角同向激勵，即采用工況2中的激勵方式。

（3）車體1階菱形主要是車體中部變形，兩端部是可能的模態節點，從工況1～工況2可以看出，端部激勵時模態參預值很小，各個激勵點對車體1階菱形激勵效果都很差，相應的模態參數估計得精度可能很低，可以考慮在車體中部激勵。

（4）若要對某階模態進行準確識別，盡量不要選擇模態參預值很小的激勵點信息，這樣可以改善模態參數識別結果的精度。同時，若總輸入所占的比例很低，則所有激勵點對該階模態激勵很差，相應的模態參數估計的精確性較低。

［1］ Ward Heylen，Stefan Iammens，Paul Sas.（白化同，郭繼忠譯）.模態分析理論與試驗［M］.北京：北京理工大學出版社，2001.

［2］ Thory and Background［M］.LMS.Software Corporation.

［3］ CADA N Modal/Analysis User Manual［M］.LMS－International，Leuven.

［4］ TB/T 3155－2005，機車車輛動力學性能臺架試驗方法［S］.

［5］ LMS.Test.Lab 9A Manuals［M］.LMS.Software Corporation.

Research on the Effectiveness of Excitation DOF Based on Modal Participation

ZHANG Yuanliang1，ZHANG Limin1，TANG Qidong2
（1 State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031 Sichuan，China；2 Sichuan Neijiang Hongqiang Machine Tools Co.，Ltd.，Chengdu 641100 Sichuan，China）

To study the effectiveness of excitation DOF in modal experiments，intercity rail has been done exciter experiment on the shelf statically with changing exciter input power phase 3 types of conditions，input force and response acceleration signal have been obtained.According to modal analysis theory，typical modal parameters of the carbody were identified with software Test.Lab，and modal residue matrix has also been obtained.According to the definition of modal participation，each modal participation with different exciting conditions has been received.Finally，the effectiveness of excitation DOF was judged based on modal participation matrix.Simultaneously，the best excitation mode of first-order vertical bending and twisting modal was given.Accuracy of modal parameter estimation was also introduced simply by modal participation.

excitation DOF；intercity rail；modal participation；the best excitation mode

U260.11＋1

A

10.3969/j.issn.1008－7842.2014.06.18

1008－7842（2014）06－0074－04

8—）男，碩士研究生（

2014－04－28）