例談初中數學教學中的開放性問題

孫紅娟

數學開放性問題是指那些條件不完整，結論不確定，解法不受限制的數學問題，它的顯著特點是正確答案不唯一，一般需要學生通過觀察、試驗、估計、猜測、類比和歸納等方法探索出問題的條件或結論，然后進行嚴格證明.通常要結合分類討論、數形結合、轉化化歸、歸納猜想，構建數學模型等數學思想方法獲得問題的解答.在教學中，有針對性地設計一些開放性的問題，有利于培養學生思維的深刻性、縝密性、廣闊性、靈活性，強化學生的創新意識.

關于數學開放性問題，主要有下列幾種說法：（1）答案不固定或者條件不完備的問題，稱之為開放性問題；（2）開放性問題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的問題；（3）答案不唯一的問題是開放性問題；（4）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放性問題；（5）問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余的問題，稱之為開放性問題.

要解答開放性問題，首先經過探索確定結論或補全條件，將開放性問題轉化為封閉性問題，然后選擇合適的方法途徑完成最后的解答.

常見的開放性問題有：條件開放型，結論開放型，綜合開放型，方法開放型等.

一、條件開放型

主要是給定問題的結論，要求從各種不同的角度去尋求這個結論成立的條件，而滿足結論的條件往往不是唯一的，就是條件開放性問題.

案例1：已知點P（x，y）位于第二象限，且y≤x+4，x，y為整數，寫出一個符合上述條件的點P的坐標？搖？搖 ？搖？搖.

評析：這是條件開發性問題.由已知可得，x<0，y>0，所以x>-4，又x為整數，故x=-1，-2，-3，所以y的值可確定，從而點P的坐標也就確定了.該問題的數字之間的關系復雜，條件較多，因此要從討論不等式的解入手，逐步探求問題答案，從而培養學生的計算、分類、歸納的能力.

案例2：已知D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點，且DE與BC不平行，請你填上合適的條件？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖，使得△ADE∽△ABC.

評析：可添加的條件為∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD ∶AB=AE∶AC等.在解答此類問題時，通常采取執果索因的策略進行探求，不是被動地套用解題模式，而是給學生較大的思考空間.

二、結論開放型

主要是給定問題的條件，根據條件探索其可能存在的結論，而符合條件的結論往往呈多樣性，這樣的問題就是結論開放性問題.

案例3：用紙剪一個等腰三角形ABC，將三角形對折，使它的兩腰AB與AC重合，記折痕與底邊BC的交點為D，那么把紙展開后鋪平，得出怎樣的結論？

評析：這是結論開放性問題.學生很容易得出結論：等腰三角形ABC是軸對稱圖形；∠BAD=∠CAD；∠B=∠C；AD⊥BC；BD=CD，經過學生動手操作、觀察、思考和探究活動，讓學生經歷了探索等腰三角形的性質的過程，利用對稱性得到的結論，涵蓋了等腰三角形的軸對稱性、兩個底角相等、三線合一等性質.

案例4：一個函數具有下列性質：①它的圖像經過第一、第二象限；②在第一象限內，函數值y隨自變量x的增大而增大，滿足上述性質的函數解析式可以是？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖.

評析：由①知所求的函數不是正比例函數，也不是反比例函數，所以只能是一次函數或二次函數，若是一次函數y=kx+b，則k>0，b>0；若是二次函數y=ax■+bx+c，則a>0，b≥0，解答這類問題時，要注意畫出符合條件的草圖，根據圖像的性質特征，結合數形結合的思想方法，猜想、歸納、推導出給定條件下可能存在的結論.

三、綜合開放型

指條件、結論都開放，即思維策略與解題方法不唯一，思維具有非常規性、發散性和創新性.不同的條件可得到不同結論，不同的結論需要不同的條件.

案例5：已知四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，從下列條件：

①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD

中選取三個進行組合，哪些組合能推出四邊形ABCD是菱形？哪些組合不能推出四邊形ABCD是菱形？

評析：組合的方式很多，且難度不大，比較適合于不同層次的學生，對基礎較差的學生創造了表現的機會，對基礎較好的學生提供了創新的空間.

案例6：在“等腰三角形的判定”時，可設計如下問題：一個等腰三角形，若一不小心，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊和一個底角，有多少種方法將原來的等腰三角形重新畫出來？如何說明你畫的三角形一定是等腰三角形？

評析：從畫圖看，可用多種方法畫出等腰三角形，當學生畫出等腰三角形后，要求學生說出畫法.而這些畫法的正確性需要用“等腰三角形的判定定理”來判定.

四、方法開放型

條件和結論都已知或部分已知，需要探索解答問題方法或設計問題方案的一類問題，即：一般是指解答方法不唯一或解答路徑不明確的問題.

案例7：用多種方法證明等腰三角形的判定定理.

已知：在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC.

證法一：（圖略）類比等腰三角形性質定理的證明，過A作AD⊥BC于D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

證法二：（圖略）過A作AD平分∠BAC，交BC于點D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

證法三：（圖略）取邊BC的中點D，連接AD（中線），過D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，得△BDE≌△CDF（AAS），所以DE=DF，所以△AED≌△AFD（HL），所以AE=AF，于是AE+BE=AF+FC，即AB=AC.

證法四：（圖略）倍長中線的方法證明.

中線AD延長至點E，使得AD=DE，連接BE，EC，所以△ABD≌△ECD（SAS），所以∠1=∠4，因為△ACD≌△EBD（SAS），所以∠2=∠3，BE=AC，又已知∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4，所以△ABC≌△EBC（ASA），所以AB=BE=AC，得證.

證法五：（圖略）作△ABC關于直線BC的軸對稱圖形的方法可以證明.

評析：證法一、二是用類比等腰三角形性質定理證明方法，分別添加輔助線（高線）AD⊥BC于D，（角A的平分線）AD平分∠BAC，從而將要證明△ABC為等腰三角形的問題轉化為兩個三角形△ABD與△ACD的全等的問題.證法三是作中線AD，但還不能直接證明AB=AC，因此還要添加輔助線過D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，從而將要證明AB=AC的問題轉化為分別證明△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD的問題.證法四是中線AD延長至點E，使得AD=DE，連接BE，EC，從而將要證明AB=AC的問題轉化為分別證明△ABD≌△ECD，△ACD≌△EBD，△ABC≌△EBC的問題.證法五是用作△ABC關于直線BC的軸對稱圖形的方法證明了△ABC是等腰三角形.

案例8：生活中到處都有圓形的物體，如何測量它們的半徑呢？請你設計出幾種測算方案，指出所用的工具、優缺點和適用的范圍.

評析：這是方法開放性的問題，且情景自然真實，操作性較強，學生解決這個問題不僅需要聯想到與圓有關的知識（圓的周長公式、直徑的性質與判定、垂徑定理及其推論、切線的性質與判定、三角函數、勾股定理等），還需要動手操作、構造圖形、進行數學實驗的活動過程，需要運用傳統意義上的數學推理能力，更需要有分析和解決問題策略層面的素養，這有利于對學生進行過程性評價.