常用坐標(biāo)系間GNSS基線向量誤差轉(zhuǎn)換方法研究*

孫小榮 李明峰 劉支亮 卞和方

1)宿遷學(xué)院建筑工程系，宿遷 223800

2)中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，徐州 221116

3)南京工業(yè)大學(xué)測繪學(xué)院，南京210009

GNSS 相對定位得到的是兩點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系下的基線向量(ΔX，ΔY，ΔZ)及其協(xié)方差陣，而在GNSS 控制網(wǎng)二維平差中，需已知兩點(diǎn)在高斯平面直角坐標(biāo)系下的基線向量(Δx，Δy)及其協(xié)方差陣DΔxy［2－5］，因而須將GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系、再從大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到高斯平面直角坐標(biāo)系［3－5］。文獻(xiàn)［4－5］推導(dǎo)了上述誤差轉(zhuǎn)換公式，但均假設(shè)基線向量的起點(diǎn)位于零子午線上，而實(shí)際起點(diǎn)可能位于全球的任何位置。在大地坐標(biāo)系下，基線向量以角度量表示的誤差在數(shù)值上非常小，且同一經(jīng)差所對應(yīng)的平行圈弧長在不同緯度處會相差較大，不利于實(shí)際應(yīng)用［6－7］。本文借助子午圈曲率半徑和平行圈半徑將角度量誤差轉(zhuǎn)換為以長度為單位的誤差(等效長度量誤差)。在此基礎(chǔ)上，研究GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標(biāo)系到站心直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。理論和算例證明，本文推導(dǎo)的嚴(yán)密公式是正確的，而后兩種簡化公式可代替此嚴(yán)密公式，且形式更為簡單。

1 ΔXij、ΔYij、ΔZij 誤差轉(zhuǎn)換為ΔBij、ΔLij、ΔHij誤差

設(shè)空間直角坐標(biāo)系下基線向量的起點(diǎn)為i(Xi，Yi，Zi)，終點(diǎn)為j(Xj，Yj，Zj)，則基線向量ij 的(ΔXij，ΔYij，ΔZij)與其大地坐標(biāo)差(ΔBij，ΔLij，ΔHij)的關(guān)系式為:

式中，Ni、Nj分別為i、j 點(diǎn)法線與橢球面交點(diǎn)的卯酉圈曲率半徑。

為將式(1)展開成關(guān)于ΔBij、ΔLij、ΔHij的級數(shù)形式，需使用以下級數(shù)公式:

式中，Bj= Bi+ ΔBij，Lj= Li+ ΔLij，同理Hj= Hi+ΔHij。式(1)關(guān)于ΔBij、ΔLij、ΔHij的級數(shù)式展開到三階項(xiàng)即可滿足精度要求［4］。

將Nj展開到二階項(xiàng)為:

為公式推導(dǎo)及計算方便，令

再令ne0=n0(1－e2)，ne1=n1(1－e2)，ne2=n2(1－e2)，nh0=n0+h0，neh0=ne0+h0。將式(2)、(3)代入式(1)，不考慮關(guān)于ΔBij、ΔLij、ΔHij的四階及以上項(xiàng)，略去復(fù)雜的推導(dǎo)過程，經(jīng)整理得ΔXij、ΔYij、ΔZij關(guān)于ΔBij、ΔLij、ΔHij的級數(shù)式為:

式中，

將式(5)對ΔBij、ΔLij、ΔHij求偏導(dǎo)數(shù)，得:

式(5)的全微分形式為:

式中，dΔXij、dΔYij、dΔZij、dΔHij以m 為單位，dΔBij、dΔLij、ρ=180/π×3 600，以″為單位。

因A是可逆陣［4］，得:

由式(9)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在大地坐標(biāo)系下的方差協(xié)方差陣為:

2 ΔBij、ΔLij誤差轉(zhuǎn)換為Δxij、Δyij誤差

由高斯投影坐標(biāo)正算公式(保留經(jīng)差的二階項(xiàng)即可滿足精度要求［4］)得基線向量ij 的(ΔBij，ΔLij)與(Δxij，Δyij)的關(guān)系式為:

式中，Ci、Cj分別為i、j 點(diǎn)到赤道的子午圈弧長。

設(shè)高斯投影分帶中央子午線經(jīng)度為L0，i、j 點(diǎn)與中央子午線的經(jīng)差分別為li=Li－L0，lj=Lj－L0，單位均為rad(圖1)。則lj= li+ ΔLij，即得將Ci展開到二階項(xiàng)為:

圖1 經(jīng)差關(guān)系Fig.1 Relation of longitude difference

為公式推導(dǎo)及計算方便，令

將式(12)、(13)代入式(11)，不考慮關(guān)于ΔBij、ΔLij的三階及以上項(xiàng)，略去復(fù)雜的推導(dǎo)過程，經(jīng)整理得Δxij、Δyij關(guān)于ΔBij、ΔLij的級數(shù)式為:

式中，

將式(14)對ΔBij、ΔLij求偏導(dǎo)數(shù)，得:

式(14)的全微分形式為:

式中，dΔxij、dΔyij以m 為單位，

由式(17)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在高斯平面直角坐標(biāo)系下的方差協(xié)方差陣為:

3 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉(zhuǎn)換為Δxij、Δyij誤差

轉(zhuǎn)換過程分兩步進(jìn)行。首先將ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉(zhuǎn)換為ΔBij、ΔLij、ΔHij誤差，然后將ΔBij、ΔLij誤差轉(zhuǎn)換為Δxij、Δyij誤差。綜合式(9)、(17)得:

式中，S=RC，C 為A－1的第一、二行元素構(gòu)成的矩陣。

由式(20)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在高斯平面直角坐標(biāo)系下的方差協(xié)方差陣為:

上式即為GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標(biāo)系到高斯平面直角坐標(biāo)系的嚴(yán)密轉(zhuǎn)換公式。

4 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉(zhuǎn)換為ΔEij、ΔUij誤差

由文獻(xiàn)［8］可知，在子午圈方向(南北方向)長度達(dá)440 km 范圍內(nèi)，可認(rèn)為地面兩點(diǎn)的子午圈曲率半徑近似相等，可得M'i=Mi+Hi≈M'j;在平行圈方向(東西方向)任何長度范圍內(nèi)，可認(rèn)為地面兩點(diǎn)的平行圈半徑近似相等，可得ri=(Ni+Hi)cosBi≈rj。令，則dΔEij分別表示基線向量ij 的角度量誤差引起的沿子午圈方向和平行圈方向的長度量誤差，這相當(dāng)于以子午圈和平行圈上兩個微小的曲線長度來表示基線向量ij 在該方向上的誤差，則:

垂直方向(法線方向)誤差用dΔUij表示，則:

將式(22)、(23)、(24)代入式(9)，整理得:

式中，F(xiàn)=AG，G=diag(ρ/M'iρ/ri1)，diag(·)表示對角矩陣。

由式(25)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在大地坐標(biāo)系下的方差協(xié)方差陣為:

5 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉(zhuǎn)換為誤差

由文獻(xiàn)［1－3］可知，以基線向量ij 的起點(diǎn)i 為原點(diǎn)，建立站心直角坐標(biāo)系，則其與空間直角坐標(biāo)系的關(guān)系為:

式(27)的全微分形式為:

由式(28)及協(xié)方差傳播定律，得基線向量ij 在站心直角坐標(biāo)系下的方差協(xié)方差陣為:

由于Helmert 點(diǎn)位誤差度量在2 維和3 維情形下具有旋轉(zhuǎn)不變性，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即點(diǎn)位方差等于任意兩個和三個垂直方向的方差之和［7，9－12］，若方向相同，各方向的方差也相等。因ΔN1ij、ΔEij方向分別和Δxij、Δyij及方向相同，若忽略基線向量ij 的高斯投影長度變形、i、j 點(diǎn)大地高(因大地高最大也不會超過9 km，與地球曲率半徑相比為微小值)和i 點(diǎn)曲率半徑誤差的影響，得

6 實(shí)例分析

設(shè)基線向量(ΔXij，ΔYij，ΔZij)在WGS-84 坐標(biāo)系中的方差協(xié)方差陣為:

取最不利情況:Bi=45°，Li=117°30'，Hi=10 000 m，L0=117°，ΔBij=1°，ΔLij=1°，ΔHij=10 000 m。

6.1 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉(zhuǎn)換為Δxij、Δyij 誤差

由式(21)計算得:

6.2 ΔXij、ΔYij、ΔZij誤差轉(zhuǎn)換為ΔUij誤差

由式(26)計算得:

6.3 ΔXij、ΔYij、ΔZij 誤差轉(zhuǎn)換為誤差

由式(29)計算得:

表1 4 種坐標(biāo)系下的誤差(單位:m)Tab.1 Errors in the four coordinate systems(unit:m)

由表1 可知，向量誤差在空間直角坐標(biāo)系和站心直角坐標(biāo)系下其數(shù)值是相等的，但與大地坐標(biāo)系有微小差異，這是由基線起點(diǎn)的曲率半徑誤差引起的。N1、E 方向誤差分別與x、y 及x*、y*方向誤差幾乎相等，前者的微小差異是由基線向量的高斯投影長度變形及兩端點(diǎn)大地高引起的，后者的微小差異是由基線起點(diǎn)的曲率半徑誤差引起的。U 方向誤差與z*方向誤差也幾乎相等。N1、E、U 方向誤差更能直觀地反映基線向量誤差在3 個重要方向上的大小。

為了與文獻(xiàn)［4－5］推導(dǎo)的公式進(jìn)行比較，將本文前面數(shù)據(jù)改為Li=L0=0°，其他數(shù)據(jù)不變，計算該基線向量在大地坐標(biāo)系、高斯平面直角坐標(biāo)系下的方向誤差和向量誤差，結(jié)果見表2。

由表2 的結(jié)果也能得到類似于表1 的結(jié)論。由表1、2 可知，兩表中大地坐標(biāo)系下的向量誤差其數(shù)值幾乎相等，其微小差異是由基線起點(diǎn)的經(jīng)度不同引起的，兩表中方向誤差分別相差4.3、3.7 mm，這是公式推導(dǎo)的前提假設(shè)不同導(dǎo)致的，基線越長，其差異將越大。

7 結(jié) 論

本文高精度地推導(dǎo)了GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標(biāo)系到高斯平面直角坐標(biāo)系的嚴(yán)密和通用轉(zhuǎn)換公式，通過算例驗(yàn)證了公式的正確性。

鑒于嚴(yán)密轉(zhuǎn)換過程分兩步進(jìn)行，且轉(zhuǎn)換矩陣復(fù)雜，從本文推導(dǎo)的空間直角坐標(biāo)系到大地坐標(biāo)系的全微分公式入手，將大地坐標(biāo)系中的誤差單位統(tǒng)一用長度表示，推導(dǎo)了基線向量誤差從空間直角坐標(biāo)系到大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式。理論和算例證明，大地坐標(biāo)系下3 個參數(shù)的誤差能直接反映平面和高程上的測量精度，該公式可代替嚴(yán)密公式的轉(zhuǎn)換結(jié)果，且誤差轉(zhuǎn)換矩陣形式簡單，能滿足轉(zhuǎn)換精度的要求。

本文也從理論和算例證明，GNSS 基線向量誤差從空間直角坐標(biāo)系到站心直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式也可代替嚴(yán)密轉(zhuǎn)換公式，其誤差轉(zhuǎn)換矩陣不僅形式更簡單，且為正交矩陣，能滿足轉(zhuǎn)換精度要求。

1 李征航，黃勁松.GPS 測量與數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2010.(Li Zhenghang，Huang Jinsong.GPS surveying and data processing［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2005)

2 徐紹銓.GPS 測量原理及應(yīng)用［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2008.(Xu Shaoquan.Principle and application of GPS surveying［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2008)

3 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學(xué)基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2010.(Kong Xiangyuan，Guo Jiming，Liu Zongquan.Foundation of geodesy［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2010)

4 劉經(jīng)南.三維基線向量與大地坐標(biāo)差間的微分公式及其應(yīng)用［J］.武漢測繪科技大學(xué)學(xué)報，1991，16(3):70－78.(Liu Jingnan.The formula between 3-D baseline vector and geodetic coordinate differences and its application［J］.Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping，1991，16(3):70－78)

5 趙長勝，喬仰文.空間三維基線向量大地坐標(biāo)差與高斯平面二維基線向量間的精度轉(zhuǎn)換［J］.測繪工程，1995，4(1):14－19.(Zhao Changsheng，Qiao Yangwen.Precision transformation between space three-dimensional baseline vector geodetic coordinate difference and gaussian plane two-dimensional baseline vector［J］.Engineering of Surveying and Mapping，1995，4(1):14－19)

6 施一民.采用新型大地坐標(biāo)系進(jìn)行地形變分析的探索［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2007(1):65－68.(Shi Yimin.Analysis of crustal deformation with a new type geodetic coordinate system［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007(1):65－68)

7 卞和方.在常用坐標(biāo)系下GNSS 點(diǎn)位誤差轉(zhuǎn)換方法研究［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2012(4):83－86.(Bian Hefang.On GNSS positional error transformation between common coordinate systems［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2012(4):83－86)

8 施一民，朱紫陽，范業(yè)明.坐標(biāo)參數(shù)為長度量的一種新型的大地坐標(biāo)系［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2005，33(11):1 537－1 540.(Shi Yimin，Zhu Ziyang，F(xiàn)an Yeming.New form of geodetic coordinate system taking two length quantity as coordinate parameters［J］.Journal of Tongji University:Natural Science，2005，33(11):1 537－1 540)

9 張書畢.測量平差［M］.徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2008.(Zhang Shubi.Surveying adjustment［M］.Xuzhou:China University of Mining and Technology Press，2008)

10 蔡劍紅.一種新的點(diǎn)位誤差度量［J］.測繪學(xué)報，2009，38(3):276－279.(Cai Jianhong.A new measure of positional error［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38(3):276－279)

11 楊元喜.關(guān)于“新的點(diǎn)位誤差度量”的討論［J］.測繪學(xué)報，2009，38(3):280－282.(Yang Yuanxi.Discussion on“A new measure of positional error”［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38(3):280－282)

12 卞和方.點(diǎn)位誤差位置相關(guān)性分析及驗(yàn)證［J］.中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報，2013，42(1):129－133.(Bian Hefang.Analysis and validation of location correlation for positional error［J］.Journal of China University of Mining ＆ Technology，2013，42(1):129－133)