貝葉斯決策方法及其應用

（韶關學院數學與信息科學學院，廣東韶關512005）

貝葉斯決策方法及其應用

王明輝

（韶關學院數學與信息科學學院，廣東韶關512005）

風險決策存在于諸多的生產和經濟活動中，在制定一項決策之前，應注重其風險分析，合理地將風險中的信息加以利用.根據貝葉斯理論的基本原理，通過一個具體實例，給出了應用貝葉斯理論的步驟和方法.

貝葉斯決策；后驗性信息；期望損失；后驗概率

貝葉斯決策就是在不完全信息下，對部分未知的狀態用主觀概率去估計，我們稱之為先驗概率，然后再利用貝葉斯公式對先驗概率進行修正，得到后驗概率，最后利用期望值和修正概率做出最優決策［1］.貝葉斯決策是基于貝葉斯定理發展起來用于系統的闡述和解決統計問題的方法.一個完整的貝葉斯分析應該包括數據分析，概率模型的構造，先驗信息和效應函數的假設以及最后的決策.貝葉斯理論能夠有效地綜合模型信息、數據信息和先驗信息等三類信息，使決策者能夠利用更多的信息做出最優決策［2］.

1 驗前分析

在貝葉斯決策中，人們首先要做的是進行驗前分析.決策者首先要清楚知道各種信息的自然狀態及其發生的概率，以及對不同自然狀態采用不同方案后的損益值，據此決策者可以做出初步選擇.

某企業對未來市場情況有三種預計，依次記為θ1,θ2,θ3，該企業也有三個可供選擇的行動a1,a2,a3，三個行動方案在不同市場情況下遭受的損失如表1.

表1 不同行動方案對應不同市場情況的損失值

按照該行業的歷史資料以及該項目本身的具體情況，初步估算不同市場情況下的發生概率，給出如下先驗分布：

用此先驗分布可以算得各行動的先驗期望損失：

其中,使先驗期望損失達到最小的行動a′,

就是先驗期望準則下的最優行動.

2 預驗分析

貝葉斯決策方法在實際生活中的應用是廣泛的，當在人力、時間和財力不允許收集更加完整的信息時，決策者往往用驗前分析的方法進行決策.在貝葉斯決策中，驗后分析是進行統計分析的主要方法，決策者需要根據人力、時間、財力等各方面的因素去思考問題，從而付出代價α，最后進行決策.在權衡這些信息之后，決策者根據驗后分析做出決策的風險和收益出現的結果.所以驗后分析牽扯到兩個問題，一是否需要對信息追加，另外，如果要追加信息，應該采取什么樣的策略行動.

決策者知道客觀調查不可能是完全準確的，但一般能估計出調查的準確程度［3］.當實際情況為θ1時，調查結果為θ1′的概率為p11，為θ2′的概率為p21，為θ3′的概率為p31，如表2所示.

表2 不同實際情況對應不同預測情況的概率值

由全概率公式得出：

我們關心的是，當可能的調查結果為已知時，實際三種市場情況的概率分別是多少，也就是要找出修正后的先驗概率.

上述結果如表3所示.

表3不同預測情況對應不同實際情況的概率值

由此可以算得各行動的后驗期望損失：

當調查結果為θ1′時，取

當調查結果為θ2′時，取j

當調查結果為θ3′時，取

根據后驗風險愈小愈好的準則，對調查結果的每個可能制定出最優行動，這樣就得到了最優決策函數a″,

它表示使后驗期望損失達到最小的行動組合.

此時就可以解答關于收集追加信息的價值問題.先計算后驗損失的期望值：

上式表示追加信息前后各用最優行動而使決策者蒙受期望損失的減少量，或者說是由追加信息給決策者帶來的增益.

3 驗后分析

在從事經濟活動時，決策者對有關的自然狀態了解的愈多，收集到的信息愈多，據此做出的最優決策愈可靠，其獲得的收益也會愈高.但要想獲得信息愈多，其付出的代價也可能愈高.只有當采集新的信息是有益的，即Q＞α，決策者才會去收集新的信息，否則其只要選擇最優的驗前策略，便可以獲得更大的收益.

下面我們以一簡單問題為例進行說明.

某工廠準備生產一種新產品，產量可以采取小批、中批、大批三種行動，分別記為a1,a2,a3，市場銷售情況可為暢銷、一般、滯銷三種狀態，分別記為θ1,θ2,θ3.三種行動在不同市場狀態下可獲利潤如表4.

表4不同產量對應不同市場銷售情況的利潤值（單位：萬元）

同一問題的損失函數，如表5.

表5不同產量對應不同市場銷售情況的損失值（單位：萬元）

假如市場銷售狀態的先驗分布為：

從而可得各行動的先驗期望損失：

若在先驗期望準則下進行決策，那么最優行動應為a3，因其先驗期望損失最小.

該工廠打算聘請一個咨詢公司來調查市場情況，這項調查的花費為5 000元.這樣做將導致改變工廠對于市場情況預測的先驗概率，該公司是否應該選擇這一方式呢？該工廠查閱了咨詢公司的歷史業績記錄，其結果如表6所示.該表顯示當市場實際為一般時，該咨詢公司60%的報告預見到了這一情況，同時20%的報告預見的是市場情況為暢銷，但也有20%的報告預測的是滯銷.表6中其它數據的含義與此類似.

表6不同實際銷售情況對應不同預測銷售情況的概率值

由全概率公式得出：

修正后的先驗概率如表7.

表7不同預測銷售情況對應不同實際銷售情況的概率值

當咨詢公司預測市場將會暢銷時，市場確實會暢銷的概率是0.86，增強了決策者對于未來市場的信心.對其他修正后的先驗概率也可作類似的解釋.

各行動的后驗期望損失，詳見表8.

表8不同預測銷售情況對應不同實際銷售情況的損失值（單位：萬元）

當咨詢公司預測市場將會暢銷時，最優行動為a3；一般時，最優行動也為a3；滯銷時，應采取行動a2，這樣就得到了最優決策函數：

后驗期望損失值為：

由咨詢公司給工廠帶來的增益為：

此時，如果只做驗前分析，不做進一步咨詢研究時，應采取行動a3，可得先驗損失的期望值為9.6萬元.如果做進一步的咨詢研究，我們所知的信息就會增加，從而能使我們的決策更加有利，也即后驗期望損失值能夠有所減少.當采用新信息進行研究時，該工廠有可能獲得的增益為6 852元,這個數值就是收集到的新信息的價值.

實際上，請咨詢公司的花費為5 000元，小于6 852元，此時決策者收集信息才是值得的，若請咨詢公司的花費大于6 852元，則只需要選擇最優的驗前策略即可.

4 結論

利用貝葉斯決策方法討論不同行動方案對于不同自然狀態所產生的影響，先得到先驗期望損失最小的決策方案，再通過追加新信息得到后驗期望損失最小的決策方案，只有當收集到的新信息是有益的，決策者才會去增加成本進行新信息的采集，否則只需采用先驗期望損失最小的決策方案即可.筆者根據期望損失最小得到決策方案，當然也可根據期望收益最大得到決策方案，可以得到類似的結果.

［1］茆詩松.貝葉斯統計［M］.北京:中國統計出版社,1999.

［2］何江妮,王玟.淺談貝葉斯風險決策分析［J］.新疆師范大學學報(自然科學版),2006,25(4):18-20.

［3］王玉珓,王燕珍.后驗性信息與決策［J］.山西統計,1995,15(7):47-48.

Bayesian decision method and its application

WANG Ming-hui
（School of Mathematics and Information Science,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Risk decision-making exists in a number of productions and economic activities.Before making a decision,great attention should be paid to its risk analysis and advantage of the information be taken from the risk reasonably.This paper summarizes basic principles of the Bayesian theory,and proposes the steps and the method in applying the Bayesian decision based on a concrete case.

Bayesian decision;posteriori information;expected loss;posteriori probability

O212.8

：A

：1007-5348（2014）10-0008-05

（責任編輯：李婉）

2014-05-28

王明輝（1986-），男，山東濟寧人，韶關學院數學與信息科學學院教師，碩士，主要從事部分線性模型方面的研究.