淺析分數階微分方程邊值問題解的存在性

李永玲++殷華敏++楊芳萍

【摘 要】作為數學的重要組成部分分數階微積分已經發展了將近5個世紀，所謂分數階微積分是指微分的階數或者積分的階數不再是傳統的整數階，而是任意的一個實數甚至于可以是復數。之所以現在有關分數階微積分的研究內容非常之多，是因為分數階微積分方程在混沌理論、高分子解鏈、非牛頓流體力學等很多領域中得到了廣泛應用，而且經過實際檢驗，分數階微積分方程對于研究結果的準確性有著很大影響。基于此，本文將對分數階微分方程邊值問題解的存在性進行研究。

【關鍵詞】分數階微分方程 存在性

分數階微分方程發展至今已經有300多年的歷史，相較于整數階微積分而言，也已經在很多領域有著較為廣泛的應用。如今，分數階微積分已經成為處理幾何與分數維動力學的最佳分析工具。

分數階微分方程研究的重點是正解的存在性、多重性以及正解的分歧與漸進性等。雖然說整數階微分方程的很多研究成果，如函數論、積分變換、特殊函數等等，和分數階微分方程在一定程度上有些聯系，而且有些研究成果可以直接用于分析分數階微分方程。但實際上分數階微分方程理論體系只能算是剛剛有了雛形，很多研究內容均是將整數階的分析方法照搬到分數階微分方程上，如算子演變、組合方法、不定點理論等。不同的邊值條件和階數條件，我們可以使用不同的方法來求解分數階微分方程，也可用來證明其正解的存在性。就目前的研究情況來看，使用最多的求解方法就是特殊函數法，這里的特殊函數以Green函數使用最多。對于不同的邊值條件和階數條件，求解Green函數的方法以及所得到的Green函數值會有所不同，所以在估計分數階微分方程正解存在條件以及證明正解存在性的方法上，也會有較大的區別。

1819年，Lacroix率先提出了1/2導數的結果：d1/2y / dx1/2=；之后在1832年，Liouville根據級數的概念對分數階導數進行了重新定義；1853年，Riemann按照定積分的形式對分數階微分進行了定義。

在整數階微積分理論的前提下，分數級微積分有著更深入的發展，它對函數的階數沒有任何限制，甚至于是復數都可以進行計算。自然界中很多非線性問題使用整數階微積分概念來解決有一定的難度，但是分數階微積分就有著較大的優勢。譬如，研究擴散空間理論，假如某一種微利的擴散傳播速度與古典布朗運動不一致，我們就可以用分數階導數來取代空間擴散二階導數，從而更廣泛的解釋分析擴散運動。在1974年的國際分數階微積分會議上，很多專家都認可了分數階微積分在很多領域中的應用。1982年，B.B.Mandelbrot首次對分數維數在自然界以及很多科技領域中的應用進行了舉例分析。分數階微分方程之所以能夠受到很多研究人員的注意，主要是因為其在各個領域中的廣泛適用性，相較于整數階微分方程，它能夠更加細致準確的對自然現象進行描述，而且能夠全面的模擬自然界物理現象及運動。現在研究人員已經對分數階初值問題解的存在性理論進行了較為深入的研究，而且基本均是將分數階問題轉化為等價的積分方程來進行的，線性以及非線性分數階微分方程邊值問題解的存在性是當前國內數學界重點研究的課題。

1988年，A.M.A.El-Sayed對分數階微分方程Dax=f（t，x），a∈（0，1）進行了深入的研究，而且求出了該方程解的存在唯一解定理。之后這一定理就被廣泛應用于其他相關研究中，2005年，俞成和高國柱根據Shauder不動點定理分析了這個方程解的一個存在唯一性定理。

2005年，白占兵和呂海深對非線性分數階微分方程的邊值問題進行了相應研究，從方程Da0+u（t）=f（t，u（t））=0，其中t∈（0，1）。這里定義u（0）=u（1）=0，a∈（0，2]。方程中的Da0+是一個標準的Riemann-Liouville導數，而且f：[0，1]×[0，+∞]→[0，+∞）。根據這一類問題Green函數的性質，結合Guo-Krasnoselskii不動點定理以及Leggett-Williams不動點定理，就可以對該問題正解的存在性以及重數定義。2009年，蔣達清和苑成軍對這類問題進行了深入研究，并給出了Green函數的一些新性質以及相應的應用范圍。

現在對非線性分數階微分方程的邊值問題主要分析手段有Laplace變換、上下解法、Adomian分解法、各種不動點理論等。而且應用不動點理論研究邊值問題時，還可以細分為Schauder不動點定理法、Guo-Krasnoselskii不動點定理法、Leggett-Williams不動點定理法等。2007年，M.EI-Shahed分析了分數階微分方程邊值問題，Da0+u（t）+λa（t）f（u（t））=0，這里的Da0+就是標準Riemann-Liouville分數階導數。現在分數階微分方程的主要結論之一就是定理：這里定義f在I×R→R上連續，而且存在非負函數a（t）、h（t），使得|f（t，x）|≤a（t）+ h（t），a（t）∈L[0，1]，h（t）是R上的連續函數。其中，ta-1，ta在[0，1]都一致連續，所以TU是等度連續的，又TUU，故一致有界，因此T是全連續，所以，由Leray-Schaulder不動點定理知，邊值問題（1）至少有一個解。

雖然分數階微積分至今也研究了數年，而且取得了很多較為實用的理論研究成果，但是對于經典微積分理論體系的構建還有一定距離。縱觀當前的研究重點，分數階微分方程的應用研究要比理論研究更為廣泛深入。所以在今后的工作中，對分數階微分方程的基本理論和基本性質進行分析研究更為重要，這對于該方程在實際應用的推廣有著更深層次的意義。

【參考文獻】

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