負相依下帶常數利率模型的破產概率的保險計算

李明倩

摘 要 本文研究了負相依索賠條件下帶常數利率的風險模型在隨機區間上的破產問題，最終得到了該模型破產概率的漸進表達式。

關鍵詞 負相依 隨機時間 破產概率

中圖分類號：F224 文獻標識碼：A

Insurance Calculation of Bankruptcy Probability of Constant

Interest Rate Model under Dependent Negative

LI Mingqian

（City College， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan， Hubei 430083）

Abstract This paper studies the risk model under conditions of constant interest rates negatively correlated claims in the bankruptcy issue random intervals， and finally get the asymptotic expression of the model the probability of bankruptcy.

Key words negative dependency； random interval； probability of bankruptcy

0 引言

我們考慮這樣的風險模型。假設， = 1，2，…，是一列同分布的非負隨機變量，是其分布函數； ， = 1，2，…為索賠到達時刻，它是一個齊次的強度為的泊松過程，即

（） = { = 1，2，…，≤}， ≥0

是表示到時刻為止的保險費，設（0） = 0。>0是常數利率，≥0是保險公司的初始資本。則到時刻為止，公司的盈余可表達為：

= + （）， ≥0 （1.1）

上式中假設， ， 是相互獨立。

關于上述模型大多數學者都是假設索賠額為重尾分布的情況。Kl黳pelberg， C.， Stadtm黮ler， U[1]假設索賠額為類，研究出最終破產概率的漸近等價式。Asmussen， S[2]假設索賠服從重尾索賠分布的問題。Tang， Q [3]研究了索賠額為類情形下有限時間破產概率的問題，而Fanchao Kong，Gaofeng Zong [4]推廣了文獻[3]的結果，而本文在文獻[4]的基礎上，進一步研究在隨機區間上的破產問題。

設為一隨機變量，分布函數為，則定義隨機區間上的破產概率 （，） = （<0∣= ）。

則易得

（，） = （<0∣= ） （1.2）

1 預備知識

定義：對每個和所有的，，…，，若滿足

（1）（≤，…， ≤）≤（≤），則稱隨機變量序列{， = 1，2，…}下負相依。

（2）（≥，…， ≥）≤（≥），則稱隨機變量序列{， = 1，2，…}上負相依。

若上述兩個條件都滿足，則隨機變量序列{， = 1，2，…}稱相依。

引理：服從泊松分布，它的到達時刻為{ ，≥1}，對于給定的（） = 和任意固定的>0，隨機向量（，，…）的分布與隨機向量（，…）的分布是等價的，這里（，…）是個隨機變量，…的順序統計量。

重尾分布族的一些基本知識參見文獻[4]。

2 主要結果及證明

定理2.1：考慮模型（1.1），若{， = 1，2，…}是相依的，其分布函數，>0，是滿足類的實數，則破產概率的表達式為：

（，） （）（） （3.1）

推論：在定理2.1的結論下，假設時間服從參數為的指數分布，則破產概率的表達式為：

（，） （） （2.2）

定理的證明：根據（1.1）和（1.2）可得破產概率為：

（，） = （<0∣= ），

上式進一步可得出：

（，）≤（ >） （2.3）

（，）≥（ > + ） （2.4）

（2.4）中 = （）

根據引理，（2.3）式右端可作如下變換

（ >）

分別對，作如下處理

≤（（）≥）≤ （2.5）

這里>，是常數。當→時，（2.5）右端趨于0。

由于（≤≤1） = 1， = 1，2，…，則有

可得是有界的。根據（2.5）可將（2.3）化為

所以就有

（，）≤ （）（） （2.6）

函數是的分布函數，，根據（2.6）可知，所以當→時，（2.3）式和（2.4）式右端比值趨于1。由此可得定理2.1得證。

推論的證明：因為服從參數為的指數分布，（2.1）可進一步簡化為：

故推論得證。

參考文獻

[1] Kl黳pelberg， C.， Stadtm黮ler， U. Ruin probabilities in the presence of heavy-tails and interest rates. Scand. Acturial J. 1998：49-58.

[2] Asmussen， S. et al. A local limit theorem for random walk maxima with heavy tails. Statist. Prob. Lett. 2002.56：399-404.

[3] Tang， Q.The finite-time ruin probability of the compound Poisson model with constant interest force. J. Appl. Prob. 2005.42：608-619.

[4] Fanchao Kong，Gaofeng Zong.， The finite-time ruin probability for ND claims with constant interest force.Statistics and Probability Letters .2008.78：3103-3109.